El ángulo agudo es aquel arco que se forma a partir de la unión de dos rectas que mide menos de 90º o π/2 radianes.

Un ángulo agudo es entones aquel mide menos que un ángulo recto. Así, la rectas que lo forman no son perpendiculares.

Ángulo agudo

Cabe mencionar que dos ángulos complementarios, es decir, que suman 90º, son ángulos agudos.

Asimismo, un ángulo agudo tiene como ángulo suplementario (con el que forme un ángulo llano de 180º) a un ángulo obtuso (que mide entre 90º y 180º).

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Como ejemplo cotidiano de ángulo agudo tenemos que se forma cuando escribimos, siendo una recta el lápiz o lapicero y la otra, la mesa o superficie.

Ejemplos de ángulo agudo

Algunos ejemplos de ángulos agudos son los siguientes:

• Triángulo equilátero: Todos los ángulos interiores miden 60º. Es decir, todos son agudos.

• Triángulo rectángulo: Si uno de sus ángulo es recto , los otros dos deben ser complementarios (sumar 90º). Esto, porque los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180º.

• Rombo: Dos de sus ángulos son agudos y dos son obtusos, como vemos en la imagen inferior

¿Qué es un ángulo? Recto, agudo, obtuso, llano. ¿Qué es todo eso y qué tiene que ver con ello? Si es que se pueden medir, ¿cómo se miden? ¿para qué sirven?

Estas son algunas de las preguntas que vamos a contestar en este post. Así que ¡allá vamos!

Ángulo: porción de plano delimitada por dos semirrectas con origen común

Está es la definición matemática pero nosotros vamos a verlo más despacio. Los ángulos son muy familiares ya que estamos rodeados de ellos; los podemos encontrar en muchos ámbitos de nuestra vida cotidiana: en casa, en el parque o el patio del colegio, en la montaña y en la playa, en la ciudad… incluso en los animales, las plantas y en nosotros mismos.Ahora que hemos entendido qué son los ángulos y sabemos identificarlos necesitamos a definir sus elementos, ya que son aquello que nos va a permitir analizarlos y reproducirlos. Cómo has visto en la imagen, se componen de los siguientes elementos elementos:

a: uno de los dos lados, es decir, una de las dos semirrectas que compone el ángulo. Junto con el otro lado delimita la amplitud del ángulo.

b: lado dos; con el mismo origen que el otro lado (a), completa el ángulo y delimita su amplitud.

C: vértice. Es el origen común de ambas semirrectas.

α: amplitud del ángulo cóncavo que forman las dos semirrectas.

β: amplitud del ángulo convexo que forman las dos semirrectas.

Los lados son semirrectas y, por tanto, tienen una longitud infinita. Aunque, cuando los dibujamos tenemos que ponerles fin para que nos quepan en el papel.

El vértice tiene siempre las mismas dimensiones ya que es un punto, el origen de las dos semirrectas cuya única variabilidad depende de las coordenadas que lo localizan en el plano.

Así, la amplitud es lo único que varía de un ángulo a otro y, por tanto, lo que nos determina sus características; por eso es muy importante saber medirlos.

Según la medida de esta amplitud se clasifican los diferentes ángulos:

• Rectos: aquellos que miden exactamente 90º
• Llanos: aquellos que miden exactamente 180º
• Agudos: si miden menos de 90º
• Obtusos: si miden más de 90º
• Cóncavos: si miden más de 180º
• Convexos: si miden menos de 180º

Para medir su amplitud se utiliza una herramienta llamada transportador de ángulos pero también hay muchas otras herramientas que nos pueden ayudar a medir y dibujar diferentes ángulos:

• Una circunferencia con centro conocido nos permite dibujar ángulos rectos, como los egipcios los hacían cuando no tenían otras herramientas.
• Cualquier recta determina un ángulo llano.
• Todas las escuadras y cartabones tienen las siguientes medidas de sus ángulos y,
  combinándolas de diferentes formas, podemos construir otros. El cartabón tiene un ángulo recto, uno de 60º y otro de 30º y, la escuadra, un ángulo recto y dos de 45º.

