Como sacar el apotema de un hexagono

Introduce la longitud de la hipotenusa en la fórmula. Conoces la longitud de la hipotenusa porque conoces la longitud del lado del hexágono. La longitud del lado de un hexágono regular es igual a su radio. El radio es la línea que conecta el punto central de un polígono con cualquiera de sus vértices. Observarás que la hipotenusa del triángulo rectángulo también es un radio del hexágono y, por lo tanto, se corresponderá igualmente con la longitud del lado.

Por ejemplo, si la longitud del lado del hexágono es de 8 cm, la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo será también de 8 cm. Por lo tanto, la fórmula quedará así:
a2+42=82{displaystyle a^{2}+4^{2}=8^{2}}

$a^{{2}}+4^{{2}}=8^{{2}}$

Conoces la longitud de la hipotenusa porque conoces la longitud del lado del hexágono. La longitud del lado de un hexágono regular es igual a su radio.El radio es la línea que conecta el punto central de un polígono con cualquiera de sus vértices.Observarás que la hipotenusa del triángulo rectángulo también es un radio del hexágono y, por lo tanto, se corresponderá igualmente con la longitud del lado.

Fórmula de la apotema de un hexágono

Existen dos métodos principales que podemos usar para derivar una fórmula para la apotema de hexágonos. Ambos métodos involucran dividir al hexágono en seis triángulos congruentes como en la siguiente imagen:

Primer método: Podemos usar el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos formados. Sabemos que los triángulos formados son equiláteros, por lo que sus tres lados son iguales. Además, trazando la apotema, vemos que divide a la base en dos partes iguales como en la imagen:

Entonces, usando estas longitudes, tenemos:

$latex {{l}^2}={{a}^2}+{{(frac{l}{2})}^2}$

$latex {{a}^2}={{l}^2}-{{(frac{l}{2})}^2}$

$latex {{a}^2}={{l}^2}-frac{{{l}^2}}{4}$

$latex {{a}^2}=frac{3{{l}^2}}{4}$

$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$

Segundo método: Similar al anterior método, dividimos al hexágono en seis triángulos congruentes. Al trazar la apotema, dividimos al triángulo por la mitad, eso significa que si hiciéramos esto con todos los triángulos, tendríamos 12 triángulos pequeños en total.

Para usar trigonometría, tenemos que encontrar el ángulo central. Dado que el ángulo central total es igual a 360°, el ángulo central de cada triángulo pequeño mide $latex 360div 12=30$°:

Ahora, podemos usar la tangente. Sabemos que la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto sobre lado adyacente:

$latex tan(30°)=frac{text{opuesto}}{text{adyacente}}$

$latex tan(30°)=frac{frac{l}{2}}{a}$

$latex tan(30°)=frac{l}{2a}$

$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$

Ejercicios de apotema de hexágonos resueltos

Los siguientes ejercicios usan ambas fórmulas de la apotema de hexágonos vistas arriba. Cada ejercicio tiene su respectiva solución, pero es recomendable que intentes resolver los ejercicios tú mismo antes de mirar el resultado.

EJERCICIO 1

¿Cuál es la longitud de la apotema de un hexágono que tiene lados de longitud 6 m?

Solución

Primera fórmula: Usando la primera fórmula con $latex l=6$, tenemos:

$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$

$latex a=frac{sqrt{3}(6)}{2}$

$latex a=5.2$

La longitud de la apotema es 5.2 m.

Segunda fórmula: Usando la segunda fórmula con $latex l=6$, tenemos:

$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$

$latex a=frac{6}{2tan(30°)}$

$latex a=5.2$

Vemos que obtuvimos el mismo resultado usando ambas fórmulas.

EJERCICIO 2

Un hexágono tiene lados de longitud 8 m. ¿Cuál es la longitud de su apotema?

Solución

Primera fórmula: Podemos usar $latex l=8$ en la primera fórmula:

$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$

$latex a=frac{sqrt{3}(8)}{2}$

$latex a=6.93$

La longitud de la apotema es 6.93 m.

Segunda fórmula: Si es que ahora usamos la segunda fórmula con $latex l=8$, tenemos:

$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$

$latex a=frac{8}{2tan(30°)}$

$latex a=6.93$

Obtuvimos la misma longitud con ambas fórmulas.

EJERCICIO 3

¿Cuál es la longitud de la apotema de un hexágono con lados de longitud 10 m?

Solución

Primera fórmula: Al usar la primera fórmula con $latex l=10$, tenemos:

$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$

$latex a=frac{sqrt{3}(10)}{2}$

$latex a=8.66$

La longitud de la apotema es 8.66 m.

