¿Qué son los ángulos alternos externos?
Los ángulos alternos externos son ángulos creados cuando tres líneas se intersecan. Cuando una línea transversal cruza a las otras dos líneas, crea un exterior y un interior para las líneas paralelas. Estos ángulos son creados en el espacio afuera de las líneas paralelas en lados alternos.
En el siguiente diagrama, tenemos dos líneas paralelas que son cruzadas por una línea transversal. Podemos enumerar los vértices exteriores de la siguiente manera:
Entonces, tenemos los cuatro ángulos exteriores:
- ∠1
- ∠2
- ∠3
- ∠4
Los ángulos alternos externos son pares que aparecen afuera de las líneas cruzadas y en diferentes líneas. En este caso, los ángulos alternos externos son:
- ∠1 y ∠4
- ∠2 y ∠3
Propiedades de los ángulos alternos externos
Las siguientes son las propiedades fundamentales de los ángulos alternos externos:
- Cuando las dos líneas son paralelas, los ángulos alternos externos son congruentes (tienen la misma medida).
- Los ángulos externos consecutivos son suplementarios (suman 180°).
- Cuando las dos líneas son no-paralelas, los ángulos alternos externos no tienen propiedades específicas.
Teorema de ángulos alternos externos
Cuando dos líneas son paralelas, la transversal crea ángulos alternos externos. El teorema dice: “Si es que un par de líneas paralelas son cruzadas por una transversal, entonces, los ángulos alternos externos son congruentes “.
En el siguiente diagrama, tenemos un par de líneas paralelas que son cruzadas por una transversal.
Tenemos los mismos ángulos externos:
- ∠1
- ∠2
- ∠3
- ∠4
Usando el teorema de ángulos alternos externos, sabemos que los ángulos alternos externos formados por líneas paralelas son congruentes, por lo que tenemos:
- ∠1 = ∠4
- ∠2 = ∠3
Teorema inverso de ángulos alternos externos
Lo opuesto del teorema de ángulos alternos externos también es verdadero: “Si es que los ángulos alternos externos de dos líneas cruzadas por una transversal son congruentes, entonces, las líneas son paralelas”.
Entonces, si es que tenemos que los ángulos ∠1 y ∠4 son iguales, automáticamente sabemos que las líneas deben ser paralelas.
Ejercicios de ángulos alternos externos resueltos
Podemos usar las propiedades de los ángulos alternos externos para resolver algunos ejercicios.
EJERCICIO 1
¿Cuál es el valor de X y Y en la siguiente figura?
Solución: Los ángulos 50° y Y son ángulos alternos externos. Dado que las líneas son paralelas, sabemos que tenemos:
Y = 50°
Similarmente, los ángulos 130° y Y son ángulos alternos externos, por lo que tenemos:
X = 130°
EJERCICIO 2
¿Cuál es el valor de los ángulos faltantes en el diagrama?
Solución: Los ángulos ∠A, 110°, ∠C y ∠D son ángulos externos. Dado que las líneas son paralelas, tenemos:
∠C = 110°
Además, sabemos que los ángulos consecutivos son suplementarios, por lo que tenemos:
∠C+∠D = 180°
∠D = 180° – ∠C = 180° – 110° = 70°
EJERCICIO 3
Tenemos que los ángulos (5x-25)° y (3x+35)° son ángulos alternos externos congruentes. ¿Cuál es el valor de x?
Solución: Sabemos que los ángulos congruentes tienen la misma medida, por lo que tenemos:
5x-25 = 3x+35
5x-3x = 25+35
2x = 60
x = 30
Entonces, los ángulos dados son:
5(30)-25 = 125°
EJERCICIO 4
Tenemos los ángulos externos consecutivos (3x-10)° y (x+30)°. Encuentra la medida de los ángulos.
