Derivada del logaritmo

Hay dos formas de definirla:

Tabla de contenidos

Es igual al producto de dos factores: la derivada del argumento “w” dividida por el argumento multiplicado por el logaritmo en base “b” del número “e”.

También se puede definir: la derivada del argumento “w” dividido por el argumento multiplicado por uno dividido por el logaritmo neperiano de la base “b”.

Para resolver las derivadas de logaritmos puede ser útil en algunos casos descomponerlos utilizando las propiedades de los logaritmos. A título de ejemplo en algunos ejemplos que veremos a continuación utilizaremos dicha técnica.

Ejemplo:

En el cálculo de la derivada de un logaritmo puede ser muy útil aplicar las propiedades de los logaritmos. Por ejemplo, en el caso anterior podríamos haber operado de la siguiente manera:

f(x) = log3 x6 = 6 · log3 x

Luego:

Esta derivada hubiera sido más fácil resolverla aplicando las propiedades de los logaritmos:

Luego:

Aplicando las propiedades de los logaritmos:

Luego:

Se podría resolver aplicando las propiedades de los logaritmos:

Luego:

También se podría resolver aplicando las propiedades de los logaritmos:

También podemos resolverlo aplicando las propiedades de los logaritmos:

Hemos obtenido el mismo resultado.

Recordemos que definimos a la función logaritmo $log_a (x)$ como la función inversa del exponente $a^x$ . Por lo tanto, se cumple la relación

$displaystyle log_a left( a^x right) = x$

El número $a > 0$ se conoce como base del exponente. Para más información, consulta nuestra página sobre los logaritmos.

Derivada del logaritmo natural

Si la base del logaritmo es el número de Euler, $e$ , entonces se logaritmo se conoce como logaritmo natural (o logaritmo neperiano). En este caso lo denotamos

$displaystyle log_e x = ln x$

Si $f(x) = ln (u(x))$ , entonces la derivada del logaritmo natural es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ ln u(x) right] = frac{u'}{u}$

donde ya estamos tomando en cuenta la regla de la cadena.

En particular, la derivada de $f(x) = ln x$ es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ ln x right] = frac{1}{x}$

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Vamos

Derivada de un logaritmo de cualquier base

Sabemos que el logaritmo cumple con la siguiente propiedad:

$displaystyle log_a x = frac{ln x}{ln a}$

Por lo tanto, si derivamos la expresión anterior, tenemos:

$displaystyle frac{d}{dx} left[ log_a x right] = frac{d}{dx} left[ frac{ln x}{ln a} right] = frac{1}{ln a} frac{d}{dx} left[ ln x right] = frac{1}{ln a} frac{1}{x}$

Así, la derivada del logaritmo base $a$ es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ log_a x right] = frac{1}{x ln a}$

Si tomamos en cuenta la regla de la cadena, entonces la derivada es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ log_a u(x) right] = frac{u'}{u ln a}$

Nota: en muchos casos es preferible aplicar algunas propiedades de los logaritmos antes de derivar. Por ejemplo, si tenemos

$displaystyle f(x) = ln left( frac{x + 4}{2x - 2} right)$

Entonces utilizamos la propiedad $ln(a/b) = ln a - ln b$ para obtener:

$displaystyle f(x) = ln ( x + 4 ) - ln ( 2x - 2)$

con lo que nos evitaríamos hacer la regla del cociente para las derivadas.

Ejercicios resueltos

1 Calcula la derivada de $f(x) = ln left((x - 2)^9 right)$

Observemos que tenemos una potencia. Aunque es sencillo derivar $(x - 2)^9$ , también podemos utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos:

$displaystyle ln (a^b) = bln a$

con lo que la función se puede escribir como

$displaystyle f(x) = 9ln(x - 2)$

Entonces podemos derivar una expresión un poco más sencilla. Primero utilizamos la linealidad de la derivada (sacamos la constante):

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ 9ln(x - 2) right] = 9frac{d}{dx} left[ ln(x - 2) right]$

ahora derivamos (con regla de la cadena donde $u = x - 2$ ):

$displaystyle f'(x) = 9frac{tfrac{d}{dx}[x - 2]}{x - 2}$

La derivada de $x - 2$ es 1, por lo que tenemos

$displaystyle f'(x) = 9frac{1}{x - 2} = frac{9}{x - 2}$

la cual es la derivada que buscábamos.

