Si lo tuyo es ver las clases en vídeo, te invitamos a darle un vistazo a los Ángulos Internos, Externos y Correspondientes en nuestro canal de YouTube.
Empecemos…
Vamos a partir de dos rectas paralelas entre sí
Ahora las vamos a cortar con una recta inclinada de la siguiente forma
Esto nos va a ocasionar o generar 8 ángulos y los vamos a enumerar así
Ángulos Correspondientes
Son aquellos que poseen la misma posición relativa y por lo tanto son IGUALES.
En la figura los puedes apreciar con el mismo color. El ángulo 1 y 5 (amarillos) son correspondientes (iguales) porque básicamente son hermanos gemelos por así decirlo. Lo mismo pasa con los ángulos 2 y 6 (azules), 3 y 7 (morados), 4 y 8 (verdes).
Ángulos Suplementarios
Son aquellos cuya suma nos da 180º.
En este caso tenemos varias parejas de ángulos suplementarios.
Fíjate en las dos rectas NEGRAS horizontales. Sobre ellas tenemos los ángulos 1 y 2 sumando 180º, y los ángulos 5 y 6 sumando también 180º.
Ahora miremos esas mismas rectas NEGRAS horizontales… pero por debajo. Allí tenemos los ángulos 3 y 4 sumando 180º, y los ángulos 7 y 8 sumando también 180º.
Ahora vamos a ubicarnos en la recta ROJA inclinada. Los ángulos 1 y 3 suman 180º, los ángulos 2 y 4 suman 180º, los ángulos 5 y 7 también, y lo mismo sucede con los ángulos 6 y 8. Observa:
Ángulos Opuestos por el Vértice
Son aquellos que básicamente se están mirando frente a frente. Dale un vistazo a lo que pasa con los ángulos 1 y 4, y también a los ángulos 5 y 8. Al ser opuestos por el vértice, SON IGUALES. Mira:
También sucede lo mismo con los ángulos 2 y 3, y los ángulos 6 y 7. Por lo tanto esas parejas son iguales entre sí:
Ángulos Internos y Externos
Esta clase se basa en los ángulos internos, externos y correspondientes, así que… ahora sí, a lo que vinimos. Veamos cuáles son los ángulos internos y cuáles los externos.
Son muy fáciles de detectar. Los ángulos internos son aquellos que están dentro de la sección que formas las dos rectas NEGRAS paralelas, y los ángulos externos… son los que se quedaron por fuera. Así:
Ángulos Alternos Internos
Ya sabemos cuáles son los internos… ahora miremos los alternos internos.
Es fácil. Los alternos son aquellas parejas de ángulos donde… si uno está arriba, su alterno está abajo… si está a la izquierda… su alterno está a la derecha.
Los ángulos alternos internos SON IGUALES entre sí.
Veamos. Los ángulos 3 y 6 son alternos internos porque, obviamente son internos, y también cumplen con que uno está al a derecha y el otro a la izquierda, uno está arriba y el otro abajo.
Lo mismo ocurre con los ángulos 4 y 5 que también son ángulos alternos internos. Internos porque están adentro… y alternos porque uno está a la izquierda y el otro a la derecha… y uno está arriba mientras el otro está abajo. Veamos:
Ángulos Alternos Externos
Ya analizamos los ángulos alternos internos. Ahora es el turno de los alternos externos.
Los ángulos alternos externos SON IGUALES entre sí.
Las parejas de ángulos alternos externos son externos por que están por fuera de las dos rectas paralelas NEGRAS… y son alternos por que si uno está a la izquierda… el otro está a la derecha… y mientras uno está arriba, el otro está abajo.
Veamos. Los ángulos 1 y 8 son alternos externos porque, obviamente son externos, y también cumplen con que uno está al a derecha y el otro a la izquierda, uno está arriba y el otro abajo.
Lo mismo ocurre con los ángulos 2 y 7 que también son ángulos alternos externos. Externos porque están adentro… y alternos porque uno está a la izquierda y el otro a la derecha… y uno está arriba mientras el otro está abajo. Veamos:
En conclusión… los ángulos 1, 4, 5 y 8 son iguales. También los ángulos 2, 3, 6 y 7 son iguales.
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¿Qué son los ángulos alternos internos?
Los ángulos alternos internos son ángulos formados cuando dos líneas paralelas o no-paralelas son intersecadas por una transversal. Estos ángulos están ubicados en las esquinas internas de las intersecciones y están en lados opuestos de la transversal.
