Uno de los tipos de movimiento más importantes en física es el movimiento armónico simple, que se asocia a sistemas como un objeto con masa que oscila sobre un resorte. El movimiento armónico simple puede describirse utilizando funciones seno o coseno. En esta sección ampliaremos nuestro conocimiento de las fórmulas de las derivadas para incluir las derivadas de estas y otras funciones trigonométricas. Comenzaremos con las derivadas de las funciones seno y coseno y luego las utilizaremos para obtener las fórmulas de las derivadas de las cuatro funciones trigonométricas restantes. Al ser capaces de calcular las derivadas de las funciones seno y coseno podremos encontrar la velocidad y la aceleración del movimiento armónico simple.
Derivadas de las funciones seno y coseno
Comenzamos nuestra exploración de la derivada de la función seno utilizando la fórmula para hacer una estimación razonable de su derivada. Recordemos que para una función f(x),f(x),
f′(x)=límh→0f(x+h)−f(x)h.f′(x)=límh→0f(x+h)−f(x)h.
En consecuencia, para los valores de hh muy cerca de 0, f′(x)≈f(x+h)−f(x)h.f′(x)≈f(x+h)−f(x)h. Vemos que al utilizar h=0,01,h=0,01,
ddx(senx)≈sen(x+0,01)−senx0,01ddx(senx)≈sen(x+0,01)−senx0,01
Al establecer D(x)=sen(x+0,01)−senx0,01D(x)=sen(x+0,01)−senx0,01 y empleando una herramienta gráfica, podemos obtener un gráfico de una aproximación a la derivada de senxsenx (Figura 3.25).
Figura
3.25
El gráfico de la función D(x)D(x) es muy similar a una curva de coseno.
Tras la inspección, el gráfico de D(x)D(x) parece estar muy cerca del gráfico de la función coseno. De hecho, demostraremos que
ddx(senx)=cosx.ddx(senx)=cosx.
Si siguiéramos los mismos pasos para aproximar la derivada de la función coseno, encontraríamos que
ddx(cosx)=−senx.ddx(cosx)=−senx.
Teorema
3.8
Las derivadas de sen x y cos x
La derivada de la función seno es el coseno y la derivada de la función coseno es el seno negativo.
ddx(senx)=cosxddx(senx)=cosx
(3.11)
ddx(cosx)=−senxddx(cosx)=−senx
(3.12)
Prueba
Debido a que las pruebas de ddx(senx)=cosxddx(senx)=cosx y ddx(cosx)=−senxddx(cosx)=−senx utilizan técnicas similares, solo proporcionamos la prueba para ddx(senx)=cosx.ddx(senx)=cosx. Antes de comenzar, recuerde dos importantes límites trigonométricos que aprendimos en Introducción a los límites:
límh→0senhh=1ylímh→0cosh−1h=0.límh→0senhh=1ylímh→0cosh−1h=0.
Los gráficos de y=(senh)hy=(senh)h y y=(cosh−1)hy=(cosh−1)h se muestran en la Figura 3.26.
Figura
3.26
Estos gráficos muestran dos límites importantes necesarios para establecer las fórmulas de las derivadas de las funciones seno y coseno.
También recordamos la siguiente identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos:
sen(x+h)=senxcosh+cosxsenh.sen(x+h)=senxcosh+cosxsenh.
Ahora que hemos reunido todas las ecuaciones e identidades necesarias, procedemos a realizar la prueba.
ddxsenx=límh→0sen(x+h)−senxhAplique la definiciónde la derivada.=límh→0senxcosh+cosxsenh−senxhUtilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos.=límh→0(senxcosh−senxh+cosxsenhh)Reagrupe.=límh→0(senx(cosh−1h)+cosx(senhh))Saque el factor comúnsenxycosx.=senx.0+cosx.1Aplique las fórmulas de límites trigonométricos.=cosxSimplifique.ddxsenx=límh→0sen(x+h)−senxhAplique la definiciónde la derivada.=límh→0senxcosh+cosxsenh−senxhUtilice la identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos.=límh→0(senxcosh−senxh+cosxsenhh)Reagrupe.=límh→0(senx(cosh−1h)+cosx(senhh))Saque el factor comúnsenxycosx.=senx.0+cosx.1Aplique las fórmulas de límites trigonométricos.=cosxSimplifique.
