Apotema de un polígono regular
La apotema de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados.
Calculamos la apotema utilizando el teorema de pitágoras, obteniendo que
![[ a = sqrt{r^2 - (frac{l}{2})^2} ]](https://i2.wp.com/www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-41155d28f9d944157bdb5ef92c68de0f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
donde
distancia del centro al vértice o el radio de la circunferencia a circunscrita
apotema
lado del polígono
Ejemplo:
Calculemos la apotema del siguiente polígono
Tenemos que 
y 
entonces
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Apotema del hexágono inscrito
En el caso del hexágono, tenemos que el lado y el radio coinciden, es decir 
Por lo que la formula queda de la siguiente manera
![[ a = sqrt{l^2 - (frac{l}{2})^2} ]](https://i2.wp.com/www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-22022724b358d8b4575a87b9945d8bcc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ejemplo:
Calculemos la apotema del siguiente hexágono inscrito
Tenemos que 
, entonces
![[ a = sqrt{4^2 - 2^2} = sqrt{12} ]](https://i2.wp.com/www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-95f0ba09f72cadd99f6e1a131163d175_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fórmula de la apotema de un hexágono
Existen dos métodos principales que podemos usar para derivar una fórmula para la apotema de hexágonos. Ambos métodos involucran dividir al hexágono en seis triángulos congruentes como en la siguiente imagen:
Primer método: Podemos usar el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos formados. Sabemos que los triángulos formados son equiláteros, por lo que sus tres lados son iguales. Además, trazando la apotema, vemos que divide a la base en dos partes iguales como en la imagen:
Entonces, usando estas longitudes, tenemos:
$latex {{l}^2}={{a}^2}+{{(frac{l}{2})}^2}$
$latex {{a}^2}={{l}^2}-{{(frac{l}{2})}^2}$
$latex {{a}^2}={{l}^2}-frac{{{l}^2}}{4}$
$latex {{a}^2}=frac{3{{l}^2}}{4}$
$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$
Segundo método: Similar al anterior método, dividimos al hexágono en seis triángulos congruentes. Al trazar la apotema, dividimos al triángulo por la mitad, eso significa que si hiciéramos esto con todos los triángulos, tendríamos 12 triángulos pequeños en total.
Para usar trigonometría, tenemos que encontrar el ángulo central. Dado que el ángulo central total es igual a 360°, el ángulo central de cada triángulo pequeño mide $latex 360div 12=30$°:
Ahora, podemos usar la tangente. Sabemos que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre lado adyacente:
$latex tan(30°)=frac{text{opuesto}}{text{adyacente}}$
$latex tan(30°)=frac{frac{l}{2}}{a}$
$latex tan(30°)=frac{l}{2a}$
$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$
Ejercicios de apotema de hexágonos resueltos
Los siguientes ejercicios usan ambas fórmulas de la apotema de hexágonos vistas arriba. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar el resultado.
EJERCICIO 1
¿Cuál es la longitud de la apotema de un hexágono que tiene lados de longitud 6 m?
Solución
Primera fórmula: Usando la primera fórmula con $latex l=6$, tenemos:
$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$
$latex a=frac{sqrt{3}(6)}{2}$
$latex a=5.2$
La longitud de la apotema es 5.2 m.
Segunda fórmula: Usando la segunda fórmula con $latex l=6$, tenemos:
$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$
$latex a=frac{6}{2tan(30°)}$
$latex a=5.2$
Vemos que obtuvimos el mismo resultado usando ambas fórmulas.
EJERCICIO 2
Un hexágono tiene lados de longitud 8 m. ¿Cuál es la longitud de su apotema?
Solución
Primera fórmula: Podemos usar $latex l=8$ en la primera fórmula:
$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$
$latex a=frac{sqrt{3}(8)}{2}$
$latex a=6.93$
La longitud de la apotema es 6.93 m.
Segunda fórmula: Si es que ahora usamos la segunda fórmula con $latex l=8$, tenemos:
$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$
$latex a=frac{8}{2tan(30°)}$
$latex a=6.93$
Obtuvimos la misma longitud con ambas fórmulas.
EJERCICIO 3
¿Cuál es la longitud de la apotema de un hexágono con lados de longitud 10 m?
Solución
Primera fórmula: Al usar la primera fórmula con $latex l=10$, tenemos:
$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$
$latex a=frac{sqrt{3}(10)}{2}$
$latex a=8.66$
La longitud de la apotema es 8.66 m.
Segunda fórmula: Al usar la segunda fórmula con $latex l=10$, tenemos:
$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$
$latex a=frac{10}{2tan(30°)}$
$latex a=8.66$
El mismo resultado fue obtenido con ambas fórmulas.
EJERCICIO 4
¿Cuál es la longitud de los lados de un hexágono que tiene una apotema de 7.5 m?
Solución
En este caso, tenemos la longitud de la apotema y queremos encontrar la longitud de los lados del hexágono.
Primera fórmula: Usamos la primera fórmula con $latex a=7.5$ y resolvemos para l:
$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$
$latex 7.5=frac{sqrt{3}l}{2}$
$latex 15=sqrt{3}l$
$latex l=8.66$
La longitud de los lados del hexágono es 8.66 m.
Segunda fórmula: Usamos la segunda fórmula con $latex a=7.5$ y resolvemos para l:
$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$
$latex 7.5=frac{l}{2tan(30°)}$
$latex l=7.5(2tan(30°))$
$latex l=8.66$
Obtuvimos la misma longitud con ambas fórmulas.
