Home Preguntas Derivada de la tangente

Derivada de la tangente

febrero 24, 2023 Leave a Comment

 

 

En esta sección veremos la derivada de la tangente y haremos algunos ejercicios para tener un mejor entendimiento.

 

Recordemos que la tangente se define como

 

displaystyle tan{x} = frac{sin{x}}{cos{x}}.

 

Por lo tanto, para calcular su derivada, es suficiente conocer la fórmula de derivación de cociente de funciones y la derivada del seno y del coseno. Procedamos a derivar

 

    begin{align*} tan'{x} &= frac{sin'{x}cos{x} - cos'{x}sin{x}}{cos^2{x}}\&= frac{cos{x}cos{x} - (-sin{x})sin{x}}{cos^2{x}}\&= frac{cos^2{x} + sin^2{x}}{cos^2{x}}\&= frac{1}{cos^2{x}}\&= sec^2{x}end{align*}

 

Entonces, tenemos que

 

displaystyle tan'{x} = sec^2{x}

 

O bien, en general, con la regla de la cadena

 

displaystyle tan'{u(x)} = sec^2{u(x)}u'(x)

 

Veremos unos ejemplos donde usaremos la derivada de la tangente. En varias ocaciones usaremos la regla de la cadena, te invitamos a leer nuestro artículo dónde tratamos dicho tema en caso de no conocer el método.

 

1 Deriva la siguiente función

 

displaystyle g(x) = 3 tan{(2x)}

 

Integraremos

 

Notemos que en este caso podemos tomar a u(x) = 2x y f(u) = 3 tan{u} . Así, tenemos que

 

displaystyle f'(u) = 3 sec^2{u},

 

mientras que

 

displaystyle u'(x) = 2.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\&= 3 sec^2{u} 2 \&= 6 sec^2{(2x)} \end{align*}

 

2 Deriva la siguiente función

 

displaystyle g(x) = tan{sqrt{x}}

 

Notemos que en este caso podemos tomar a u(x) = sqrt{x} y f(u) = tan{u} . Así, tenemos que

 

displaystyle f'(u) = sec^{2}{u},

 

mientras que

 

displaystyle u'(x) = frac{1}{2sqrt{x}}.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\&= sec^{2}{u} frac{1}{2sqrt{x}} \&= sec^{2}{sqrt{x}} frac{1}{2sqrt{x}}\&= frac{sec^{2}{sqrt{x}}}{2sqrt{x}}\end{align*}

 

3 Deriva la siguiente función

 

displaystyle g(x) = tan{(sin{(sqrt{5x})})}

 

Notemos que en este caso tenemos triple composición, así que aplicaremos tres veces la regla de la cadena. Primero tomemos

 

displaystyle g(x) = f(u(x))

 

en donde f(u) = tan{u} y u(x) = sin{(sqrt{5x})}. Tenemos que

 

displaystyle f'(u) = sec^2{u}.

 

Ahora, derivemos u(x), pero notemos que u(x) también lo podemos expresar como una composición, en donde u(x) = f_1(u_1(x)), f_1(u_1) = sin{u_1} y u_1(x) = sqrt{5x}. sus derivadas son

 

displaystyle f_1'(u_1) = cos{u_1},

 

mientras que u_1(x) también lo podemos expresar como una composición, en donde u_1(x) = f_2(u_2(x)), f_2(u_2) = sqrt{u_2} y u_2(x) = 5x. sus derivadas son

READ  Newton a kg

 

displaystyle f_2'(u_2) = frac{1}{2sqrt{u_2}}

 

y

 

displaystyle u_2'(x) = 5.

