La derivada del coseno de una función es igual al seno de dicha función, multiplicado por la derivada de la misma y por menos 1, es decir, se cambia del signo positivo al negativo o viceversa.
Debemos recordar que la derivada es una función matemática que se define como la tasa de cambio de una variable respecto a otra. Es decir, en qué porcentaje aumenta o disminuye una variable cuando otra también se ha incrementado o disminuido.
La derivada de una función se define de la siguiente manera:
Veamos rápidamente el siguiente ejemplo:
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Otro concepto que debemos recordar es el de coseno. Esta es una función trigonométrica que se puede calcular en un triángulo rectángulo. Así, el coseno de un ángulo x es igual al cociente del cateto adyacente entre la hipotenusa.
Vale precisar que un triángulo rectángulo es aquel donde uno de los ángulos es recto (o de 90º), y los otros dos son ángulos agudos. De ese modo, la hipotenusa es el lado de mayor medida y es opuesta al ángulo recto. En tanto, los otros dos lados son denominados catetos.
Ejemplos de derivadas de coseno
Vamos a calcular la derivada de la siguiente función:
Ahora, veamos un segundo ejemplo:
Uno de los tipos de movimiento más importantes en física es el movimiento armónico simple, que se asocia a sistemas como un objeto con masa que oscila sobre un resorte. El movimiento armónico simple puede describirse utilizando funciones seno o coseno. En esta sección ampliaremos nuestro conocimiento de las fórmulas de las derivadas para incluir las derivadas de estas y otras funciones trigonométricas. Comenzaremos con las derivadas de las funciones seno y coseno y luego las utilizaremos para obtener las fórmulas de las derivadas de las cuatro funciones trigonométricas restantes. Al ser capaces de calcular las derivadas de las funciones seno y coseno podremos encontrar la velocidad y la aceleración del movimiento armónico simple.
Derivadas de las funciones seno y coseno
Comenzamos nuestra exploración de la derivada de la función seno utilizando la fórmula para hacer una estimación razonable de su derivada. Recordemos que para una función f(x),f(x),
f′(x)=límh→0f(x+h)−f(x)h.f′(x)=límh→0f(x+h)−f(x)h.
En consecuencia, para los valores de hh muy cerca de 0, f′(x)≈f(x+h)−f(x)h.f′(x)≈f(x+h)−f(x)h. Vemos que al utilizar h=0,01,h=0,01,
ddx(senx)≈sen(x+0,01)−senx0,01ddx(senx)≈sen(x+0,01)−senx0,01
Al establecer D(x)=sen(x+0,01)−senx0,01D(x)=sen(x+0,01)−senx0,01 y empleando una herramienta gráfica, podemos obtener un gráfico de una aproximación a la derivada de senxsenx (Figura 3.25).
Figura
3.25
El gráfico de la función D(x)D(x) es muy similar a una curva de coseno.
Tras la inspección, el gráfico de D(x)D(x) parece estar muy cerca del gráfico de la función coseno. De hecho, demostraremos que
ddx(senx)=cosx.ddx(senx)=cosx.
Si siguiéramos los mismos pasos para aproximar la derivada de la función coseno, encontraríamos que
ddx(cosx)=−senx.ddx(cosx)=−senx.
Teorema
3.8
Las derivadas de sen x y cos x
La derivada de la función seno es el coseno y la derivada de la función coseno es el seno negativo.
ddx(senx)=cosxddx(senx)=cosx
(3.11)
ddx(cosx)=−senxddx(cosx)=−senx
(3.12)
Prueba
Debido a que las pruebas de ddx(senx)=cosxddx(senx)=cosx y ddx(cosx)=−senxddx(cosx)=−senx utilizan técnicas similares, solo proporcionamos la prueba para ddx(senx)=cosx.ddx(senx)=cosx. Antes de comenzar, recuerde dos importantes límites trigonométricos que aprendimos en Introducción a los límites:
límh→0senhh=1ylímh→0cosh−1h=0.límh→0senhh=1ylímh→0cosh−1h=0.
Los gráficos de y=(senh)hy=(senh)h y y=(cosh−1)hy=(cosh−1)h se muestran en la Figura 3.26.
Figura
3.26
Estos gráficos muestran dos límites importantes necesarios para establecer las fórmulas de las derivadas de las funciones seno y coseno.
También recordamos la siguiente identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos:
sen(x+h)=senxcosh+cosxsenh.sen(x+h)=senxcosh+cosxsenh.
Ahora que hemos reunido todas las ecuaciones e identidades necesarias, procedemos a realizar la prueba.
ddxsenx=límh→0sen(x+h)−senxhAplique la definiciónde la derivada.=límh→0senxcosh+cosxsenh−senxhUtilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos.=límh→0(senxcosh−senxh+cosxsenhh)Reagrupe.=límh→0(senx(cosh−1h)+cosx(senhh))Saque el factor comúnsenxycosx.=senx.0+cosx.1Aplique las fórmulas de límites trigonométricos.=cosxSimplifique.ddxsenx=límh→0sen(x+h)−senxhAplique la definiciónde la derivada.=límh→0senxcosh+cosxsenh−senxhUtilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos.=límh→0(senxcosh−senxh+cosxsenhh)Reagrupe.=límh→0(senx(cosh−1h)+cosx(senhh))Saque el factor comúnsenxycosx.=senx.0+cosx.1Aplique las fórmulas de límites trigonométricos.=cosxSimplifique.
□
La Figura 3.27 muestra la relación entre el gráfico de f(x)=senxf(x)=senx y su derivada f′(x)=cosx.f′(x)=cosx. Observe que en los puntos donde f(x)=senxf(x)=senx tiene una tangente horizontal, su derivada f′(x)=cosxf′(x)=cosx toma el valor cero. También vemos que donde f(x)=senxf(x)=senx aumenta, f′(x)=cosx>0f′(x)=cosx>0 y donde f(x)=senxf(x)=senx disminuye, f′(x)=cosx<0.f′(x)=cosx<0.
Figura
3.27
Donde f(x)f(x) tiene un máximo o un mínimo, f′(x)=0f′(x)=0 es decir, f′(x)=0f′(x)=0 donde f(x)f(x) tiene una tangente horizontal. Estos puntos se marcan con puntos en los gráficos.
Ejemplo
3.39
Diferenciación de una función que contiene sen x
Calcule la derivada de f(x)=5x3senx.f(x)=5x3senx.
Solución
Utilizando la regla del producto, tenemos
f ′ ( x ) = d d x ( 5 x 3 ) . sen x + d d x ( sen x ) . 5 x 3 = 15 x 2 . sen x + cos x . 5 x 3 . f ′ ( x ) = d d x ( 5 x 3 ) . sen x + d d x ( sen x ) . 5 x 3 = 15 x 2 . sen x + cos x . 5 x 3 .
Tras simplificar, obtenemos
f ′ ( x ) = 15 x 2 sen x + 5 x 3 cos x . f ′ ( x ) = 15 x 2 sen x + 5 x 3 cos x .
Punto de control
3.25
Calcule la derivada de f(x)=senxcosx.f(x)=senxcosx.
Ejemplo
3.40
Encontrar la derivada de una función que contiene cos x
Calcule la derivada de g(x)=cosx4x2 .g(x)=cosx4x2 .
Solución
Aplicando la regla del cociente, tenemos
g ′ ( x ) = ( − sen x ) 4 x 2 − 8 x ( cos x ) ( 4 x 2 ) 2 . g ′ ( x ) = ( − sen x ) 4 x 2 − 8 x ( cos x ) ( 4 x 2 ) 2 .
Si simplificamos, obtenemos
g ′ ( x ) = −4 x 2 sen x − 8 x cos x 16 x 4 = − x sen x − 2 cos x 4 x 3 . g ′ ( x ) = −4 x 2 sen x − 8 x cos x 16 x 4 = − x sen x − 2 cos x 4 x 3 .
Punto de control
3.26
Calcule la derivada de f(x)=xcosx.f(x)=xcosx.
Ejemplo
3.41
Una aplicación para la velocidad
Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=2 sent−ts(t)=2 sent−t por 0≤t≤2 π.0≤t≤2 π. ¿En qué tiempos la partícula está en reposo?
Solución
Para determinar cuándo la partícula está en reposo, establezca s′(t)=v(t)=0.s′(t)=v(t)=0. Comience por hallar s′(t).s′(t). Obtenemos
s ′ ( t ) = 2 cos t − 1 , s ′ ( t ) = 2 cos t − 1 ,
por lo que debemos resolver
2 cos t − 1 = 0 para 0 ≤ t ≤ 2 π . 2 cos t − 1 = 0 para 0 ≤ t ≤ 2 π .
Las soluciones a esta ecuación son t=π3t=π3 y t=5π3.t=5π3. Por tanto, la partícula está en reposo en los tiempos t=π3t=π3 y t=5π3.t=5π3.
Punto de control
3.27
Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=3t+2 costs(t)=3t+2 cost por 0≤t≤2 π.0≤t≤2 π. ¿En qué tiempos la partícula está en reposo?
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Demostración de las Derivadas Sen, Cos, Tan
Las tres derivadas más útiles en trigonometría son:
ddx sen(x) = cos(x)
ddx cos(x) = −sen(x)
ddx tan(x) = sec2(x)
¿Simplemente cayeron del cielo? ¿Podemos demostrarlas de alguna manera?
Demostración de la derivada de Seno
¿Simplemente cayeron del cielo? ¿Podemos demostrarlas de alguna manera?
Necesitamos regresar de vuelta a los primeros principios, la fórmula básica de las derivadas:
dydx = limΔx→0 f(x+Δx)−f(x)Δx
Veamos sen(x):
ddxsen(x) = limΔx→0 sen(x+Δx)−sen(x)Δx
También podemos usar esta identidad trigonométrica: sen(A+B) = sen(A)cos(B) + cos(A)sen(B) para obtener:
limΔx→0 sen(x)cos(Δx) + cos(x)sen(Δx) − sen(x)Δx
Reagrupamos:
limΔx→0 sen(x)(cos(Δx)−1) + cos(x)sen(Δx)Δx
Separamos en dos límites:
limΔx→0 sen(x)(cos(Δx)−1)Δx + limΔx→0cos(x)sen(Δx)Δx
Y podemos pasar sen(x) y cos(x) fuera de los límites porque son funciones de x, no de Δx
sen(x) limΔx→0 cos(Δx)−1Δx + cos(x) limΔx→0 sen(Δx)Δx
Ahora todo lo que tenemos que hacer es evaluar esos dos pequeños límites. Fácil, ¿verdad? Ya veremos…
Límite de
sen(θ)θ
Empezamos con
limθ→0 sen(θ)θ
Y con la ayuda de un poco de geometría:
Podemos observar y comparar las áreas:
Área del triángulo AOB < Área del sector AOB < Área del triángulo AOC
12r2 sen(θ) < 12r2 θ < 12r2 tan(θ)
Dividimos todos los términos por 12r2 sen(θ)
1 < θsen(θ) < 1cos(θ)
Tomemos los recíprocos
1 > sen(θ)θ > cos(θ)
Ahora, a medida que θ→0 tenemos que cos(θ)→1
Por lo tanto, sen(θ)θ se encuentra entre 1 y algo que tiende a 1
Entonces, a medida que θ→0 tenemos que sen(θ)θ →1, por lo tanto:
limθ→0 sen(θ)θ = 1
(Nota: también deberíamos probar que esto es cierto desde el lado negativo, ¿qué tal si lo intentas con valores negativos de θ?)
Límite de
cos(θ)−1θ
Así que a continuación queremos calcular este límite:
limθ→0 cos(θ)−1θ
Cuando multiplicamos arriba y abajo por cos(θ) +1 obtenemos:
(cos(θ)−1)(cos(θ)+1)θ(cos(θ)+1) = cos2(θ)−1θ(cos(θ)+1)
Ahora usemos esta identidad trigonométrica basada en el Teorema de Pitágoras:
cos2(x) + sin2(x) = 1
Reacomodamos para tener esta forma:
cos2(x) − 1 = −sin2(x)
Y el límite con el que comenzamos puede convertirse en:
limθ→0 −sin2(θ)θ(cos(θ)+1)
¡Eso se ve peor! Pero es realmente mejor porque podemos convertirlo en dos límites separados que se multiplican entre sí:
limθ→0sen(θ)θ × limθ→0−sen(θ)cos(θ)+1
Conocemos el primer límite (lo resolvimos arriba), y el segundo límite no necesita mucho trabajo porque en θ=0 sabemos directamente que −sen(0)cos(0)+1 = 0, de modo que:
limθ→0sen(θ)θ × limθ→0−sen(θ)cos(θ)+1 = 1 × 0 = 0
Juntando todo
Recordemos, ¿qué estábamos tratando de hacer? Oh, es cierto, realmente queríamos resolver esto:
ddxsen(x) = sen(x) limΔx→0 cos(Δx)−1Δx + cos(x) limΔx→0 sen(Δx)Δx
Ahora podemos poner los valores que acabamos de calcular y obtener:
ddxsen(x) = sen(x) × 0 + cos(x) × 1
Y listo (¡al fin!):
ddxsen(x) = cos(x)
La derivada de Coseno
¡Ahora pasemos al coseno!
ddxcos(x) = limΔx→0 cos(x+Δx)−cos(x)Δx
Esta vez usaremos la identidad de suma de ángulo cos(A+B) = cos(A)cos(B) − sen(A)sen(B):
limΔx→0 cos(x)cos(Δx) − sen(x)sen(Δx) − cos(x)Δx
Reacomodamos:
limΔx→0 cos(x)(cos(Δx)−1) − sen(x)sen(Δx)Δx
Separamos en dos límites:
limΔx→0 cos(x)(cos(Δx)−1)Δx − limΔx→0sen(x)sen(Δx)Δx
Podemos mover cos(x) y sen(x) fuera de los límites porque son funciones de x, no de Δx
cos(x) limΔx→0 cos(Δx)−1Δx − sen(x) limΔx→0 sen(Δx)Δx
Y usando nuestro conocimiento de lo de arriba:
ddx cos(x) = cos(x) × 0 − sen(x) × 1
Entonces:
ddx cos(x) = −sen(x)
La derivada de Tangente
Para encontrar la derivada de tan(x) podemos usar esta identidad:
tan(x) = sen(x)cos(x)
Empezamos con:
ddxtan(x) = ddx(sen(x)cos(x))
En este momento podemos usar la regla del cociente para derivadas:
(fg)’ = gf’ − fg’g2
Y nos queda:
ddxtan(x) = cos(x) × cos(x) − sen(x) × −sen(x)cos2(x)
ddxtan(x) = cos2(x) + sin2(x)cos2(x)
Luego se usa esta identidad:
cos2(x) + sin2(x) = 1
Para obtener:
ddxtan(x) =1cos2(x)
¡Listo!
Pero a la mayoría de la gente le gusta usar el hecho de que cos = 1sec para que quede así:
ddxtan(x) = sec2(x)
Nota: también podemos hacer esto:
ddxtan(x) = cos2(x) + sin2(x)cos2(x)
ddxtan(x) = 1 + sin2(x)cos2(x) = 1 + tan2(x)
(Y, sí, 1 + tan2(x) = sec2(x), lee Hexágono Mágico)
Serie de Taylor
Solo como una nota al margen, podemos usar las expansiones de la Serie de Taylor y derivar término a término
Ejemplo: sen(x) y cos(x)
La expansión de la serie Taylor para sen(x) es
sen(x) = x − x33! + x55! − …
Deriva término a término
ddx sen(x) = 1 − x22! + x44! − …
Que coincide perfectamente con la expansión de la serie Taylor para cos(x)
cos(x) = 1 − x22! + x44! − …
También derivemos eso término a término:
ddx cos(x) = 0 − x + x33! − …
¡Qué es la Serie de Taylor negativa de la expansión de sen(x) con la que empezamos!
Pero esto es «razonamiento circular» porque la expansión original de la serie de Taylor ya usa las reglas «la derivada de sen(x) es cos(x)» y «la derivada de cos(x) es −sen(x)».