2 Calcula la derivada de

$displaystyle f(x) = ln left( frac{x^2 - 2}{x + 3} right)$

Antes de derivar, utilicemos la siguiente propiedad del logaritmo

$displaystyle ln (a/b) = ln a - ln b$

Por lo que la función se escribe como

$displaystyle f(x) = ln (x^2 - 2) - ln(x + 3)$

Ahora derivamos:

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ ln (x^2 - 2) - ln(x + 3) right]$

Utilizamos la linealidad de las derivadas:

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ ln(x^2 - 2) right] - frac{d}{dx} left[ ln(x + 3) right]$

Y ahora derivamos cada expresión:

$displaystyle f'(x) = frac{tfrac{d}{dx}[x^2 - 2]}{x^2 - 2} - frac{tfrac{d}{dx}[x + 3]}{x + 3}$

Luego, tenemos que $tfrac{d}{dx}[x^2 - 2] = 2x$ y $tfrac{d}{dx}[x + 3] = 1$ , son lo que tenemos

$displaystyle f'(x) = frac{2x}{x^2 - 2} - frac{1}{x + 3}$

que es la derivada que buscamos.

3 Calcula la derivada de

READ 500 libras a kilos

$displaystyle f(x) = log_{10} (x^2 + 4x + 1)$

Recordemos que la derivada de un logaritmo con base diferente de $e$ es ligeramente diferente. Por lo tanto,

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ log_{10} (x^2 + 4x + 1) right] = frac{tfrac{d}{dx}[x^2 + 4x + 1]}{(x^2 + 4x + 1)ln 10}$

Además, tenemos que $tfrac{d}{dx}[x^2 + 4x + 1] = 2x + 4$ . Por lo que la derivada es

$displaystyle f'(x) = frac{2x + 4}{(x^2 + 4x + 1)ln 10}$

4 Calcula la derivada de

$displaystyle f(x) = log_2 left( sqrt[3]{frac{5x^2 + 2}{cos x}} right)$

Para encontrar esta derivada, primero vale la pena utilizas propiedades de los logaritmos. En primer lugar

$displaystyle log (a^b) = blog a$

como $sqrt[3]{a} = a^{1/3}$ , entonces la función se puede escribir como

$displaystyle f(x) = frac{1}{3}log_2 left( frac{5x^2 + 2}{cos x} right)$

Ahora, utilizamos la propiedad $log (a/b) = log a - log b$ , para escribir la función como

$displaystyle f(x) = frac{1}{3} (log_2 (5x^2 + 2) - log_2(cos x))$

Ya podemos derivar la función:

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ frac{1}{3} (log_2 (5x^2 + 2) - log_2(cos x)) right]$

Utilizamos la linealidad de la derivada:

$displaystyle f'(x) = frac{1}{3}left(frac{d}{dx} left[ log_2 (5x^2 + 2) right] - frac{d}{dx} left[ log_2(cos x) right] right)$

Ahora sí derivamos cada expresión:

$displaystyle f'(x) = frac{1}{3}left(frac{tfrac{d}{dx}[5x^2 + 2]}{(5x^2 + 2)ln 2} - frac{frac{d}{dx}[cos x]}{cos x ln 2} right)$

Luego, tenemos que $tfrac{d}{dx}[5x^2 + 2] = 10 x$ y $tfrac{d}{dx}[cos x] = -sin x$ . Sustituyendo, tenemos

$displaystyle f'(x) = frac{1}{3}left(frac{10 x}{(5x^2 + 2)ln 2} + frac{sin x}{cos x ln 2} right)$

que es la derivada que buscábamos.