Y así es cómo hemos descubierto los ángulos, los cuales forman parte de nuestra vida cotidiana, y hemos aprendido que no solo podemos observarlos, podemos medirlos y reproducirlos exactamente iguales a como los hemos encontrado en la realidad.

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OBJETIVO

Resuelve problemas que implican el uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.INTRODUCCIÓNLa utilización de las llamadas funciones trigonométricas data de la época de la antigua Babilonia. Los principios de esta rama matemáticas fuerón desarrollados en su mayoría por estudios de la India, antigua grecia y matemáticos musulmanes.Las funciones trigonométricas surgen al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados dependen únicamente del valor de los ángulos del triánguloLa denominación de los lados de un triángulo rectángulo son las siguientes:* La hipotenusa (h) corresponde al lado que se encuentra opuesto al ángulo recto.* El cateto opuesto (a) corresponde al lado opuesto al ángulo que se quiere establecer.* El cateto adyacente (b) corresponde al lado que es adyacente al ángulo que se busca establecer.

Te explicamos qué es un ángulo agudo, cuáles son sus características y ejemplos de la vida cotidiana. Además, otros tipos de ángulos.

¿Qué es un ángulo agudo?

En geometría, los ángulos se clasifican según su grado de apertura o cerrazón, usando para ello diferentes unidades de medición. En ese sentido, los ángulos agudos son aquellos que poseen una amplitud siempre inferior a los 90° sexagesimales (o expresado en otras unidades: 𝛑/2 radianes, o 100g centesimales), aunque mayor a los 0° sexagesimales. Es decir que son menos abiertos que un ángulo recto, pero más abiertos que un ángulo nulo.

Dicho más simplemente, los ángulos agudos son aquellos que tienen poca apertura (o mucha cerrazón), y que por lo general pueden hallarse en triángulos y en figuras geométricas irregulares. De hecho, si tomamos un ángulo recto y trazamos una recta que lo divida en dos ángulos exactamente a la mitad, obtendremos dos ángulos agudos idénticos de 45° sexagesimales de apertura.

Ver también: Vector

Características de los ángulos agudos

Los ángulos agudos se caracterizan por lo siguiente:

• Poseen un grado de apertura que supera los 0° y a la vez es inferior a los 90°. Es decir, se trata de un ángulo intermedio entre los nulos y los rectos.
• El vértice del ángulo se halla en el punto exacto en que las dos semirrectas se cortan, es decir, donde se tocan sus lados.
• Son los ángulos más estrechos que se pueden construir.

Ejemplos de ángulos agudos

Algunos ejemplos sencillos de ángulos agudos son los siguientes:

• El ángulo que forma una escalera completamente abierta.
• El ángulo que forman las hojas de una tijera.
• El ángulo que forman las manecillas del reloj cuando la aguja grande señala las 3 y la aguja pequeña señala cualquier región comprendida entre la 1 y las 2, inclusive.
• El ángulo que forma el lápiz respecto del papel cuando escribimos.
• El ángulo que forman los dos lados iguales de un triángulo rectángulo.
• El ángulo que forman los dos lados iguales de un triángulo isósceles.
• El ángulo que forman todos los lados de un triángulo equilátero.

Tipos de ángulo

Del mismo modo en que existen ángulos agudos, también hay otras cuatro diferentes clasificaciones de los ángulos, que son:

• Ángulos nulos, aquellos que forman un ángulo de 0°, es decir, que son inexistentes pues sus lados coinciden.
• Ángulos rectos, aquellos cuya apertura es de exactamente 90° sexagesimales (o sea, sus lados son perpendiculares entre sí).
• Ángulos obtusos, aquellos cuya apertura supera los 90° sexagesimales (o sea, son más abiertos que un ángulo recto).
• Ángulos llanos, aquellos que forman 180° sexagesimales de apertura, ya que sus lados son rectas consecutivas que se encuentran en el vértice.

Sigue con: Trigonometría

Referencias

• “Ángulo” en Wikipedia.
• “Ángulo agudo” en Wikimat.es.
• “Ángulos agudos, rectos y obtusos” (video) en Khan Academy.

