La derivada de una división entre dos funciones es igual al denominador por derivada del numerador menos la derivada del denominador por el numerador, y esto entre el denominador elevado al cuadrado.
En términos matemáticos, lo podríamos resumir de la siguiente manera:
Debemos recordar que la derivada es una función matemática que nos permite calcular la razón o velocidad de cambio de una variable (dependiente). Esto, cuando se registra una variación en otra variable (que sería la independiente) que la afecta.
Ejemplo de derivada de una división
Para entender mejor cómo se calcula la derivada de una división, veamos algunos ejemplos.
Ahora veamos un ejemplo con algo más de dificultad, con una función trigonométrica y el logaritmo de una función:
Consentimiento Expreso para el tratamiento de datos de carácter personal recabados por vía electrónica
(leer consentimiento)
Seguimos con el curso para aprender a derivar funciones hasta ser unas máquinas , hoy vamos a ver la derivada de la división o cociente paso a paso, esta derivada es muy importante ya que la usaremos muchísima en nuestra vida estudiando ciencias , por eso es importantre aprenderla bien y desde el principio , pero no te preocupes que incidiré en las claves te enseñaré algun truco y sobre te contaré un clásico error que se comete en este caso , para que nunca lo cometas , matemáticas bachillerato y universidad
se que tienes muchas ganas asi que Vamos a por ello ….!!! 🙂
¿Cuál es la derivada de un cociente?
La derivada de la división de funciones es : “derivada del numerador por el denominador sin derivar MENOS el numerador sin derivar por la derivada del denominador todo dividido entre el denominador al cuadrado “
Ver explicación en vídeo
Fórmula de la derivada de una división
Ejemplo de derivada de una división
ver solución
En este ejemplo vamos a derivar y luego operar, ya que las operaciones son importantes OJO Cuidado con el signo menos
Derivada de un cociente ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto
Deriva las siguientes funciones:
Ver solución
Ejercicio Para practicar
Ver solución
Te dejo este par de funciones para que las derives , haz el ejercicio corrígelos con el vídeo y si lo haces bien déjame un cometario en el vídeo para que te mande el título de máquina de la derivar del cociente 😉
Ejemplo “ Sergio envíame el título de máquina de derivar cocientes que he clavado los dos “
Te dejo el enlace al curso derivadas paso a paso , para que te sigas transformando en una MÁQUINA
CURSO DE DERIVADAS
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Ahora introducimos la regla de la división. A partir de la seguiente tabla intenta deduirla:
$$f (x)$$ $$f'(x)$$ $$dfrac{x-1}{x}$$ $$dfrac{(1)x-(x-1)cdot 1}{x^2}=dfrac{1}{x^2}$$ $$dfrac{x^3}{x-2}$$ $$dfrac{3x^2(x-2)-x^3cdot 1}{(x-2)^2}$$ $$dfrac{x}{x+2}$$ $$dfrac{1(x+2)-x cdot 1}{(x+2)^2}$$ $$dfrac{3x^5}{2x+1}$$ $$dfrac{15x^5(2x+1)-3x^5(2)}{(2x+1)^2}$$ $$dfrac{g(x)}{h(x)}$$ ?
Si has sido capaz de deducir la regla del cociente comprueba tu resultado con el enunciado que sigue:
La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la dividendo por el divisor menos el dividendo por la derivada del divisor y dividido todo ello entre el divisor al cuadrado. Matemáticamente es sin duda más claro:$$$f(x)=frac{g(x)}{h(x)} Rightarrow f'(x)=frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^2(x)}$$$
Veamos algunos ejemplos:
Sea $$f(x)=dfrac{x^2+x}{3x-1}$$
Identificamos $$g (x) =x^2+x$$ y $$h (x) = 3x-1$$. Apliquemos pues la regla del cociente,$$$f'(x)=frac{(2x+1)(3x-1)-(x^2+x)3}{(3x-1)^2}$$$
Ahora un ejemplo conocido $$f(x)=dfrac{x+2}{x^5}$$
Ahora $$g(x)=x+2$$ y $$h(x)=x^5$$. Apliquemos pues la regla del cociente,$$$f'(x)=frac{1cdot x^5-(x+2)5x^4}{(x^5)^2}$$$
Ingresa arriba la función a derivar. La variable de diferenciación y demás pueden ser cambiados en «Opciones». Da clic en «Ir» para empezar el cálculo de la derivada. El resultado se mostrará más abajo.