Segunda fórmula: Al usar la segunda fórmula con $latex l=10$, tenemos:

$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$

$latex a=frac{10}{2tan(30°)}$

$latex a=8.66$

El mismo resultado fue obtenido con ambas fórmulas.

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EJERCICIO 4

¿Cuál es la longitud de los lados de un hexágono que tiene una apotema de 7.5 m?

Solución

En este caso, tenemos la longitud de la apotema y queremos encontrar la longitud de los lados del hexágono.

Primera fórmula: Usamos la primera fórmula con $latex a=7.5$ y resolvemos para l:

$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$

$latex 7.5=frac{sqrt{3}l}{2}$

$latex 15=sqrt{3}l$

$latex l=8.66$

La longitud de los lados del hexágono es 8.66 m.

Segunda fórmula: Usamos la segunda fórmula con $latex a=7.5$ y resolvemos para l:

$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$

$latex 7.5=frac{l}{2tan(30°)}$

$latex l=7.5(2tan(30°))$

$latex l=8.66$

Obtuvimos la misma longitud con ambas fórmulas.

EJERCICIO 5

¿Cuál es la longitud de los lados de un hexágono que tiene una apotema de longitud 12 m?

Solución

Nuevamente, usamos ambas fórmulas y resolvemos para l.

Primera fórmula: Reemplazamos a $latex a=12$ y resolvemos para l:

$latex a=frac{sqrt{3}l}{2}$

$latex 12=frac{sqrt{3}l}{2}$

$latex 24=sqrt{3}l$

$latex l=13.87$

La longitud de los lados del hexágono es 13.87 m.

Segunda fórmula: Reemplazamos a $latex a=12$ y resolvemos para l:

$latex a=frac{l}{2tan(30°)}$

$latex 12=frac{l}{2tan(30°)}$

$latex l=12(2tan(30°))$

$latex l=13.86$

En este caso, obtuvimos una pequeña diferencia en los decimales. Esto se debe al redondeo usado a la hora de realizar las operaciones.

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Ejercicios de apotema de hexágonos para resolver

Practica el uso de las fórmulas de la apotema de hexágonos y resuelve los siguientes ejercicios. Selecciona una respuesta y haz clic en “Verificar” para comprobar tu respuesta. Si necesitas ayuda con esto, puedes mirar los ejercicios resueltos de arriba.

¿Cuál es la longitud de la apotema de un hexágono que tiene lados de longitud 11m?

Escoge una respuesta

$latex a=8.93m$

$latex a=9.11m$

$latex a=9.53m$

$latex a=10.12m$

Un hexágono tiene lados de longitud 15m. ¿Cuál es la longitud de la apotema?

Escoge una respuesta

$latex a=12.5m$

$latex a=13m$

$latex a=13.5m$

$latex a=14.2m$

Un hexágono tiene una apotema de longitud 18m. ¿Cuál es la longitud de los lados?

Escoge una respuesta

$latex l=16.58m$

$latex l=17.22m$

$latex l=18.35m$

$latex l=20.78m$

Un hexágono tiene una apotema de longitud 20m. ¿Cuál es la longitud de los lados?

Escoge una respuesta

$latex l=23.09m$

$latex l=24.12m$

$latex l=25.12m$

$latex l=25.87m$

Véase también

¿Interesado en aprender más sobre hexágonos? Mira estas páginas:

ANUNCIOS

La apotema de un hexágono (ap) es la distancia más corta entre el centro del hexágono y uno de sus lados. Solo existe la apotema en los hexágonos regulares (y, en los demás polígonos, únicamente también en los polígonos regulares).

¿Cómo se calcula el apotema?

La apotema de un hexágono regular puede obtenerse a partir del ángulo central (α) y la longitud de un lado (L), aplicando la fórmula de la apotema de un polígono regular.

El ángulo central (α) es el que forman dos líneas que unen el centro del hexágono (O) y dos vértices consecutivos. En el hexágono regular es:

Mediante la tangente de la mitad del ángulo central y un lado (L), se calcula la apotema (ap):

Esta fórmula se obtiene a partir de la fórmula del apotema de un polígono regular:

Ejercicio

ANUNCIOS

Hallar la apotema de un hexágono regular de lado 2 cm.

Solución:

Aplicamos la fórmula de la apotema del hexágono regular.

Sustituimos el valor de L y resolvemos:

La apotema de este hexágono medirá 1,74 cm.

Apotema de un polígono regular

La apotema de un polígono regular es la menor distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. Es un segmento cuyos extremos son el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados.

Calculamos la apotema utilizando el teorema de pitágoras, obteniendo que