EJERCICIO 5
¿Cuál es la longitud de los lados de un hexágono que tiene una apotema de longitud 12 m?
Solución
Nuevamente, usamos ambas fórmulas y resolvemos para l.
Primera fórmula: Reemplazamos a $latex a=12$ y resolvemos para l:
$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$
$latex 12=frac{sqrt{3}l}{2}$
$latex 24=sqrt{3}l$
$latex l=13.87$
La longitud de los lados del hexágono es 13.87 m.
Segunda fórmula: Reemplazamos a $latex a=12$ y resolvemos para l:
$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$
$latex 12=frac{l}{2tan(30°)}$
$latex l=12(2tan(30°))$
$latex l=13.86$
En este caso, obtuvimos una pequeña diferencia en los decimales. Esto se debe al redondeo usado a la hora de realizar las operaciones.
Ejercicios de apotema de hexágonos para resolver
Practica el uso de las fórmulas de la apotema de hexágonos y resuelve los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y haz clic en “Verificar” para comprobar tu respuesta. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.
¿Cuál es la longitud de la apotema de un hexágono que tiene lados de longitud 11m?
Escoge una respuesta
$latex a=8.93m$
$latex a=9.11m$
$latex a=9.53m$
$latex a=10.12m$
Un hexágono tiene lados de longitud 15m. ¿Cuál es la longitud de la apotema?
Escoge una respuesta
$latex a=12.5m$
$latex a=13m$
$latex a=13.5m$
$latex a=14.2m$
Un hexágono tiene una apotema de longitud 18m. ¿Cuál es la longitud de los lados?
Escoge una respuesta
$latex l=16.58m$
$latex l=17.22m$
$latex l=18.35m$
$latex l=20.78m$
Un hexágono tiene una apotema de longitud 20m. ¿Cuál es la longitud de los lados?
Escoge una respuesta
$latex l=23.09m$
$latex l=24.12m$
$latex l=25.12m$
$latex l=25.87m$
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre hexágonos? Mira estas páginas:
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Introduce la longitud de la hipotenusa en la fórmula. Conoces la longitud de la hipotenusa porque conoces la longitud del lado del hexágono. La longitud del lado de un hexágono regular es igual a su radio. El radio es la línea que conecta el punto central de un polígono con cualquiera de sus vértices. Observarás que la hipotenusa del triángulo rectángulo también es un radio del hexágono y, por lo tanto, se corresponderá igualmente con la longitud del lado.
- Por ejemplo, si la longitud del lado del hexágono es de 8 cm, la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo será también de 8 cm. Por lo tanto, la fórmula quedará así:
a2+42=82{displaystyle a^{2}+4^{2}=8^{2}}
Conoces la longitud de la hipotenusa porque conoces la longitud del lado del hexágono. La longitud del lado de un hexágono regular es igual a su radio.El radio es la línea que conecta el punto central de un polígono con cualquiera de sus vértices.Observarás que la hipotenusa del triángulo rectángulo también es un radio del hexágono y, por lo tanto, se corresponderá igualmente con la longitud del lado.
En la clase de hoy explicaremos cómo calcular el área y perímetro de un hexágono con distintos ejemplos.
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¿Cómo se calcula el Perímetro de un hexágono?
ElPerímetro de un hexágono es igual a la suma de todos sus lados.
Perímetro: Suma de sus seis lados.
En todo caso sería Perímetro = 6. LADO = 6L
¿Cómo se calcula el Área de un hexágono regular?
El área del hexágono regular es igual al perímetro por la apotema partido por dos.
Y nos preguntaremos, ¿qué es la apotema?
La apotema de un polígono regular es la menordistancia entre el centro y cualquiera de sus lados.
Veamos el primer ejemplo que se nos plantea en lafigura.
Tenemos un hexágono regular de lado 6 cm. De estemodo, calculamos el perímetro y sería:
Perímetro = 6. 6 = 36 cm
Por otro lado, necesito calcular la apotema.
¡Importante!
Tenemos que ver cómo los triángulos formados al unir el centro con todos los vértices son equiláteros. Es decir, todos tienen de lado 6 cm.
Es por ello que, al conocer dos lados, aplicando el Teoremade Pitágoras, donde la apotema es un cateto, el otro cateto es la base que esla mitad del lado, es decir, 3 cm y la hipotenusa es 6 cm, hallaremos laapotema.
La apotema sería 5,2 cm de forma aproximada.
Por tanto, ya podemos aplicar la fórmula:
El área de nuestro hexágono es 93,6 cm2 de forma aproximada.
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El segundo ejemplo se realizaría de forma similar:
En lafigura vemos como en este caso el hexágono regular tiene lado 10 cm.
En primer lugar, calculamos el perímetro:
P = 6. 10 = 60cm
Volvemos a utilizar el Teorema de Pitágoras paracalcular la apotema:
La apotema sería 8,7 cm de forma aproximada.
Por tanto, ya podemos aplicar la fórmula:
El área de nuestro hexágono es 261 cm2 aproximadamente.
Si tienes cualquier duda sobre como realizar el área y perímetro de un hexágono , puedes dejar un comentario en el foro de esta misma entrada. De esta manera, otras personas podrán ver la consulta y la solución correspondiente y así contribuimos a compartir juntos.
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