Estos ángulos son iguales si es que las líneas intersecadas por la transversal son paralelas. Por otra parte, los ángulos alternos internos formados cuando una transversal cruza dos líneas no-paralelas no tienen ninguna relación geométrica.
Consideremos el siguiente diagrama:
Podemos ver que las dos líneas paralelas son intersecadas por una transversal. Esto significa que los ángulos alternos dentro de las líneas paralelas serán iguales. Es decir, tenemos:
∠A = ∠D y ∠B = ∠C
Propiedades de los ángulos alternos internos
Las siguientes son algunas de las propiedades importantes de los ángulos alternos internos:
- Si es que las dos líneas son paralelas, los ángulos son congruentes.
- Ángulos internos consecutivos son suplementarios, es decir, suman 180°.
- En el caso de líneas no-paralelas, los ángulos alternos internos no tienen propiedades específicas.
Teorema de ángulos alternos internos
Este teorema indica que, “si es que una transversal cruza a dos líneas paralelas, los ángulos alternos internos son congruentes”. Para comprobar este teorema, consideremos el siguiente diagrama:
De las propiedades de las líneas paralelas, sabemos que si es que una transversal cruza a través de dos líneas paralelas, los ángulos correspondientes y los ángulos verticales opuestos son iguales el uno con el otro. Entonces, tenemos:
∠2 = ∠5 (ángulos correspondientes)
∠2 = ∠4 (ángulos verticales opuestos)
De estas dos igualdades, podemos concluir que:
∠4 = ∠5 (ángulos alternos internos)
De igual forma, también tenemos:
∠3 = ∠6 (ángulos alternos internos)
Ángulos co-internos
Los ángulos co-internos son los ángulos que están en el mismo lado de la transversal. Los ángulos co-internos suman 180°. Esto significa que los ángulos internos, que están en el mismo lado de la transversal, son suplementarios.
Los ángulos co-internos tienen la forma de una “C” y estos ángulos no son iguales el uno con el otro. Estos ángulos también son conocidos como los ángulos consecutivos internos o los ángulos internos del mismo lado.
Ejercicios de ángulos alternos internos resueltos
Los ejercicios de ángulos alternos internos pueden ser resueltos usando las propiedades de las líneas paralelas.
EJERCICIO 1
Encuentra el valor de B y D en la siguiente figura:
Solución: Dado que el ángulo de 45° y D son ángulos alternos internos, sabemos que son congruentes, por lo que tenemos:
D = 45°
De igual forma, el ángulo de 135° y B son ángulos alternos internos, por lo que tenemos:
B = 135°
EJERCICIO 2
Encuentra el valor de A, C y D en la siguiente figura:
Solución: Los ángulos ∠A, 120°, ∠C y ∠D son ángulos internos, por lo que sabemos que tenemos:
∠C = 120°
Por el teorema de ángulos suplementarios, sabemos que tenemos:
∠C+∠D = 180°
∠D = 180° – ∠C = 180° – 120° = 60°
EJERCICIO 3
Si es que tenemos que los ángulos (4x-19)° y (3x+16)° son ángulos alternos internos congruentes, ¿cuál es el valor de x?
Solución: Los ángulos son congruentes, por lo que tenemos:
4x-19 = 3x+16
4x-3x = 16+19
x = 35
Esto significa que los ángulos dados son iguales a:
4(35)-19 = 121°
EJERCICIO 4
Dos ángulos internos consecutivos son (2x+10)° y (x+5)°. Encuentra la medida de los ángulos.
Solución: Los ángulos internos consecutivos son suplementarios, por lo que tenemos:
(2x+10) + (x+5) = 180
3x+15 = 180
3x = 165
x = 55
Entonces, los ángulos internos consecutivos son:
2x+10 = 2(55)+10 = 120°
x+5 = 55+5 = 60°
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre ángulos? Mira estas páginas:
Los ángulos entre rectas paralelas y una secante, en geometría euclidiana, son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas (r y s en la imagen de la derecha) y una transversal a ellas (t).
Denominación
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- Ángulos alternos: son los que se encuentran a distinto lado de la secante.
- Ángulos colaterales: son los que se encuentran al mismo lado de la secante.
- Alternos internos: son los que se encuentran en la zona interior de las rectas paralelas.
- Alternos externos: Son los que se encuentran en la zona externa de las rectas paralelas.
- Correspondientes: Son los que se encuentran a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno.
