Modelo 3D de un prisma triangular (uniforme)
En la geometría, un prisma triangular es un prisma cuyas bases tienen tres lados, y por ende, un prisma con tres lados. Es un poliedro hecho de una base triangular, una copia trasladada y 3 caras que unen los lados correspondientes. Un prisma triangular recto tiene lados rectangulares; un prisma que no cumple esta propiedad se llama oblicuo. Un prisma triangular uniforme es un prisma triangular recto con bases equiláteras y lados cuadrados.
De manera equivalente, es un poliedro del cual dos caras son paralelas, mientras que las normales de las otras tres están en el mismo plano (que no es necesariamente paralelo.
Como un poliedro semirregular (o uniforme)
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Un prisma triangular recto es semirregular o, más generalmente, un poliedro uniforme, si las caras de la base son triángulos equiláteros, y las otras tres caras son cuadrados. Se puede ver como un hosoedro trigonal truncado, representado por un símbolo de Schläfli t{2,3}. De otra manera, puede verse como el producto cartesiano de un triángulo y un segmento de línea, y representado por el producto {3}x{}. El dual de un prisma triangular es una bipirámide triangular.
El grupo de simetría de un prisma recto de 3 lados con base triangular es D3h, con orden 12. El grupo de rotación es D3, con orden 6. El grupo de simetría no contiene la simetría central.
Área
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Desarrollo plano de un prisma triangular (uniforme).
El área de un prisma triangular recto de altura h {displaystyle h} 
A = L ⋅ ( 3 h + L 3 2 ) {displaystyle A=Lcdot left(3h+{frac {L{sqrt {3}}}{2}}right)}
El área de un prisma triangular recto de altura h {displaystyle h} 
A = 2 s h + 2 s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {displaystyle A=2sh+2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
Volumen
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El volumen de cualquier prisma es el producto del área de la base y la distancia entre las dos bases. En este caso, la base es un triángulo, por lo que simplemente necesitamos calcular el área del triángulo y multiplicarlo por la longitud del prisma:
V = 1 2 b h l , {displaystyle V={frac {1}{2}}bhl,}
donde b es la longitud de un lado del triángulo, h es la longitud de una altura dibujada a partir de ese lado, y l es la distancia entre las caras triangulares.
Prisma triangular truncado
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Un prisma triangular recto truncado tiene una cara triangular truncada en un ángulo oblicuo.[2]
El volumen de un prisma triangular truncado con área de base A y tres alturas h1, h2 y h3 está determinado por[3]
V = 1 3 A ( h 1 + h 2 + h 3 ) . {displaystyle V={frac {1}{3}}A(h_{1}+h_{2}+h_{3}).}
Facetados
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Hay dos facetados completos de simetría D2h de un prisma triangular, ambas con 6 caras isósceles triangulares, una conservando los triángulos superiores e inferiores originales y la otra los cuadrados originales. Dos facetados inferiores de simetría C3v tienen un triángulo base, 3 caras cuadradas laterales cruzadas y 3 caras laterales triangulares isósceles.
Poliedros y teselaciones relacionadas
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Un tetraedro regular o un disphenoide tetragonal se puede disecar en dos mitades con un cuadrado central. Cada mitad es un prisma triangular topológico.
Mutaciones de simetría
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Este poliedro está topológicamente relacionado con parte de la secuencia de poliedros truncados uniformes con configuraciones de vértice (3.2n.2n) y simetría de grupo Coxeter [n,3].
Este poliedro está topológicamente relacionado con parte de la secuencia de poliedros cantelados con configuración de vértice (3.4.n.4), y continúa como teselaciones del plano hiperbólico. Estas figuras isogonales tienen simetría (*n32).
Este poliedro está topológicamente relacionado con parte de la secuencia de poliedros cantelados con la figura del vértice (3.4.n.4), y continúa como teselaciones del plano hiperbólico. Estas figuras isogonales tienen simetría (*n32).
Compuestos
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Hay 4 compuestos uniformes de prismas triangulares:
Panales
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Hay 9 panales uniformes que incluyen casillas de prismas triangulares:
Politopos relacionados
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El prisma triangular es el primero de una secuencia dimensional de politopos semirregulares. Cada politopo subsecuente es una configuración de vértice construida a partir del politopo anterior. Thorold Gosset identificó en 1900 que todas las facetas de esta secuencia son politopos regulares, siendo símplexes y ortoplexes (triángulos equiláteros y cuadrados en el caso del prisma triangular). En la notación de Coxeter, el prisma triangular recibe el símbolo −121.
