Ya hemos aprendido algunas propiedades de los ángulos especiales, tales como la conversión de radianes a grados. También podemos calcular el seno y el coseno de los ángulos especiales con la identidad pitagórica y nuestro conocimiento acerca de los triángulos.

Por lo tanto, las coordenadas ( x , y ) ( x , y ) de un punto en un círculo de radio 1 1 en un ángulo de 45° 45° son ( 2 2 , 2 2 ) . ( 2 2 , 2 2 ) .

cos t = 1 2 2 2 = 2 2 sen t = 1 2 2 2 = 2 2 cos t = 1 2 2 2 = 2 2 sen t = 1 2 2 2 = 2 2

( x , y ) = ( x , x ) = ( 1 2 , 1 2 ) x = 1 2 , y = 1 2 cos t = 1 2 , sen t = 1 2 ( x , y ) = ( x , x ) = ( 1 2 , 1 2 ) x = 1 2 , y = 1 2 cos t = 1 2 , sen t = 1 2

A t = π 4 t = π 4 , que es de 45 grados, el radio del círculo unitario biseca el primer ángulo cuadrangular. Esto significa que el radio se encuentra a lo largo de la línea y = x . y = x . Un círculo unitario tiene un radio igual a 1. Así, el triángulo rectángulo formado bajo la línea y = x y = x tiene lados x x como y ( y = x ) , y ( y = x ) , y un radio = 1. Vea la Figura 10 .

En primer lugar, examinaremos los ángulos de 45° 45° o π 4 , π 4 , como se muestra en la Figura 9 . Un triángulo de 45° – 45° – 90° 45° – 45° – 90° es isósceles, por lo que las coordenadas de la x y de la y en el punto correspondiente en el círculo son las mismas. Ya que los valores de x y de y son iguales, los valores del seno y del coseno también serán iguales.

Hallar el seno y el coseno de los ángulos de 30º y 60º

A continuación, hallaremos el coseno y el seno en un ángulo de 30°, 30°, o π 6 π 6 . En primer lugar, dibujaremos un triángulo dentro de un círculo con un lado en un ángulo de 30°, 30°, y otro lado en un ángulo de −30°, −30°, como se muestra en la Figura 11. Si los dos triángulos rectángulos resultantes se combinan en un triángulo grande, observe que los tres ángulos de este triángulo mayor serán 60°, 60°, como se muestra en la Figura 12.

Figura

11

Figura

12

Debido a que todos los ángulos son iguales, los lados también son iguales. La línea vertical tiene longitud 2y, 2y, y debido a que los lados son todos iguales, también podemos concluir que r=2 y r=2 y o y= 1 2 r. y= 1 2 r. Dado que sent=y sent=y,

sen( π 6 )= 1 2 r sen( π 6 )= 1 2 r

Además, ya que r=1 r=1 en nuestro círculo unitario,

sen( π 6 )= 1 2 (1)             = 1 2 sen( π 6 )= 1 2 (1)             = 1 2

Con la identidad pitagórica podemos calcular el valor del coseno.

cos 2 π 6 + sen 2 ( π 6 )=1 cos 2 ( π 6 )+ ( 1 2 ) 2 =1 cos 2 ( π 6 )= 3 4 Utilice la propiedad de la raíz cuadrada.                    cos( π 6 )= ± 3 ± 4 = 3 2 Dado que y es positivo, elija la raíz positiva. cos 2 π 6 + sen 2 ( π 6 )=1 cos 2 ( π 6 )+ ( 1 2 ) 2 =1 cos 2 ( π 6 )= 3 4 Utilice la propiedad de la raíz cuadrada.                    cos( π 6 )= ± 3 ± 4 = 3 2 Dado que y es positivo, elija la raíz positiva.

Las coordenadas (x,y) (x,y) para el punto en un círculo con radio 1 1 en un ángulo de 30° 30° son ( 3 2 , 1 2 ). ( 3 2 , 1 2 ). En t= π 3 t= π 3 (60°), el radio del círculo unitario, 1, sirve como hipotenusa de un triángulo rectángulo de 30-60-90 grados, BAD, BAD, como se muestra en la Figura 13. El ángulo A A tiene medida 60°. 60°. En el punto B, B, dibujamos un ángulo ABC ABC con medida de 60°. 60°. Sabemos que los ángulos de un triángulo suman 180°, 180°, por lo que la medida del ángulo C C también es 60°. 60°. Ahora tenemos un triángulo equilátero. Ya que cada lado del triángulo equilátero ABC ABC tiene la misma longitud, y sabemos que un lado es el radio del círculo unitario, todos los lados deberán tener longitud 1.

Figura

13

La medida del ángulo ABD ABD es 30°. Entonces, si es doble, el ángulo ABC ABC es de 60°. BD BD es la bisectriz perpendicular de AC, AC, por lo que corta AC AC por la mitad. Esto significa que AD AD es 1 2 1 2 del radio, o 1 2 . 1 2 . Observe que AD AD es la coordenada de la x en el punto B, B, que se encuentra en la intersección del ángulo de 60° con el círculo unitario. Esto nos da un triángulo BAD BAD con hipotenusa de 1 y lado x x de longitud 1 2 . 1 2 .

A partir del teorema de Pitágoras, obtenemos

x 2 + y 2 =1 x 2 + y 2 =1

Sustituyendo x= 1 2 , x= 1 2 , obtenemos

( 1 2 ) 2 + y 2 =1 ( 1 2 ) 2 + y 2 =1

Resuelva para y, y, obtenemos

1 4 + y 2 =1         y 2 =1- 1 4         y 2 = 3 4          y=± 3 2 1 4 + y 2 =1         y 2 =1- 1 4         y 2 = 3 4          y=± 3 2

Dado que t= π 3 t= π 3 tiene el lado terminal en el cuadrante I, donde la coordenada de la y es positiva, elegimos y= 3 2 , y= 3 2 , el valor positivo.

A t= π 3 t= π 3 (60°), las coordenadas (x,y) (x,y) para el punto en un círculo con radio 1 1 en un ángulo de 60° 60° son ( 1 2 , 3 2 ), ( 1 2 , 3 2 ), para que hallemos el seno y el coseno.

(x,y)=( 1 2 , 3 2 ) x= 1 2 ,y= 3 2 cost= 1 2 ,sent= 3 2 (x,y)=( 1 2 , 3 2 ) x= 1 2 ,y= 3 2 cost= 1 2 ,sent= 3 2

Ahora hemos determinado los valores del coseno y del seno para todos los ángulos más comunes en el primer cuadrante del círculo unitario. La Tabla 1 resume estos valores.

Ángulo0 π6,π6, o 30 π4,π4, o 45° π3,π3, o 60° π2,π2, o 90°Coseno1 32 32 2222 12 12 0Seno0 12 12 2222 32 32 1

Tabla

1

La Figura 14 muestra los ángulos comunes en el primer cuadrante del círculo unitario.

Figura

14

4.7

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October 6, 2019

Really great app. I don’t have a great memory for remembering angles, but this app helps a ton. My only recommendation is that the back button be made to move to the previous screen. Specifically, when I click on a function value and it takes me to the projector, when I click the back button it would be nice if it returned me to the function value screen instead of leaving the app.

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June 1, 2019

App is very good, makes trig jump out at you. However, the standard mathematical abbreviations for the tangent and cotangent functions are tan and cot (not tg and ctg). Also, note that csc is an acceptable abbreviation for cosec. Also, when you select integer degrees, the animated sweep stops. Still, it’s a very nice app that dynamically shows the trig function relationships.

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October 1, 2019

I found this years ago, uninstalled it after taking calculus, then was unable to find it when I needed it again. I’m glad to have finally rediscovered this valuable resource. What an awesome visual aid – great job, dev!

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Anton Stukov

October 1, 2019

Thanks a lot!