Ángulos alternos internos
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Las parejas de ángulos: c,f; d,e se llaman ángulos alternos internos.
Los ángulos alternos internos son congruentes. Pasa por el vértice opuesto en lo que podemos ver esto se suma por la distancia de las líneas paralelas en ciertos casos el ángulo de un triángulo mide 180° grados y para cada ángulo siempre se busca que 35° o alguna otra cifra sumados den 180°.
Ángulos alternos externos
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Las parejas de ángulos: a,h; b,g se llaman ángulos alternos externos.
Los ángulos alternos externos son congruentes.
Ángulos colaterales internos
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Los ángulos colaterales internos[1] o conjugados internos[2] son los que se encuentran del mismo lado de la secante y entre de las rectas paralelas.
Son ángulos colaterales internos los siguientes ángulos: c,e; d,f.
Los ángulos conjugados internos son suplementarios.(suman 180 ∘ {displaystyle 180^{circ }} 
Ángulos colaterales externos
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Los ángulos colaterales externos[1] o conjugados externos son los que se encuentran al mismo lado de la secante y en la parte exterior de las rectas paralelas.
Son ángulos colaterales externos los siguientes ángulos: a,g; b,h.
Los ángulos colaterales
son suplementarios.(suman180 ∘ {displaystyle 180^{circ }}
Ángulos correspondientes
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Son los ángulos que a un mismo lado de la secante, uno es externo y el otro interno. Los pares de ángulos: c, g; a, e; d, h y b, f; son correspondientes
Los ángulos correspondientes son congruentes.
Ángulos congruentes entre paralelas
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Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que no son adyacentes.
Teoremas y resultados relacionados
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La noción de ángulos correspondientes es la base de numerosos ejemplos y teoremas fundamentales de la geometría,[3] presente en los cursos de enseñanza media de las matemáticas.[Ver: Bibliografía] Es un resultado geométrico intuitivo conocido y manejado desde la antigüedad, de manera tanto práctica como teórica,[4] si bien es la ciencia griega, y en particular Euclides, en los Elementos (siglo III a.C.), quienes formalizan los conceptos y las nociones de un modo que ha permanecido casi sin variaciones hasta nuestros días.
Según cuenta la leyenda , el filósofo Tales de Mileto utilizó esta propiedad para medir la altura de las pirámides de Guiza , alrededor del año 500 a. C.
Proposiciones de Euclides
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La controversia sobre el V postulado alcanza la definición de los ángulos entre rectas paralelas y una secante desde el momento mismo de la elección de la noción de «rectas paralelas»: las que guardan siempre la misma distancia; las que no se encuentran; o bien las que forman ángulos congruentes al ser cortadas por una transversal.[5]
De Los Elementos de Euclides:
Proposición 28
Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.
Proposición 29
Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace los ángulos alternos iguales, los ángulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los ángulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.
Definición 23
Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.
Independencia del V postulado
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ángulos interiores α y β no son suplementarios, las rectas prolongadas se intersecan (véase:
Si losα y β no son suplementarios, las rectas prolongadas se intersecan (véase: Quinto postulado de Euclides ).
Los siguientes dos resultados (lógicamente equivalentes[6]) son independientes del V postulado de Euclides. La Proposición 16, por ejemplo, no se cumple en geometría elíptica.
De Los Elementos de Euclides:
Proposición 27
Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas.
Proposición 16
En cualquier triángulo, si se alarga uno de los lados, el ángulo exterior es mayor o igual que el ángulo interior y los ángulos opuestos.
Geometría no-euclidiana
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En la geometría absoluta o la geometría esférica por ejemplo, el quinto postulado de Euclides no aplica, por lo que los ángulos entre rectas paralelas y una secante tienen propiedades diferentes.
Véase también
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Notas y referencias
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Bibliografía
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- Un acercamiento al pensamiento geométrico (1 edición). Lorenza Correa Restrepo. p. 141. ISBN 9789589812907.
Polania Sagra, Claudia Marcela; Sánchez Zuleta, Carmen Cecilia (2 de 2007). «3.2».(1 edición). Lorenza Correa Restrepo. p. 141.
-
Ibáñez Carrasco, Patricia; García Torres, Gerardo (6 de 2006). «1.4». Matemáticas II, Geometría Y Trigonometría (1 edición). Cengage Learning.
- Curso de Geometría. Editorial Progreso. p. 46. ISBN 9684361157.
Landaverde, Felipe de Jesús (1977).. Editorial Progreso. p. 46.
Enlaces externos
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