La raíz cuadrada de 3 es igual a la longitud a través de los lados planos de un hexágono regular con los lados de la longitud 1.
La raíz cuadrada de tres es un número real positivo que cuando es multiplicado por sí mismo da el número tres. Se denota por √3.
Su valor numérico por truncamiento con diez cifras decimales es de 1,73205080757 (secuencia n.º A002194 del OEIS).
y = 3 , y = 3 1 2 {displaystyle y={sqrt {3}},qquad y=3^{frac {1}{2}}} 
La raíz cuadrada de 3 es un número irracional. También se conoce como constante de Teodoro nombrada en honor de Teodoro de Cirene.
Geometría
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Si un triángulo equilátero con los lados de longitud 2 se corta en dos partes iguales, mediante la bisectriz de un ángulo interno se forma en el lado bisecado, un ángulo recto con un lado. El ángulo recto conforma un triángulo rectángulo de hipotenusa con longitud 2 y los catetos, uno de longitud 1 y otro, de 3 {displaystyle {sqrt {3}}} 
Esto es la distancia entre los lados planos opuestos de un hexágono regular con los lados de la longitud 1.
La raíz cuadrada de 3 también es igual a la diagonal de un cubo cuyos lados tengan todos como medida 1, esto puede ser demostrado por el teorema de Pitágoras de la siguiente forma:
Ya que las caras que forman el cubo tienen también medida 1 podemos demostrar que la diagonal de cualquiera de sus caras mide la raíz cuadrada de 2 así:
1 2 + 1 2 = x 2 {displaystyle 1^{2}+1^{2}=x^{2},!}
x = 2 {displaystyle x={sqrt {2}}}
Ahora construyendo un rectángulo cuya superficie abarque todo el paso de la diagonal del cubo, ese rectángulo tendría unos lados cuyas medidas serían 2 {displaystyle {sqrt {2}}} 
1 2 + ( 2 ) 2 = x 2 {displaystyle 1^{2}+({sqrt {2}})^{2}=x^{2}}
x = 3 {displaystyle x={sqrt {3}}}
Quedando demostrado que la diagonal de un cubo cuyos lados tengan como medida uno es igual a la raíz cuadrada de 3.
Álgebra
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El número real 3 {displaystyle {sqrt {3}}} 
-
3 {displaystyle {sqrt {3}}}
x 4 − 5 x 2 + 6 = 0 {displaystyle x^{4}-5x^{2}+6=0}
Interviene en la forma cuadrática m + n 3 {displaystyle m+n{sqrt {3}}} 
Su irracionalidad se prueba asumiendo que es un número racional; esto es que existe un racional r s {displaystyle {frac {r}{s}}} 
La demostración es la siguiente:
- Se asume que:
3 {displaystyle scriptstyle {sqrt {3}}}
a y b tal que se satisfaga que la fracción a / b —
3 {displaystyle scriptstyle {sqrt {3}}}
- Entonces
3 {displaystyle scriptstyle {sqrt {3}}}
- Se sigue que a² / b² = 3 y a² = 3 b².
- Por lo tanto a² es múltiplo de 3 debido a que es igual a 3 b² lo cual es obvio.
- Se sigue que a debe ser también múltiplo de 3.
- Debido a que a es múltiplo de 3, entonces existe un número entero k tal que satisface: a = 3k.
- Insertamos el resultado en la última ecuación de (6): 3b² = (3k)² equivale a 3b² = 9k² que equivale a b² = 3k².
- Como 3k² es múltiplo de 3 se deduce que b² lo es también, y por tanto que b es múltiplo de 3.
- Pero que (4) y (8) a y b sean ambos múltiplos del mismo número contradice que a / b es irreducible tal y como se afirmó en (2).
Se ha encontrado una contradicción al asumir en (1) que 3 {displaystyle scriptstyle {sqrt {3}}}
Trigonometría
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De modo natural, surge la raíz cuadrada de tres en el cálculo del seno de 60° y complementariamente en el del coseno de 30°. También usando la circunferencia goniométrica, aparece la raíz de tres al definir el seno y coseno de 120° y 240°, Luego en el plano complejo, las raíces cúbicas complejas de 1, conllevan la raíz cuadrada de tres.
El seno de 15º vale 1 2 × 2 − 3 {displaystyle {frac {1}{2}}times {sqrt {2-{sqrt {3}}}}}
El coseno de 15º vale 1 2 × 2 + 3 {displaystyle {frac {1}{2}}times {sqrt {2+{sqrt {3}}}}} 
Topología
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(1)Si H = {m : m está en ℚ_0 , y m2 ≤ 3} es el conjunto de todos los números racionales anegativos cuyos cuadrados son menores que 3, entonces el conjunto de sus puntos de acumulación es el intervalo cerrado [ 0 , 3 ] {displaystyle [0,{sqrt {3}}]}
.