□
La Figura 3.27 muestra la relación entre el gráfico de f(x)=senxf(x)=senx y su derivada f′(x)=cosx.f′(x)=cosx. Observe que en los puntos donde f(x)=senxf(x)=senx tiene una tangente horizontal, su derivada f′(x)=cosxf′(x)=cosx toma el valor cero. También vemos que donde f(x)=senxf(x)=senx aumenta, f′(x)=cosx>0f′(x)=cosx>0 y donde f(x)=senxf(x)=senx disminuye, f′(x)=cosx<0.f′(x)=cosx<0.
Figura
3.27
Donde f(x)f(x) tiene un máximo o un mínimo, f′(x)=0f′(x)=0 es decir, f′(x)=0f′(x)=0 donde f(x)f(x) tiene una tangente horizontal. Estos puntos se marcan con puntos en los gráficos.
Ejemplo
3.39
Diferenciación de una función que contiene sen x
Calcule la derivada de f(x)=5x3senx.f(x)=5x3senx.
Solución
Utilizando la regla del producto, tenemos
f ′ ( x ) = d d x ( 5 x 3 ) . sen x + d d x ( sen x ) . 5 x 3 = 15 x 2 . sen x + cos x . 5 x 3 . f ′ ( x ) = d d x ( 5 x 3 ) . sen x + d d x ( sen x ) . 5 x 3 = 15 x 2 . sen x + cos x . 5 x 3 .
Tras simplificar, obtenemos
f ′ ( x ) = 15 x 2 sen x + 5 x 3 cos x . f ′ ( x ) = 15 x 2 sen x + 5 x 3 cos x .
Punto de control
3.25
Calcule la derivada de f(x)=senxcosx.f(x)=senxcosx.
Ejemplo
3.40
Encontrar la derivada de una función que contiene cos x
Calcule la derivada de g(x)=cosx4x2 .g(x)=cosx4x2 .
Solución
Aplicando la regla del cociente, tenemos
g ′ ( x ) = ( − sen x ) 4 x 2 − 8 x ( cos x ) ( 4 x 2 ) 2 . g ′ ( x ) = ( − sen x ) 4 x 2 − 8 x ( cos x ) ( 4 x 2 ) 2 .
Si simplificamos, obtenemos
g ′ ( x ) = −4 x 2 sen x − 8 x cos x 16 x 4 = − x sen x − 2 cos x 4 x 3 . g ′ ( x ) = −4 x 2 sen x − 8 x cos x 16 x 4 = − x sen x − 2 cos x 4 x 3 .
Punto de control
3.26
Calcule la derivada de f(x)=xcosx.f(x)=xcosx.
Ejemplo
3.41
Una aplicación para la velocidad
Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas de tal manera que su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=2 sent−ts(t)=2 sent−t por 0≤t≤2 π.0≤t≤2 π. ¿En qué tiempos la partícula está en reposo?
Solución
Para determinar cuándo la partícula está en reposo, establezca s′(t)=v(t)=0.s′(t)=v(t)=0. Comience por hallar s′(t).s′(t). Obtenemos
s ′ ( t ) = 2 cos t − 1 , s ′ ( t ) = 2 cos t − 1 ,
por lo que debemos resolver
2 cos t − 1 = 0 para 0 ≤ t ≤ 2 π . 2 cos t − 1 = 0 para 0 ≤ t ≤ 2 π .
Las soluciones a esta ecuación son t=π3t=π3 y t=5π3.t=5π3. Por tanto, la partícula está en reposo en los tiempos t=π3t=π3 y t=5π3.t=5π3.
Punto de control
3.27
Una partícula se mueve a lo largo de un eje de coordenadas. Su posición en el tiempo tt viene dada por s(t)=3t+2 costs(t)=3t+2 cost por 0≤t≤2 π.0≤t≤2 π. ¿En qué tiempos la partícula está en reposo?
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Formulas para derivar funciones trigonométricas
Derivada de la función seno
Derivada de la función coseno
Derivada de la función tangente
</>
Derivada de la función cotangente
Derivada de la función secante
Derivada de la función cosecante
Ejemplos de ejercicios de funciones derivadas
Deriva las siguientes funciónes
Recuerda siempre derivar el argumento de la función trigonométrica y multiplicarlo por la derivada de la función.