Cómo funciona la Calculadora de Derivadas
Para aquellos con antecedentes técnicos, la siguiente sección explica cómo funciona la Calculadora de Derivadas.
Primero, un analizador sintáctico (o parser) analiza la función matemática. Este la convierte a un formato más comprensible para una computadora, esto es un árbol (veáse figura abajo). Al hacer esto, la Calculadora de Derivadas tiene que respetar el orden de operaciones. Algo especial en expresiones matemáticas es que el signo de multiplicación puede ser omitido en ocasiones, por ejemplo escribimos «5x» en lugar de «5*x». La Calculadora de Derivadas tiene que detectar esos casos e insertar el signo de multiplicación.
El parser está implementado en JavaScript, basado en el algoritmo Shunting-yard, y puede ser ejecutado directamente en el explorador. Esto permite un rápido feedback mientras escribimos al transformar el árbol en código LaTeX. MathJax se encarga de mostrar la función en el explorador.
Cuando el botón «Ir» es presionado, la Calculadora de Derivadas envía la función matemática y las opciones de configuración (variable y orden de derivación) al servidor, donde es analizada otra vez. Esta vez, la función es transformada a un formato que puede ser entendido por el sistema de álgebra computacional Maxima.
Maxima se encarga en realidad del cómputo de la derivada de la función matemática. Como cualquier sistema de álgebra computacional, este aplica un número de reglas para simplificar la función y calcular la derivada de acuerdo con las comúnmente conocidas reglas de derivación. El resultado de Maxima es transformado a LaTeX otra vez y es presentado entonces al usuario.
Mostrar los pasos del cálculo es un poco más complicado, por que la Calculadora de Derivadas no puede depender completamente de Maxima para esta tarea. En lugar de ello, las derivadas tienen que ser calculadas manualmente paso por paso. Las reglas de derivación (regla del producto, regla del cociente, regla de la cadena, …) han sido implementadas en código de JavaScript. También hay una tabla de derivadas para las funciones trigonométricas, la raíz cuadrada, la función logarítmica y la exponencial. En cada paso se lleva a cabo el cálculo de una derivada o esta se reescribe de otra forma equivalente. Por ejemplo, factores constantes se sacan de la derivada y las sumas son separadas en sus términos (regla de la suma). Esto, así como simplificaciones generales, es realizado por Maxima. Por cada derivada calculada, la representación de LaTeX de la expresión matemática resultante es etiquetada de forma particular en el codigo HTML para hacer posible después el resaltado de expresiones con color.
La función «Verifica la respuesta» tiene que resolver la difícil tarea de determinar si dos expresiones matemáticas son equivalentes. Su diferencia se calcula y simplifica tanto como sea posible usando Maxima. Por ejemplo, esto implica escribir funciones trigonométricas/hiperbólicas en sus formas exponenciales. Si se puede demostrar que la diferencia es cero, la tarea está resuelta. De otra manera, se aplica un algoritmo probabilístico que evalúa y compara ambas funciones en lugares determinados aleatoriamente.
Las gráficas interactivas de funciones son calculadas en el explorador y se muestran dentro de un lienzo, también llamado elemento canvas (HTML5). Por cada función a graficar, la calculadora crea una función de JavaScript, que es finalmente evaluada en intérvalos pequeños a fin de dibujar la gráfica. Al dibujar las gráficas, las singularidades matemáticas (p. ej. polos) son detectadas y tratadas especialmente. El control de gestos se implementó usando Hammer.js.
Si tienes cualquier pregunta o ideas para mejorar la Calculadora de Derivadas, no dudes en escribirme un e-mail.