[7]
Referencias
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- ↑
E. T. Bell. Historia de las matemáticas
- ↑
Presentación clásica con un triángulo equilátero de lado 2
- ↑
Kostrikín: Introducción al álgebra. Editorial Mir, Moscú (1983)
- ↑
Niven y Zuckerman: Introducción a la teoría de números
- ↑
En algunos libros de análisis matemático figura como ejercicio
- ↑
Se calcula con la fórmula de las razones del ángulo mitad, usando las del ángulo original
- ↑
John L. Kelley: Topología general. Eudeba, Buenos Aires (1962); traductor, Oscar A. Varsavsky
Véase también
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Enlaces externos
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La raíz cuadrada de 3 es 1,73205080756887.
Se puede expresar:
√3=1,73205080756887
Para conocer cuál es la raíz cuadrada de 3, es importante conocer la definición de la raíz cuadrada de un número. Dado un número positivo “a”, la raíz cuadrada de “a”, denotada por √a, es un número positivo “b” tal que cuando “b” se multiplica por el mismo, el resultado es “a”.
La definición matemática dice: √a=b si, y solo si, b²=b*b=a. Por lo tanto, para conocer cuál es la raíz cuadrada de 3, es decir, el valor de √3, se debe encontrar un número “b” tal que b²=b*b=√3.
Además, √3 es un número irracional, con lo cual este consta de una cantidad infinita no periódica de decimales. Por esta razón, es complicado calcular la raíz cuadrada de 3 manualmente.
Raíz cuadrada de 3
Si se utiliza una calculadora se puede aprecia que la raíz cuadrada de 3 es 1,73205080756887…
Ahora, se podría intentar manualmente aproximar este número de la siguiente forma:
-1*1=1 y 2*2=4, esto dice que la raíz cuadrada de 3 es un número entre 1 y 2.
-1,7*1,7=2,89 y 1,8*1,8=3,24, por lo tanto, la primera cifra decimal es 7.
-1,73*1,73=2,99 y 1,74*1,74=3,02, así la segunda cifra decimal es 3.
-1,732*1,732=2,99 y 1,733*1,733=3,003, por lo tanto, la tercera cifra decimal es 2.
Y así sucesivamente se puede continuar. Esta es una forma manual de calcular la raíz cuadrada de 3.
También existen otras técnicas mucho más avanzadas, como por ejemplo el método de Newton-Raphson, el cual es un método numérico para calcular aproximaciones.
¿Dónde podemos encontrar al número √3?
Por lo complicado del número, podría pensarse que no aparece en objetos cotidianos pero esto es falso. Si se tiene un cubo (caja cuadrada), tal que la longitud de sus lados sea 1, entonces las diagonales del cubo tendrán una medida de √3.
Para comprobar esto se utiliza el Teorema de Pitágoras que dice: dado un triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (c²=a²+b²).
Al tener un cubo de lado 1, se tiene que la diagonal del cuadrado de su base es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, esto es, c²=1²+1²=2, por lo tanto, la diagonal de la base mide √2.
Ahora, para calcular la diagonal del cubo se puede observar la siguiente figura.
El nuevo triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes 1 y √2, por lo tanto, al usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de su diagonal se obtiene: C²=1²+(√2)²=1+2=3, es decir, C=√3.
Así, la longitud de la diagonal de un cubo de lado 1 es igual a √3.
√3 un número irracional
Al comienzo se dijo que √3 es un número irracional. Para comprobar esto, se supone por el absurdo que es un número racional, con lo cual existen dos números “a” y “b”, primos relativos, tales que a/b=√3.
Al elevar al cuadrado la última igualdad y despejar “a²”, se obtiene la siguiente ecuación: a²=3*b². Esto dice que “a²” es múltiplo de 3, con lo cual se concluye que “a” es múltiplo de 3.
Al ser “a” múltiplo de 3, existen un entero “k” tal que a=3*k. Por lo tanto, al reemplazar en la segunda ecuación se obtiene: (3*k)²=9*k²=3*b², lo que es lo mismo que b²=3*k².
Al igual que antes, esta última igualdad lleva a la conclusión de que “b” es múltiplo de 3.
En conclusión, “a” y “b” son ambos múltiplos de 3, lo cual es una contradicción, pues al principio se supuso que eran primos relativos.
Por lo tanto, √3 es un número irracional.