La trigonometría es el estudio de los triángulos, estos es, de las relaciones entre los ángulos y los lados que los componen. En este apartado vamos a estudiar las razones trigonométricas de ángulos agudos (menores de 90º o π/2 rad) a través de los siguientes puntos:

Si ya estás familiarizado con estas ideas, te recomendamos que visites el apartado sobre las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

¿Empezemos?

Cuando hablamos de razón nos estamos refiriendo, en este caso, a una división. Como vamos a ver, las razones trigonométricas relacionan lados y ángulos a través de una división.

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

A partir de cualquier ángulo agudo α (menor de 90º) es posible construir un triángulo rectángulo ABC como el que puedes apreciar en la siguiente figura.

Triángulo rectángulo

Cualquier triángulo rectángulo posee dos ángulos agudos y uno recto.

Teniendo en cuenta dicha figura geométrica y los ángulos formados en cada uno de sus vértices es posible obtener una serie de razones que reciben el nombre de razones trigonométricas conocidas como seno, coseno, tangente, cosecante y cotangente.

Seno

El seno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto opuesto (c) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como sen(α) o sin(α).

sinα=catetoopuestohipotenusa=ca

Definición de seno de un ángulo

Podemos encontrar el valor del seno de un ángulo dividiendo el cateto opuesto a dicho ángulo entre la hipotenusa del triángulo rectángulo. Ten presente que el cateto opuesto es aquel que está «frente» al ángulo (no «toca» el ángulo).

Coseno

El coseno de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo (b) al ángulo y la longitud de la hipotenusa (a). Se representa como cos(α).

cosα=catetocontiguohipotenusa=ba

Definición de coseno de un ángulo

Podemos encontrar el valor del coseno de un ángulo dividiendo el cateto contiguo a dicho ángulo entre la hipotenusa del triángulo rectángulo. Ten presente que el cateto contigo es aquel que está «adyacente» al ángulo (toca al ángulo por uno de sus extremos). Recuerda, como regla mnemotécnica, «coseno=contiguo».

Tangente

La tangente de un ángulo agudo α es el cociente entre el seno y el coseno o, dicho de otra manera, la longitud del cateto opuesto al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como tg(α) o tan(α).

tanα=sinαcosα=cateto opuestocateto contiguo=cb

Definición de tangente de un ángulo

Podemos encontrar el valor de la tangente de un ángulo dividiendo el seno entre el coseno de dicho ángulo o, dicho de otra manera, dividiendo el cateto opuesto entre el contiguo a dicho ángulo.

Demostración

De las definiciones anteriores es posible deducir que:

Demostración:

tanα=sinαcosα=sinα=cacosα=ba=caba=c·ab·a=cb

El seno, el coseno y la tangente son las razones trigonométricas principales. El resto, como vamos a ver, se pueden obtener simplemente haciendo el valor inverso de estas, de ahí que se llamen usualmente razones inversas. Como se trata del inverso multiplicativo o recíproco (inverso respecto a la operación de multiplicación), también se suelen llamar razones recíprocas. Existe una regla mnemotécnica que puede ayudarte a recordar las razones principales: SOH-CAH-TOA. Efectivamente, se trata de Seno Opuesto Hipotenusa – Coseno Adyacente Hipotenusa – Tangente Opuesto Adyacente

Cosecante

La cosecante de un ángulo agudo α es la relación inversa o recíproca del seno, es decir el cociente entre la longitud de la hipotenusa (a) y la longitud del cateto opuesto al ángulo (c). Se representa como cosec(α) o csc(α).

cscα=1sinα=hipotenusacatetoopuesto=ac

Secante

La secante de un ángulo agudo α es la relación inversa o recíproca del coseno es decir, el cociente entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto contiguo al ángulo (b). Se representa como sec(α).

secα=1cosα=hipotenusacatetocontiguo=ab

Cotangente

La cotangente de un ángulo agudo α es el cociente entre la longitud del cateto contiguo al ángulo (c) y la longitud del cateto opuesto (b). Se representa como cotg(α) o cot(α).

cotgα=1tgα=catetocontiguocatetoopuesto=bc

En el apartado siguiente de nuestro tema vamos a estudiar el valor de las razones trigonométricas para ángulos de 30º, 45º y 60º

Una cuestión de notación: Recuerda que sin2(α)=(sin(α))2, cosn(α)=(cos(α))n, y lo mismo para el resto de razones.

Propiedades de las razones trigonométricas

Dado que se trata de un ángulo agudo ( 0 < α < 90º ) podemos deducir que:

0<sinα<10<cosα<1

¿Sabrías decir por qué? Efectivamente, dado que en el seno y en el coseno se divide entre la hipotenusa, y este es el lado mayor, siempre mayor que los catetos, el cociente será siempre menor que 1.

En general, si no nos restringimos a ángulos agudos, tenemos que:

-1<sinα<1-1<cosα<1

Volveremos a ello cuando estudiemos las razones trigonométricas de cualquier ángulo.

Identidad fundamental de la trigonometría

A partir del teorema de Pitágoras podemos deducir lo que se conoce como identidad pitagórica:

sin2α+cos2α=1

Demostración:

sin2α+cos2α=ca2+ba2=c2+b2a2=a2=b2+c2=a2a2=1

Si dividimos la identidad pitagórica por cos2(α) obtenemos que:

tan2α+1=sec2α

Demostración:

sin2αcos2α+cos2αcos2α=1cos2α;sinαcosα2+1=1cosα2;tan2α+1=sec2α

Por otro lado, si dividimos la identidad pitagórica por sin2(α) obtenemos que:

1+cot2α = csc2α

Demostración:

sin2αsin2α+cos2αsin2α=1sin2α;1+cosαsinα2=1sinα2 ;1+cot2α =csc2α

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Datos

α=23.99º

|

sin α = 2.00/4.92= 0.41

|

cos α = 4.50/4.92= 0.91

|

tg α = 2.00/4.50= 0.45

γ=66.01º

|

sin γ = 4.50/4.92= 0.91

|

cos γ = 2.00/4.92= 0.41

|

tg γ = 4.50/2.00= 2.25

Razones trigonométricas de ángulos agudos

La figura muestra un triángulo rectángulo. Observa que, en este tipo de triángulos, se forman dos ángulos agudos (α y γ) y un ángulo recto (β). Desplaza los vértices C y B para determinar su tamaño y observa como se calculan las razones trigonométricas de α y γ.

Por otro lado, observa que, aunque las razones son una división de dos lados de un triángulo, el tamaño de este no influye en el resultado, siempre que el ángulo se mantenga constante. Esto se debe a que los cocientes se mantienen constantes en triángulos que son semejantes.

Recuerda que dos triángulos son semejantes cuando:

• Los ángulos son iguales
• Los lados homólogos son proporcionales

En triángulos semejantes se define la razón de semejanza como el cociente entre las longitudes de lados homólogos (los están en el mismo «sitio», es decir, entre los mismos ángulos).

Ejemplo

Calcular las razones trigonométricas de un ángulo agudo α, sabiendo que sec α = 4.

Ver solución

Calculadora

Podemos calcular las razones trigonométricas de cualquier ángulo agudo (y de cualquier ángulo, en general) con nuestra calculadora. Tenemos para ello las teclas:

• : Para el cálculo del seno. La palabra sin es del inglés sinus (seno), aunque en algunas calculadoras tienes directamente sen
• : Para el cálculo del coseno
• : Para el cálculo de la tangente

Es muy importante que sepas como la calculadora va a interpretar el ángulo que estás poniendo. Así, si tienes tu calculadora configurada en grados sexagesimales probablemente verás en la línea superior y en pequeñito la letra D (del inglés degree). Significa que cuando pongas, por ejemplo sin(30), la calculadora resolverá sin(30º)=0.5. En cambio, si tienes tu calculadora configurada en radianes (apareciendo en la línea superior y en pequeñito la letra R de radianes), y pones sin(30) la calculadora resolverá sin(30 rad)=-0.988.

También puedes utilizar la calculadora para recorrer el camino inverso, es decir, obtener el valor del ángulo cuya razón conoces. Por ejemplo, sabiendo que sin(α)=0.5 es posible usar la calculadora para obtener α=30º. Volveremos a ello cuando estudiemos las razones trigonométricas de cualquier ángulo.