Espacio de cuatro dimensiones
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El prisma triangular existe como las casillas de varios 4-politopos uniformes, que incluyen:
Véase también
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Referencias
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Enlaces externos
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Definición de un prisma triangular
Un prisma triangular es un tipo de prisma que tiene dos bases y tres caras laterales. Los lados laterales tienen una forma rectangular y las bases tienen una forma triangular. En total, estos prismas tienen cinco caras, nueve vértices y seis aristas.
Las caras laterales y las bases del prisma triangular pueden o no ser congruentes dependiendo en si la base es un triángulo equilátero. Las aristas del prisma unen a las caras laterales correspondientes. Las aristas de los triángulos son paralelas la una con la otra.
Características principales de un prisma triangular
Las siguientes son algunas de las características más importantes de los prismas triangulares:
- Tienen un total de 9 aristas.
- Tienen un total de 5 caras.
- Tienen un total de 6 vértices.
- Tienen dos caras triangulares, llamadas bases y tres caras rectangulares, llamadas caras laterales.
- Las bases son paralelas y congruentes la una con la otra.
- Si es que las bases son triángulos equiláteros, las caras laterales son iguales la una con la otra.
Fórmulas importantes de prismas triangulares
Los prismas triangulares son figuras tridimensionales, por lo que sus propiedades más importantes son el volumen y el área superficial.
Fórmula del volumen
El volumen de un prisma es encontrado al multiplicar al área de su base por la longitud de su altura. Las bases son triangulares y sabemos que el área de cualquier triángulo es igual a un medio de la base multiplicada por la altura del triángulo. Entonces, tenemos la fórmula:
$latex V=frac{1}{2}bah$
en donde, b representa a la longitud de la base del triángulo, a representa a la altura del triángulo y h representa a la altura del prisma.
Fórmula del área superficial
Podemos encontrar el área superficial al sumar las áreas de todas las caras del prisma. Tenemos dos caras triangulares que son iguales, por lo que el área de ambas caras es ba. El área de las caras laterales es igual a la longitud del rectángulo por su altura.
Si es que tenemos un prisma con una base de triángulo equilátero, el área superficial es:
$latex A_{s}=ba+3bh$
en donde, a representa a la altura del triángulo, b representa a la base o uno de los lados del triángulo y h representa a la altura del prisma.
Ejercicios de prismas rectangulares resueltos
Los siguientes ejercicios son resueltos aplicando las fórmulas de prismas rectangulares vistas arriba.
EJERCICIO 1
Un prisma triangular tiene una base de longitud 6 m y una altura de 5 m. Si es que la altura del prisma es 7 m, ¿cuál es el volumen del prisma?
Solución: De la pregunta, tenemos los valores $latex b=6$, $latex a=5$ y $latex h=7$. Entonces, usamos estos valores en la fórmula del volumen:
$latex V=frac{1}{2}bah$
$latex V=frac{1}{2}(6)(5)(7)$
$latex V=105$
El volumen del prisma es 105 m³.
EJERCICIO 2
Si es que un prisma tiene una base triangular de base 8 m y altura 6 m, ¿cuál es su volumen con una altura de 10 m?
Solución: Reemplazamos los valores dados en la fórmula del volumen:
$latex V=frac{1}{2}bah$
$latex V=frac{1}{2}(8)(6)(10)$
$latex V=240$
El volumen del prisma triangular es 240 m³.
EJERCICIO 3
Un prisma tiene una base que es un triángulo equilátero con lados de longitud 6 m y una altura de 5.2 m. Si es que la altura del prisma es 10 m, ¿cuál es su área superficial?
Solución: Tenemos los valores $latex b=6$, $latex a=5.2$ y $latex h=10$, por lo que usamos estos valores en la fórmula del área superficial:
$latex A_{s}=ba+3bh$
$latex A_{s}=(6)(5.2)+3(6)(10)$
$latex A_{s}=31.2+180$
$latex A_{s}=211.2$
El área superficial es 211.2 m².