 

Por lo tanto, nuestra derivada sería

 

    begin{align*} g'(x) &= f'(u)u'(x)\&= f'(u)[f_1'(u_1)u_1'(x)]\&= f'(u)[f_1'(u_1)[f_2'(u_2)u_2'(x)]]\&= sec^2{u} left[ cos{u_1} left[ frac{1}{2sqrt{u_2}} (5)right] right]\&= sec^2{(sin{(sqrt{5x})})} left[ cos{(sqrt{5x})} left[ frac{5}{2sqrt{5x}} right] right]\&= frac{5 cos{(sqrt{5x})}sec^2{(sin{(sqrt{5x})})}}{2sqrt{5x}}\end{align*}

 

Consentimiento Expreso para el tratamiento de datos de carácter personal recabados por vía electrónica

(leer consentimiento)

De conformidad con lo establecido en el REGLAMENTO (UE) 2016/679 de protección de datos de carácter personal y la Ley Orgánica 3/2018 de 5 de diciembre (LOPDGDD), le informamos que los datos que usted nos facilite serán incorporados al sistema de tratamiento titularidad de AULAFACIL, S.L. con CIF B82812322 y domicilio social sito en C/ CERRO DE LAS 40 CHICAS, 150, con la finalidad de PUBLICIDAD Y PROSPECCIÓN COMERCIAL; GESTIÓN DE CLIENTES, CONTABLE, FISCAL Y ADMINISTRATIVA.
Se procederá a tratar los datos de manera lícita, leal, transparente, adecuada, pertinente, limitada, exacta y actualizada. Mientras no nos comunique lo contrario, entenderemos que sus datos no han sido modificados y que usted se compromete a notificarnos cualquier variación.
De acuerdo con los derechos que le confiere la normativa vigente podrá ejercer los derechos de acceso, rectificación, limitación de tratamiento, supresión, portabilidad y oposición al tratamiento de sus datos de carácter personal así como revocar el consentimiento prestado, dirigiendo su petición a la dirección postal indicada o al correo electrónico rgpd[arroba]aulafacil[punto]com y podrá dirigirse a la Autoridad de Control competente para presentar la reclamación que considere oportuna.

La tangente hiperbólica de un número real x {displaystyle x} x se designa mediante tanh ⁡ x {displaystyle tanh x} {displaystyle tanh x} y se define como el cociente entre el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico del número real x {displaystyle x} x.[1]​

La fórmula es entonces

tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x {displaystyle tanh x={cfrac {sinh x}{cosh x}}}

READ  Secundaria 37

{displaystyle tanh x={cfrac {sinh x}{cosh x}}}

Si se sustituye de acuerdo con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico, se obtiene una fórmula más directa para la tangente hiperbólica, a saber:

tanh ⁡ x = e x − e − x e x + e − x {displaystyle tanh x={cfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}

{displaystyle tanh x={cfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}

Derivada

[

editar

]

  • d d x tanh ⁡ x = 1 cosh 2 ⁡ x {displaystyle {frac {d}{dx}}tanh x={frac {1}{cosh ^{2}x}}}

    {displaystyle {frac {d}{dx}}tanh x={frac {1}{cosh ^{2}x}}}

  • d d x tanh ⁡ x = 1 − t a n h 2 x {displaystyle {frac {d}{dx}}tanh x=1-,mathrm {tanh} ^{2}x}

    {displaystyle {frac {d}{dx}}tanh x=1-,mathrm {tanh} ^{2}x}

Inversa

[

editar

]

arg tanh  x = ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) = 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 1 − x ) {displaystyle {mbox{arg tanh }}x=ln left({sqrt {frac {1+x}{1-x}}}right)={frac {1}{2}}ln left({frac {1+x}{1-x}}right)}

{displaystyle {mbox{arg tanh }}x=ln left({sqrt {frac {1+x}{1-x}}}right)={frac {1}{2}}ln left({frac {1+x}{1-x}}right)}

Véase también

[

editar

]

Referencias

[

editar

]

  1. ↑

    Según el autor del libro puede escribirse como Tanh(x), tanh(x) o Tgh(x), también a veces se hace un espacio antes de la h, para lenguajes de programación se estila tanh(x) y para hojas Excel se estila TANH(x).

Enlaces externos

[

editar

]

You May Also Like

Mr trance letra

Pag 66

Secuencia de imagenes

Arbol de mostaza

Imagenes de siluetas

Fausto 3

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *