Cuando el grado del numerador de una función racional excede el grado del denominador por uno entonces la función tiene asíntotas oblicuas . Para encontrar estas asíntotas, es necesario utilizar la división polinómica larga y la porción no restante de la función se convierte en la asíntota oblicua. Una pregunta natural a hacer es: ¿qué sucede cuando el grado del numerador supera el del denominador por más de uno?
Asíntotas oblicuas
Se muestra la siguiente función antes y después de que se realice la división polinómica larga.
( f(x)=frac{x^{4}+3 x^{2}+2 x+14}{x^{3}-3 x^{2}}=x+3+frac{12 x^{2}+2 x+14}{x^{3}-3 x^{2}})
Observe que la porción restante irá a cero cuando x se vuelva extremadamente grande o extremadamente pequeña porque la potencia del numerador es menor que la potencia del denominador. Esto significa que si bien esta función puede volverse extraña con pequeños valores absolutos de x, los valores absolutos grandes de x están extremadamente cerca de la línea y=x+3.
[Figura1]
Las asíntotas oblicuas son estas asíntotas inclinadas que muestran exactamente cómo una función aumenta o disminuye sin límite. Las asíntotas oblicuas también se llaman asíntotas inclinadas.
En ocasiones una función tendrá una asíntota que no parece una línea. Eche un vistazo a la siguiente función:
( f(x)=frac{left(x^{2}-4right)(x+3)}{10(x-1)})
El grado del numerador es 3 mientras que el grado del denominador es 1 por lo que la asíntota inclinada no será una línea. Sin embargo, cuando se observa la gráfica, todavía hay un patrón claro en cuanto a cómo esta función aumenta sin límite a medida que x se acerca a números muy grandes y muy pequeños.
( f(x)=frac{1}{10}left(x^{2}+4 xright)-frac{12}{10(x-1)})
Como pueden ver, esto parece una parábola con un resto. Esta función racional tiene una columna vertebral parábola. Una columna vertebral es una función a la que tiende una gráfica. Esto no es técnicamente una asíntota oblicua porque no es una línea.
[Figura2]Asíntotas de funciones
Explicamos los tres tipos de asíntotas y resolvemos algunos problemas, con gráficas.
Índice:
- Introducción
- Asíntota horizontal
- Asíntota vertical
- Asíntota oblicua
- Problemas resueltos
1. Introducción
A veces, la gráfica de una función se acerca infinitamente a algunas rectas. Estas rectas se denominan asíntotas.
Ejemplo
La asíntota es la recta de color rojo y su ecuación es (y = x+1).
Una asíntota puede ser horizontal, vertical u oblicua (como en el ejemplo).
A continuación, definimos y explicamos cómo calcular las asíntotas de una función.
2. Asíntota horizontal
Una función (f(x)) tiene la asíntota horizontal (y = kinmathbb{R}) si su límite cuando (x) tiende a infinito es (k).
Distinguimos tres casos:
-
Asíntota horizontal por la izquierda si
-
Asíntota horizontal por la derecha si
-
Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que (y=k) es una asíntota horizontal de (f(x)).
Para calcular la asíntota horizontal sólo tenemos que calcular los límites cuando (xtopminfty).
Ejemplo
Calculamos los límites:
La función tiene la asíntota (y=2) por ambos lados.
Gráfica:
También, hay asíntotas verticales: (x = pm sqrt{2}/2):
3. Asíntota vertical
Una función (f(x)) tiene la asíntota vertical (x = kinmathbb{R}) si su límite cuando (x) tiende a (k) es infinito.
También, distinguimos tres casos:
-
Asíntota vertical por la izquierda si
-
Asíntota vertical por la derecha si
-
Si ambos límites son iguales, decimos simplemente que (y=k) es una asíntota vertical de (f(x)).
Las funciones racionales (fracción de polinomios) tienen asíntotas verticales en las raíces del denominador.
Ejemplo
Calculamos los límites cuando (xto 5):
Por tanto, (x=5) es una asíntota por ambos lados.
Gráfica:
Observad que también tiene la asíntota horizontal (y=1).
La función logaritmo es un ejemplo de función que tiene una asíntota vertical ((x=0)) sólo por un lado (por la derecha):
Los (k) candidatos para ser asíntotas verticales suelen ser los (x=k) para los que (f(x)) presenta problemas en su definición.
4. Asíntota oblicua
Una recta es oblicua si no es horizontal ni vertical. Son las rectas con ecuación
El coeficiente (m) es la pendiente de la recta y (n) es la ordenada en el origen.
-
La recta (y=mx+n) es una asíntota oblicua de (f(x)) por su izquierda si
-
Y es asíntota oblicua por su derecha si
Encontrar las asíntotas oblicuas parece más complicado que las horizontales y las verticales, sin embargo, el siguiente resultado facilita la tarea:
Si la recta (y=mx+n) es una asíntota oblicua de (f(x)), entonces
Ejemplo
Calculamos la asíntota oblicua de la función
La pendiente es
La ordenada en el origen es
La asíntota oblicua es
Se trata de una asíntota oblicua por ambos lados, por eso hemos calculado los límites con (xtopminfty).
Gráfica:
5. Problemas resueltos
En todos los problemas hay que hallar, si existen, las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
Problema 1
Solución
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando (xto infty):
Por tanto, la recta (y=1) es una asíntota horizontal por ambos lados.
Asíntotas verticales
Igualamos el denominador a (0) y resolvemos la ecuación:
Calculamos los límites cuando (xto 0):
Por tanto, (x = 0) es una asíntota vertical por ambos lados.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua (y = mx+n).
Calculamos su pendiente:
Como la pendiente es (0), no hay asíntotas oblicuas.
Gráfica:
Problema 2
Solución
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando (xto infty):
Por tanto, no hay asíntotas horizontales.
Asíntotas verticales
Como (x=1) anula al denominador, calculamos los límites en este punto:
La recta (x=1) es una asíntota vertical por ambos lados.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua (y = mx+n).
Calculamos su pendiente:
Calculamos la ordenada en el origen:
Por tanto, la recta (y = -x-1) es una asíntota oblicua por ambos lados.
Gráfica:
Problema 3
Solución
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando (xto infty):
Por tanto, (y=0) es una asíntota horizontal por ambos lados.
Asíntotas verticales
Calculamos las raíces del denominador:
Calculamos los límites en (x=1):
Por tanto, (x=1) es una asíntota vertical por ambos lados.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua (y = mx+n).
Calculamos su pendiente:
Como la pendiente es (0), no hay asíntotas oblicuas.
Gráfica:
Problema 4
Solución
El radicando tiene que ser no negativo:
Las soluciones de esta inecuación son (x≥2) y (x<-2). Es decir, el dominio de la función es
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando (xto infty):
Por tanto, (y=1) es una asíntota horizontal por ambos lados.
Asíntotas verticales
Calculamos el límite cuando (xto -2^-):
Por tanto, (x=-2) es una asíntota vertical por la izquierda.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua (y = mx+n).
Calculamos su pendiente:
Como la pendiente es nula, no hay asíntotas oblicuas.
Gráfica:
Problema 5
Solución
Asíntotas horizontales
Calculamos los límites cuando (xto infty):
Por tanto, no hay asíntotas horizontales.
Asíntotas verticales
El denominador se anula cuando (x=pm 2). Tenemos que calcular los límites laterales en estos dos puntos.
Cuando (xto -2):
Cuando (xto 2):
Por tanto, las rectas (x=pm 2) son asíntotas verticales por ambos lados.
Asíntotas oblicuas
Supongamos que existe una asíntota oblicua (y = mx+n).
Calculamos su pendiente:
Calculamos la ordenada en el origen:
Por tanto, la recta (y = -x) es una asíntota oblicua por ambos lados.
Gráfica:
Más problemas similares: asíntotas de funciones.
ANUNCIOS
La asíntota oblicua de una función f(x) son rectas con ecuación y = px + q que existirán si se cumple que hayan, al menos, uno de estos dos límites:
En el primer caso, se dice que existe asíntota oblicua por la derecha (o asíntota oblicua en +∞).
En el segundo caso, se dice que existe asíntota oblicua por la izquierda (o asíntota oblicua en -∞).
Necesitamos, en cada caso, saber la ecuación de la recta de cada asíntota oblicua. Hay que averiguar el parámetro p (pendiente de la recta) y el q (punto de corte con el eje de ordenadas).
El cálculo de la pendiente p se obtiene de uno de estos dos límites:
Dependiendo del valor de p obtenido puede ocurrir que.
- Si p es un número real diferente de cero, existe asíntota oblicua. Cuando p > 0, la pendiente es positiva y la asíntota va en la dirección del primer al tercer cuadrante de los ejes de coordenadas. Si p < 0, la pendiente es negativa y la asíntota va en la dirección del segundo al cuarto cuadrante.
- Si el valor de p = ±∞ no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola vertical.
- Si el valor de p = 0; no existe asíntota oblicua y la rama estudiada es del tipo de la parábola horizontal.
Punto de corte de la asíntota con el eje de ordenadas, q.
Si p calculado anteriormente es un número real diferente de cero, el parámetro q se obtiene mediante este límite:
Si este límite es finito, existe la asíntota oblicua. Pero si el límite fuese infinito, no hay asíntota y sí rama parabólica.
Una función no puede tener asíntotas horizontales y, a la vez, oblicuas.
Las funciones polinómicas racionales con asíntota oblicua tienen un grado más en el numerador que en el denominador.
Una asíntota oblicua puede cortar a la gráfica de la función en uno o más puntos.
Ejemplo 1
ANUNCIOS
Hallar, si existen, las asíntotas oblicuas de la función:
En primer lugar descartamos que existan asíntotas horizontales (incompatibles con las oblicuas):
El límite es infinito, por lo que no existen asíntotas horizontales. Podemos ver el parámetro p (pendiente) de la recta de la posible asíntota oblicua mediante el valor del límite:
Como el límite tiene un valor finito y ≠ 0, p = 1, existe una asíntota oblicua.
Se averigua ahora el punto q, de corte con el eje Y, mediante este límite:
La ecuación de la asíntota oblicua, de pendiente positiva, de esta función es:
Como se ve en la figura:
Ejemplo 2
Hallar, por el procedimiento descrito en esta página, las ecuaciones de la hipérbola que aparece en el ejercicio de la página de Universo Fórmulas asíntotas de una hipérbola.
En este ejercicio, los parámetros de la hipérbola son a = 2 y b = 4.
La ecuación de la hipérbola será:
De la que despejamos la y:
Mediante el límite siguiente se descartan las asíntotas horizontales, para que puedan existir las oblicuas:
No hay asíntotas horizontales, porque el límite es infinito. Vamos a ver la pendiente p de la/las asíntotas oblicua/s:
Porque es el límite de una razón polinómica con el mismo orden en el numerador y el denominador.
Existen dos asíntotas oblicuas porque los valores de sus pendientes p ± 0. Hallaremos el punto q de intersección con el eje Y:
El valor de este límite (de q) es 0. Se llega a él después de una indeterminación ∞ – ∞ que ya se ha mostrado su resolución en el enlace correspondiente.
Por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas oblicuas buscadas son:
Se ha llegado al mismo resultado que en el ejercicio de la página de Universo Formulas asíntotas de una hipérbola.