Solución: Sabemos que los ángulos externos consecutivos son suplementarios, por lo que podemos formar la siguiente ecuación:
(3x-10) + (x+30) = 180
4x+20 = 180
4x = 160
x = 40
Entonces, los ángulos son:
3x-10 = 3(40)-10 = 110°
x+30 = 40+30 = 70°
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre ángulos? Mira estas páginas:
Los ángulos entre rectas paralelas y una secante, en geometría euclidiana, son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas (r y s en la imagen de la derecha) y una transversal a ellas (t).
Denominación
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- Ángulos alternos: son los que se encuentran a distinto lado de la secante.
- Ángulos colaterales: son los que se encuentran al mismo lado de la secante.
- Alternos internos: son los que se encuentran en la zona interior de las rectas paralelas.
- Alternos externos: Son los que se encuentran en la zona externa de las rectas paralelas.
- Correspondientes: Son los que se encuentran a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno.
Ángulos alternos internos
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Las parejas de ángulos: c,f; d,e se llaman ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos son congruentes. Pasa por el vértice opuesto en lo que podemos ver esto se suma por la distancia de las líneas paralelas en ciertos casos el ángulo de un triángulo mide 180° grados y para cada ángulo siempre se busca que 35° o alguna otra cifra sumados den 180°.
Ángulos alternos externos
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Las parejas de ángulos: a,h; b,g se llaman ángulos alternos externos.
Los ángulos alternos externos son congruentes.
Ángulos colaterales internos
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Los ángulos colaterales internos[1] o conjugados internos[2] son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas paralelas.
Son ángulos colaterales internos los siguientes ángulos: c,e; d,f.
Los ángulos conjugados internos son suplementarios (suman 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} 
Ángulos colaterales externos
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Los ángulos colaterales externos[1] o conjugados externos son los que se encuentran al mismo lado de la secante y en la parte exterior de las rectas paralelas.
Son ángulos colaterales externos los siguientes ángulos: a,g; b,h.
Los ángulos colaterales son suplementarios (suman 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }}
Ángulos correspondientes
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Son los ángulos que se encuentran a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno, pero no son adyacentes. Los pares de ángulos: c, g; a, e; d, h y b, f; son correspondientes
Los ángulos correspondientes son congruentes.
Ángulos congruentes entre paralelas
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Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que no son adyacentes.
Teoremas y resultados relacionados
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La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría,[3] presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.[Ver: Bibliografía] Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,[4] si bien es la ciencia griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.
Según cuenta la leyenda, el filósofo Tales de Mileto utilizó esta propiedad para medir la altura de las pirámides de Guiza, alrededor del año 500 a. C.
Proposiciones de Euclides
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La controversia sobre el V postulado alcanza la definición de los ángulos entre rectas paralelas y una secante desde el momento mismo de la elección de la noción de «rectas paralelas»: las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.[5]
De Los Elementos de Euclides:
Proposición 28
Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
Proposición 29
Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.
Definición 23
Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.
Independencia del V postulado
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Si los ángulos interiores α y β no son suplementarios, las rectas prolongadas se intersecan (véase: Quinto postulado de Euclides).
Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes[6]) son independientes del V postulado de Euclides. La Proposición 16, por ejemplo, no se cumple en geometría elíptica.
De Los Elementos de Euclides:
Proposición 27
Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas.
Proposición 16
En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.
Geometría no-euclidiana
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En la geometría absoluta o la geometría esférica por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que los ángulos entre rectas paralelas y una secante tienen propiedades diferentes.
Véase también
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Notas y referencias
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Bibliografía
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- Un acercamiento al pensamiento geométrico (1 edición). Lorenza Correa Restrepo. p. 141. ISBN 9789589812907.
Polania Sagra, Claudia Marcela; Sánchez Zuleta, Carmen Cecilia (2 de 2007). «3.2».(1 edición). Lorenza Correa Restrepo. p. 141.
-
Ibáñez Carrasco, Patricia; García Torres, Gerardo (6 de 2006). «1.4». Matemáticas II, Geometría Y Trigonometría (1 edición). Cengage Learning.
- Curso de Geometría. Editorial Progreso. p. 46. ISBN 9684361157.
Landaverde, Felipe de Jesús (1977).. Editorial Progreso. p. 46.
Enlaces externos
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