EJERCICIO 4
¿Cuál es el área superficial de un prisma que tiene una altura de 9 m y una base triangular con lados de longitud 12 m y altura de 10.4 m?
Solución: Tenemos las longitudes $latex h=9$, $latex b=12$ y $latex a=10.4$. Al usar a estos valores en la fórmula del volumen, tenemos:
$latex A_{s}=ba+3bh$
$latex A_{s}=(12)(10.4)+3(12)(9)$
$latex A_{s}=124.8+324$
$latex A_{s}=448.8$
El área superficial es 448.8 m².
Véase también
¿Interesado en aprender más sobre prismas triangulares? Mira estas páginas:
El prisma triangular es un poliedro con dos lados paralelos que son triángulos, llamado bases, unidos por tres caras laterales que son paralelogramos.
Debemos recordar que un prisma es un poliedro constituido por dos caras paralelas idénticas, que pueden ser cualquier polígono, unidas por caras laterales que son paralelogramos.
Asimismo, cabe señalar que un poliedro es una figura tridimensional, constituida por un número finito de caras que son polígonos.
Un prisma triangular no puede ser un poliedro regular pues no todas sus caras son polígonos regulares (de lados y ángulos interiores de igual medida) e idénticos entre sí.
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Sin embargo, sí podemos encontrar el caso particular primas uniformes. Estos son aquellos cuyas bases son triángulos equiláteros y las caras laterales son cuadrados.
Además, un prisma triangular recto es aquel cuyas caras laterales son rectángulos. Caso contrario, se trataría de un prisma triangular oblicuo (ver imágenes inferiores).
Elementos de un prisma triangular
Los elementos de un prima triangular, guiándonos de la imagen inferior, son los siguientes:
- Bases: Son dos triángulos paralelos e iguales: El triángulo ABC y el triángulo DEF en la figura.
- Caras laterales: Son paralelogramos que unen las dos bases.
- Aristas: Son los 9 segmentos que unen dos caras del prisma: AB, BC, AC,CF, AD, BE, DF, DE, EF.
- Vértices: Es el punto donde coinciden tres caras de la figura. Se cuentan 6: A, B, C, D, E, F.
- Altura: La distancia entre las dos bases de la figura. Si el prisma es recto, la altura es igual a la arista de las caras laterales.
Tomemos en cuenta que, sumando las dos bases más las tres caras laterales, el prisma triangular tiene un total de cinco caras.
Entonces, se cumple el teorema de Euler que nos dice que el número de aristas es igual al número de caras más el número de vértices menos dos: 6+5-2=9.
Área y volumen del prisma regular
Para conocer mejor las características de un prisma triangular se pueden calcular las siguiente medidas:
- Área: En general, la idea es calcular el área de las bases y sumarles el área de las caras laterales. Si nos encontramos frente a un prisma triangular uniforme, y las bases son triángulos equiláteros, podemos usar la siguiente fórmula, donde a es la longitud del lado de la base y h es la altura del prisma.
Asimismo, si las bases fueran triángulos de lados a, b y c, el área del prisma podría calcularse de la siguiente forma donde s es el semiperímetro de la base:
Asimismo en el caso de un prisma triangular oblicuo tendría la siguiente fórmula donde P es el perímetro de la sección recta (el triángulo sombreado en la figura de abajo) y l es una arista lateral del prisma (ver imagen inferior).
Vale precisar que la sección recta es la intersección de un plano con el prisma, de manera que forme con las aristas laterales (con cada una de ellas) un ángulo recto (de 90º).
- Volumen: El volumen de un prisma recto se calcularía con la siguiente fórmula, donde se está multiplicando el área de la base (con lado a) por la altura del prisma (h)
Para saber cómo se calculó al área de la base revisar nuestro artículo sobre triángulo equilátero.
Cabe señalar que para calcular, en general, el volumen de un prisma (ya sea oblicuo o recto) se tendría que seguir la siguiente fórmula, donde A es el área de la base y h es la altura del prisma.
Ejemplo de prisma triangular
Supongamos que tenemos un prisma triangular uniforme cuyas bases son triángulos con lados que miden 12 metros. Asimismo, la altura del poliedro es de 10 metros. ¿Cuál es el área y el volumen de la figura?