1 
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de 
cSustituimos en la fórmula de la derivada del seno
dReordenando se tiene
2
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada del seno
dReordenando se tiene
3
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada de la función potencia
4
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada del coseno
dReordenando se tiene
5
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada del coseno
dReordenando se tiene
6
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada de la función potencia
dReordenando se tiene
7
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada de la tangente
dReordenando se tiene
8 
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada de cotangente
dReordenando se tiene
9
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada de la función potencia
dReordenando se tiene
10
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada de secante
dReordenando se tiene
11
aPrimero hacemos 
bCalculamos la derivada de
cSustituimos en la fórmula de la derivada de cosecante
dReordenando se tiene
En esta serie de ejercicios vamos a ver el cálculo de la derivada del seno y de las demás derivadas de seno; es decir en su función compuesta.
Ya sea la función seno en forma simple o las función seno compuesta con otra función para lo cual vamos a aplicar como los casos anteriores la regla de la cadena.
Derivada del seno es coseno
Fórmula Derivada del seno
Este es otro ejercicio del curso gratuito de las derivadas de una función y para que no te pierdas ninguna de las novedades que subimos constantemente te sugerimos que nos sigas en nuestras redes sociales y que te suscribas a nuestro canal de YouTube
Ejercicio del curso de Derivadas Resuelto en el vídeo aquí debajo
COMO resolver DERIVADAS de función SENO
Aprende a Derivar FÁCIL y RÁPIDO ✅
Hola, ¿cómo están?
Estamos en otro vídeo de la saga de ejercicios de derivadas aplicando latabla.
En este caso vamos a agregar a lo que veníamos viendo la función seno dex.
Derivadas de la función seno (x) = coseno (x)
La derivada de la función compuesta seno de u de x, es u prima por coseno de u de x.
Es decir que en este caso, acá, tenemos que aplicar la función compuestapara calcular cuando tenemos dentro de la función seno otra función que no sea simplementeel valor de la variable x.
Vamos a ver un par de ejemplos, para ver cómo vamos a aplicar este cálculo.
Por ejemplo, si tenemos x cuadrado más seno de x y vamos a hacer laderivada de esta función, vamos a ver aplicando lo que habíamos visto de la sumay resta de funciones que la derivada es la derivada término a término.
Es decir la derivada de x cuadrado es 2x mientras que la derivada deseno de x es coseno de x.
Aplicamos la derivada del seno y aplicamos la derivada de x cuadrado.
Es decir término a término como si fueran funciones diferentes. Vamos aver otro ejemplo, donde en este caso la función seno está calculada sobre unafunción que no es la variable simplemente sino que es otra función u de x.
Es decir, esto es lo que le llamamos u de x, con lo cual vamos a ponerloal costado, u de x es x cuadrado más x y la derivada de esa función u es 2x + 1.
Por lo que si nosotros aplicamos la fórmula de la tabla la derivada va aser la derivada de u por coseno de u, es decir la derivada de u que es 2x más unopor coseno de u que es x cuadrado más x.
De esta manera tenemos calculado la derivada de una función aplicando laderivada de la función compuesta y la regla de la cadena a la función seno.
Si tienes alguna duda, déjanos en los comentarios tu duda o algún ejercicioque nos quieras proponer y suscríbete al canal, activá la campanita para noperderte ninguno de los ejercicios que subimos día tras día.
Nos vemos en el próximo ejercicio.
Derivada de seno de 2x
=%5Csin&space;%5Cleft&space;(&space;2x&space;%5Cright&space;)%5CRightarrow&space;f'%7B%5Cleft&space;(&space;x%5Cright&space;)%7D=2%5Ctimes&space;%5Ccos&space;%5Cleft&space;(&space;2x&space;%5Cright&space;))
Derivada de seno cuadrado
Para calcular la derivada de seno al cuadrado vamos a aplicar la fórmula de x al cuadrado cuya derivada es 2x; compuesta con la función seno de x; con lo que aplicando la regla de la cadena en vez de 2x queda 2 sen(x) multiplicado por la derivada de seno que es coseno; por lo tanto resumiendo queda de la forma siguiente.
Derivada de sen^2x
=&space;%5Csin&space;%5E%7B2%7D%5Cleft&space;(&space;x&space;%5Cright&space;)%5CRightarrow&space;f'%7B%5Cleft&space;(&space;x&space;%5Cright&space;)%7D=&space;2&space;%5Csin&space;%5Cleft&space;(&space;x&space;%5Cright&space;)%5Ccos&space;%5Cleft&space;(&space;x&space;%5Cright&space;))
Acá vemos como se calcula la derivada de seno cuadrado; para la cual podemos razonar como una multiplicación; de la función seno por la misma función seno de x.
También se puede razonar como la composición de X al cuadrado con la función seno y la calculamos aplicando la regla de la cadena.