5 Utilizando derivación implícita y el hecho de que

$displaystyle frac{d}{dx} left[ e^x right] = e^x$

demuestra que

$displaystyle frac{d}{dx} left[ ln x right] = frac{1}{x}$

Empezamos con nuestra función $f(x) = ln x$ . Deseamos mostrar que

$displaystyle f'(x) = frac{1}{x}$

Para esto, aplicamos la función exponencial a ambos lados:

$displaystyle e^{f(x)} = e^{ln x} = x, qquad cdots (1)$

Ahora, usamos derivación implícita en esta expresión

$displaystyle frac{d}{dx} left[ e^{f(x)} right] = frac{d}{dx} left[ x right]$

El lado derecho es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ x right] = 1$

Mientras que el lado izquierdo es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ e^{f(x)} right] = e^{f(x)} cdot f'(x)$

Por lo tanto, tenemos

$displaystyle e^{f(x)} f'(x) = 1$

Si dividimos ambos lados por $e^{f(x)}$ , tenemos

$displaystyle f'(x) = frac{1}{e^{f(x)}}$

Sin embargo, teníamos que $e^{f(x)} = x$ en (1), por lo que

$displaystyle f'(x) = frac{1}{x}$

que era justo lo que queríamos demostrar.

La derivada de un logaritmo de base z aplicado a un número x es igual a 1 entre x por logaritmo natural de z.

En términos matemáticos, la fórmula que debemos utilizar es la siguiente:

El logaritmo natural es la función de logaritmo aplicada con base e.

Asimismo, si se trata de una función sobre la cual se está calculando el logaritmo, aplicamos la regla de la cadena, con lo que tendríamos lo siguiente, donde y es una función de x.

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Debemos recordar que un logaritmo es la operación por la cual se calcula el exponente al que se está elevando la base para hallar un número x determinado. Es decir, lo podemos resumir de la siguiente forma:

Por lo tanto, el logaritmo natural sigue el cálculo siguiente:

Ejemplos de derivada de logaritmo

Veamos algunos ejemplos de derivada de logaritmo. En este primer caso, recordemos que estamos usando la regla de la cadena.

Ahora veamos un segundo ejemplo con algo más de complejidad:

Objetivos de aprendizaje

6.7.1

Escribir la definición del logaritmo natural como una integral.
6.7.2

Reconocer la derivada del logaritmo natural.
6.7.3

Integrar funciones que impliquen la función logarítmica natural.
6.7.4

Definir el número e e a través de una integral.
6.7.5

Reconocer la derivada y la integral de la función exponencial.
6.7.6

Demostrar las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales utilizando las integrales.
6.7.7

Expresar funciones logarítmicas y exponenciales generales en términos de logaritmos naturales y exponenciales.

En capítulos anteriores examinamos las funciones exponenciales y los logaritmos. Sin embargo, pasamos por alto algunos detalles clave en los debates anteriores. Por ejemplo, no hemos estudiado cómo tratar las funciones exponenciales con exponentes irracionales. La definición del número e es otra área que no se desarrolló totalmente. Ahora tenemos las herramientas para analizar estos conceptos de una manera más rigurosa desde el punto de vista matemático, y lo haremos en esta sección.

Para los fines de esta sección, supongamos que aún no hemos definido el logaritmo natural, el número e, ni ninguna de las fórmulas de integración y diferenciación asociadas a estas funciones. Al final de la sección habremos estudiado estos conceptos de forma matemáticamente rigurosa (y veremos que son coherentes con los conceptos que aprendimos anteriormente).

Comenzaremos la sección definiendo el logaritmo natural en términos de una integral. Esta definición constituye la base de esta sección. A partir de esta definición, derivaremos fórmulas de diferenciación, definiremos el número e,e, y ampliaremos estos conceptos a logaritmos y funciones exponenciales de cualquier base.

El logaritmo natural como integral

Recordemos la regla de la potencia para las integrales:

∫xndx=xn+1n+1+C,n≠−1.∫xndx=xn+1n+1+C,n≠−1.

Está claro que esto no funciona cuando n=−1,n=−1, ya que nos obligaría a dividir entre cero. Entonces, ¿qué hacemos con ∫1xdx?∫1xdx? Recordemos que el teorema fundamental del cálculo dice que ∫1x1tdt∫1x1tdt es una antiderivada de 1/x.1/x. Por lo tanto, podemos hacer la siguiente definición.

Definición

Para x>0,x>0, defina la función logarítmica natural por

lnx=∫1x1tdt.lnx=∫1x1tdt.

(6.24)

Para x>1,x>1, esto es solo el área bajo la curva y=1/ty=1/t a partir de 11 a x.x. Para x<1,x<1, tenemos ∫1x1tdt=−∫x11tdt,∫1x1tdt=−∫x11tdt, por lo que en este caso es el negativo del área bajo la curva de xpara1xpara1 (vea la siguiente figura).

Figura

6.75

(a) Cuando x>1,x>1, el logaritmo natural es el área bajo la curva y=1/ty=1/t a partir de 1parax.1parax. (b) Cuando x<1,x<1, el logaritmo natural es el negativo del área bajo la curva de xx al 1.1.

Observe que ln1=0.ln1=0. Además, la función y=1/t>0y=1/t>0 por x>0.x>0. Por lo tanto, según las propiedades de las integrales, está claro que lnxlnx aumenta para x>0.x>0.

Propiedades del logaritmo natural

Debido a la forma en que definimos el logaritmo natural, la siguiente fórmula de diferenciación surge inmediatamente como resultado del teorema fundamental del cálculo.

Teorema

6.15

Derivada del logaritmo natural

Para x>0,x>0, la derivada del logaritmo natural viene dada por

ddxlnx=1x.ddxlnx=1x.

Teorema

6.16

Corolario de la derivada del logaritmo natural

La función lnxlnx es diferenciable; por lo tanto, es continua.

Un gráfico de lnxlnx se muestra en la Figura 6.76. Observe que es continua en todo su dominio de (0,∞).(0,∞).

Figura

6.76

El gráfico de f(x)=lnxf(x)=lnx muestra que es una función continua.

Ejemplo

6.35

Cálculo de las derivadas de los logaritmos naturales

Calcule las siguientes derivadas:

ddxln(5×3−2 )ddxln(5×3−2 ) grandes.
ddx(ln(3x))2 ddx(ln(3x))2

READ Sinónimo de vender

Solución

En ambos casos tenemos que aplicar la regla de la cadena.

ddxln(5×3−2 )=15×2 5×3−2 ddxln(5×3−2 )=15×2 5×3−2
ddx(ln(3x))2 =2 (ln(3x)).33x=2 (ln(3x))xddx(ln(3x))2 =2 (ln(3x)).33x=2 (ln(3x))x

Punto de control

6.35

Calcule las siguientes derivadas:

ddxln(2 x2 +x)ddxln(2 x2 +x) grandes.
ddx(ln(x3))2 ddx(ln(x3))2

Observe que si utilizamos la función de valor absoluto y creamos una nueva función ln|x|,ln|x|, podemos ampliar el dominio del logaritmo natural para incluir x<0.x<0. Entonces (d/(dx))ln|x|=1/x.(d/(dx))ln|x|=1/x. Esto da lugar a la conocida fórmula de integración.

Teorema

6.17

Integral de (1/u) du

El logaritmo natural es la antiderivada de la función f(u)=1/u:f(u)=1/u:

∫1udu=ln|u|+C.∫1udu=ln|u|+C.

Ejemplo

6.36

Cálculo de integrales que implica logaritmos naturales

Calcule la integral ∫xx2 +4dx.∫xx2 +4dx.

Solución

Utilizando uu−sustitución, supongamos que u=x2 +4.u=x2 +4. Entonces du=2 xdxdu=2 xdx y tenemos

∫ x x 2 + 4 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln | u | + C = 1 2 ln | x 2 + 4 | + C = 1 2 ln ( x 2 + 4 ) + C . ∫ x x 2 + 4 d x = 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln | u | + C = 1 2 ln | x 2 + 4 | + C = 1 2 ln ( x 2 + 4 ) + C .

Punto de control

6.36

Calcule la integral ∫x2 x3+6dx.∫x2 x3+6dx.

Aunque hemos llamado a nuestra función «logaritmo», en realidad no hemos demostrado que ninguna de las propiedades de los logaritmos se cumpla para esta función. Lo haremos aquí.

Teorema

6.18

Propiedades del logaritmo natural

Si los valores de a,b>0a,b>0 y rr es un número racional, entonces

ln1=0ln1=0
ln(ab)=lna+lnbln(ab)=lna+lnb
ln(ab)=lna−lnbln(ab)=lna−lnb
ln(ar)=rlnaln(ar)=rlna

Prueba

i. Por definición, ln1=∫111tdt=0.ln1=∫111tdt=0.

ii. Tenemos

ln(ab)=∫1ab1tdt=∫1a1tdt+∫aab1tdt.ln(ab)=∫1ab1tdt=∫1a1tdt+∫aab1tdt.

Use la sustitución u u en la última integral de esta expresión. Supongamos que u=t/a.u=t/a. Entonces du=(1/a)dt.du=(1/a)dt. Además, cuando t=a,u=1,t=a,u=1, y cuando t=ab,u=b.t=ab,u=b. Así que obtenemos

ln(ab)=∫1a1tdt+∫aab1tdt=∫1a1tdt+∫aabat.1adt=∫1a1tdt+∫1b1udu=lna+lnb.ln(ab)=∫1a1tdt+∫aab1tdt=∫1a1tdt+∫aabat.1adt=∫1a1tdt+∫1b1udu=lna+lnb.

iv. Tenga en cuenta que

ddxln(xr)=rxr−1xr=rx.ddxln(xr)=rxr−1xr=rx.

Además,

ddx(rlnx)=rx.ddx(rlnx)=rx.

Como las derivadas de estas dos funciones son iguales, según el teorema fundamental del cálculo, deben diferir en una constante. Así que tenemos

ln(xr)=rlnx+Cln(xr)=rlnx+C

para alguna constante C.C. Si tomamos x=1,x=1, obtenemos

ln(1r)=rln(1)+C0=r(0)+CC=0.ln(1r)=rln(1)+C0=r(0)+CC=0.

Así que ln(xr)=rlnxln(xr)=rlnx y la prueba está completa. Observe que podemos extender esta propiedad a los valores irracionales de rr más adelante en esta sección.
La parte iii. se deduce de las partes ii. y iv. y la prueba se deja a su criterio.

□

Ejemplo

6.37

Uso de las propiedades de los logaritmos

Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln9−2 ln3+ln(13).ln9−2 ln3+ln(13).

Solución

Tenemos

ln 9 − 2 ln 3 + ln ( 1 3 ) = ln ( 3 2 ) − 2 ln 3 + ln ( 3 −1 ) = 2 ln 3 − 2 ln 3 − ln 3 = − ln 3 . ln 9 − 2 ln 3 + ln ( 1 3 ) = ln ( 3 2 ) − 2 ln 3 + ln ( 3 −1 ) = 2 ln 3 − 2 ln 3 − ln 3 = − ln 3 .

Punto de control

6.37

Utilice las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión en un solo logaritmo:

ln8−ln2 −ln(14).ln8−ln2 −ln(14).

Definición del número e

Ya que definimos el logaritmo natural, podemos utilizar esa función para definir el número e.e.

Definición

El número ee se define como el número real tal que

lne=1.lne=1.

Para decirlo de otra manera, el área bajo la curva y=1/ty=1/t entre t=1t=1 y t=et=e ¿es 11 (Figura 6.77). Se deja a su criterio la prueba de que ese número existe y es único. (Pista: Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar la existencia y el hecho de que lnxlnx es creciente para demostrar su unicidad).

Figura

6.77

El área bajo la curva de 11 al ee es igual a uno.

El número ee puede demostrarse que es irracional, aunque no lo haremos aquí (vea el proyecto estudiantil en la Serie Taylor y Maclaurin). Su valor aproximado viene dado por

e≈2,71828182846.e≈2,71828182846.

La función exponencial

Ahora nos centraremos en la función ex.ex. Observe que el logaritmo natural es biunívoco y, por tanto, tiene una función inversa. Por ahora, denotamos esta función inversa por expx.expx. Entonces,

exp(lnx)=xparax>0yln(expx)=xpara todox.exp(lnx)=xparax>0yln(expx)=xpara todox.

La siguiente figura muestra los gráficos de expxexpx y lnx.lnx.

Figura

6.78

Los gráficos de lnxlnx y expx.expx.

Nuestra hipótesis es que expx=ex.expx=ex. Para valores racionales de x,x, esto es fácil de mostrar. Si los valores de xx es racional, entonces tenemos ln(ex)=xlne=x.ln(ex)=xlne=x. Así, cuando xx es racional, ex=expx.ex=expx. Para valores irracionales de x,x, simplemente definimos exex como función inversa de lnx.lnx.

Definición

Para cualquier número real x,x, defina y=exy=ex para ser el número para el que

lny=ln(ex)=x.lny=ln(ex)=x.

(6.25)

Entonces tenemos ex=exp(x)ex=exp(x) para todo x,x, y por lo tanto

elnx=xparax>0yln(ex)=xelnx=xparax>0yln(ex)=x

(6.26)

para todos los x.x.

Propiedades de la función exponencial

Dado que la función exponencial se definió en términos de una función inversa, y no en términos de una potencia de e,e, debemos comprobar que las leyes generales de los exponentes se cumplen para la función ex.ex.

Teorema

6.19

Propiedades de la función exponencial

Si los valores de pp y qq son números reales cualquiera y rr es un número racional, entonces

epeq=ep+qepeq=ep+q
epeq=ep−qepeq=ep−q
(ep)r=epr(ep)r=epr

Prueba

Observe que si pp y qq son racionales, las propiedades se mantienen. Sin embargo, si pp o qq son irracionales, debemos aplicar la definición de función inversa de exex y verificar las propiedades. Aquí solo verificamos la primera propiedad; verifique las dos restantes. Tenemos

ln(epeq)=ln(ep)+ln(eq)=p+q=ln(ep+q).ln(epeq)=ln(ep)+ln(eq)=p+q=ln(ep+q).

Dado que lnxlnx es biunívoca, entonces

epeq=ep+q.epeq=ep+q.

□

Al igual que con la parte iv. de las propiedades del logaritmo, podemos extender la propiedad iii. a los valores irracionales de r,r, y lo haremos al final de la sección.

También queremos verificar la fórmula de diferenciación de la función y=ex.y=ex. Para ello, tenemos que utilizar la diferenciación implícita. Supongamos que y=ex.y=ex. Entonces

lny=xddxlny=ddxx1ydydx=1dydx=y.lny=xddxlny=ddxx1ydydx=1dydx=y.

Así, vemos

ddxex=exddxex=ex

como esperábamos, lo que conduce inmediatamente a la fórmula de integración

∫exdx=ex+C.∫exdx=ex+C.

Aplicaremos estas fórmulas en los siguientes ejemplos.

Ejemplo

6.38

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Evalúe las siguientes derivadas:

ddte3tet2 ddte3tet2
ddxe3x2 ddxe3x2

Solución

Aplicamos la regla de la cadena según sea necesario.

ddte3tet2 =ddte3t+t2 =e3t+t2 (3+2 t)ddte3tet2 =ddte3t+t2 =e3t+t2 (3+2 t) grandes.
ddxe3x2 =e3x2 6xddxe3x2 =e3x2 6x

Punto de control

6.38

Evalúe las siguientes derivadas:

ddx(ex2 e5x)ddx(ex2 e5x) grandes.
ddt(e2 t)3ddt(e2 t)3

Ejemplo

6.39

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Evalúe la siguiente integral ∫2 xe–x2 dx.∫2 xe–x2 dx.

READ Designar sinonimo

Solución

Utilizando uu−sustitución, supongamos que u=−x2 .u=−x2 . Entonces du=–2xdx,du=–2xdx, y tenemos

∫ 2 x e – x 2 d x = − ∫ e u d u = − e u + C = − e – x 2 + C . ∫ 2 x e – x 2 d x = − ∫ e u d u = − e u + C = − e – x 2 + C .

Punto de control

6.39

Evalúe la siguiente integral ∫4e3xdx.∫4e3xdx.

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Cerraremos esta sección viendo las funciones exponenciales y los logaritmos con bases distintas a e.e. Las funciones exponenciales son funciones de la forma f(x)=ax.f(x)=ax. Tenga en cuenta que, a menos que a=e,a=e, todavía no tenemos una definición matemáticamente rigurosa de estas funciones para los exponentes irracionales. Rectifiquemos aquí definiendo la función f(x)=axf(x)=ax en términos de la función exponencial ex.ex. A continuación examinaremos los logaritmos con bases distintas a ee como funciones inversas de funciones exponenciales.

Definición

para cualquier a>0,a>0, y para cualquier número real x,x, defina y=axy=ax de la siguiente forma:

y=ax=exlna.y=ax=exlna.

Ahora, axax se define rigurosamente para todos los valores de x. Esta definición también nos permite generalizar la propiedad iv. de los logaritmos y la propiedad iii. de las funciones exponenciales para aplicarlas tanto a los valores racionales como irracionales de r.r. Es sencillo demostrar que las propiedades de los exponentes se mantienen para las funciones exponenciales generales definidas de esta manera.

Apliquemos ahora esta definición para calcular una fórmula de diferenciación para ax.ax. Tenemos

ddxax=ddxexlna=exlnalna=axlna.ddxax=ddxexlna=exlnalna=axlna.

La fórmula de integración correspondiente se deduce inmediatamente.

Teorema

6.20

Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales

Supongamos que a>0.a>0. Entonces,

ddxax=axlnaddxax=axlna

∫axdx=1lnaax+C.∫axdx=1lnaax+C.

Si los valores de a≠1,a≠1, entonces la función axax es biunívoca y tiene una inversa bien definida. Su inversa se denota por logax.logax. Entonces,

y=logaxsi y solo six=ay.y=logaxsi y solo six=ay.

Nótese que las funciones logarítmicas generales pueden escribirse en términos del logaritmo natural. Supongamos que y=logax.y=logax. Entonces, x=ay.x=ay. Al tomar el logaritmo natural de ambos lados de esta segunda ecuación, obtenemos

lnx=ln(ay)lnx=ylnay=lnxlnalogax=lnxlna.lnx=ln(ay)lnx=ylnay=lnxlnalogax=lnxlna.

Así, vemos que todas las funciones logarítmicas son múltiplos constantes unas de otras. A continuación, utilizamos esta fórmula para encontrar una fórmula de diferenciación para un logaritmo con base a.a. De nuevo, supongamos y=logax.y=logax. Entonces,

dydx=ddx(logax)=ddx(lnxlna)=(1lna)ddx(lnx)=1lna.1x=1xlna.dydx=ddx(logax)=ddx(lnxlna)=(1lna)ddx(lnx)=1lna.1x=1xlna.

Teorema

6.21

Derivadas de funciones logarítmicas generales

Supongamos que a>0.a>0. Entonces,

ddxlogax=1xlna.ddxlogax=1xlna.

Ejemplo

6.40

Cálculo de las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas generales

Evalúe las siguientes derivadas:

ddt(4t.2 t2 )ddt(4t.2 t2 ) grandes.
ddxlog8(7×2 +4)ddxlog8(7×2 +4)

Solución

Tenemos que aplicar la regla de la cadena según sea necesario.

ddt(4t.2 t2 )=ddt(2 2 t.2 t2 )=ddt(2 2 t+t2 )=2 2 t+t2 ln(2 )(2 +2 t)ddt(4t.2 t2 )=ddt(2 2 t.2 t2 )=ddt(2 2 t+t2 )=2 2 t+t2 ln(2 )(2 +2 t) grandes.
ddxlog8(7×2 +4)=1(7×2 +4)(ln8)(14x)ddxlog8(7×2 +4)=1(7×2 +4)(ln8)(14x)

Punto de control

6.40

Evalúe las siguientes derivadas:

ddt4t4ddt4t4
ddxlog3(x2 +1)ddxlog3(x2 +1)

Ejemplo

6.41

Integración de funciones exponenciales generales

Evalúe la siguiente integral ∫32 3xdx.∫32 3xdx.

Solución

Utilice la sustitución en u u y supongamos que u=−3x.u=−3x. Entonces du=−3dxdu=−3dx y tenemos

∫ 3 2 3 x d x = ∫ 3 . 2 −3 x d x = − ∫ 2 u d u = − 1 ln 2 2 u + C = − 1 ln 2 2 −3 x + C . ∫ 3 2 3 x d x = ∫ 3 . 2 −3 x d x = − ∫ 2 u d u = − 1 ln 2 2 u + C = − 1 ln 2 2 −3 x + C .

Punto de control

6.41

Evalúe la siguiente integral ∫x2 2 x3dx.∫x2 2 x3dx.

Sección 6.7 ejercicios

Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada dydx.dydx.

295

y=ln(2 x)y=ln(2 x) grandes.

296

y=ln(2 x+1)y=ln(2 x+1) grandes.

297

y = 1 ln x y = 1 ln x

En los siguientes ejercicios, halle la integral indefinida.

298

∫ d t 3 t ∫ d t 3 t

299

∫ d x 1 + x ∫ d x 1 + x

Para los siguientes ejercicios, calcule la derivada dy/dx.dy/dx. (Puede utilizar una calculadora para trazar la función y la derivada para confirmar que es correcta).

300

[T] y=ln(x)xy=ln(x)x

301

[T] y=xln(x)y=xln(x) grandes.

302

[T] y=log10xy=log10x

303

[T] y=ln(senx)y=ln(senx) grandes.

304

[T] y=ln(lnx)y=ln(lnx)

305

[T] y=7ln(4x)y=7ln(4x) grandes.

306

[T] y=ln((4x)7)y=ln((4x)7)

307

[T] y=ln(tanx)y=ln(tanx) grandes.

308

[T] y=ln(tan(3x))y=ln(tan(3x))

309

[T] y=ln(cos2 x)y=ln(cos2 x) grandes.

En los siguientes ejercicios, halle la integral definida o indefinida.

310

∫ 0 1 d x 3 + x ∫ 0 1 d x 3 + x

311

∫ 0 1 d t 3 + 2 t ∫ 0 1 d t 3 + 2 t

312

∫ 0 2 x d x x 2 + 1 ∫ 0 2 x d x x 2 + 1

313

∫ 0 2 x 3 d x x 2 + 1 ∫ 0 2 x 3 d x x 2 + 1

314

∫ 2 e d x x ln x ∫ 2 e d x x ln x

315

∫ 2 e d x x ( ln x ) 2 ∫ 2 e d x x ( ln x ) 2

316

∫ cos x d x sen x ∫ cos x d x sen x

317

∫ 0 π / 4 tan x d x ∫ 0 π / 4 tan x d x

318

∫ cot ( 3 x ) d x ∫ cot ( 3 x ) d x

319

∫ ( ln x ) 2 d x x ∫ ( ln x ) 2 d x x

En los siguientes ejercicios, calcule dy/dxdy/dx diferenciando lny.lny.

320

y = x 2 + 1 y = x 2 + 1

321

y = x 2 + 1 x 2 – 1 y = x 2 + 1 x 2 – 1

322

y = e sen x y = e sen x

323

y = x −1 / x y = x −1 / x

324

y=e(ex)y=e(ex) grandes.

325

y = x e y = x e

326

y=x(ex)y=x(ex) grandes.

327

y = x x 3 x 6 y = x x 3 x 6

328

y = x −1 / ln x y = x −1 / ln x

329

y = e − ln x y = e − ln x

En los siguientes ejercicios, evalúe mediante cualquier método.

330

∫ 5 10 d t t − ∫ 5 x 10 x d t t ∫ 5 10 d t t − ∫ 5 x 10 x d t t

331

∫ 1 e π d x x + ∫ −2 −1 d x x ∫ 1 e π d x x + ∫ −2 −1 d x x

332

d d x ∫ x 1 d t t d d x ∫ x 1 d t t

333

d d x ∫ x x 2 d t t d d x ∫ x x 2 d t t

334

d d x ln ( sec x + tan x ) d d x ln ( sec x + tan x )

En los siguientes ejercicios, utilice la función lnx.lnx. Si no puede encontrar los puntos de intersección de forma analítica, utilice una calculadora.

335

Halle el área de la región encerrada por x=1x=1 y y=5y=5 arriba y=lnx.y=lnx.

336

[T] Calcule la longitud de arco de lnxlnx de x=1x=1 a x=2 .x=2 .

337

Halle el área entre lnxlnx y el eje x de x=1parax=2 .x=1parax=2 .

338

Calcule el volumen de la forma que se crea al girar esta curva desde x=1parax=2 x=1parax=2 alrededor del eje x, como se muestra aquí.

339

[T] Halle el área superficial de la forma que se crea al girar la curva del ejercicio anterior a partir de x=1x=1 a x=2 x=2 alrededor del eje x.

Si no puede hallar los puntos de intersección analíticamente en los siguientes ejercicios, utilice una calculadora.

340

Halle el área del cuarto de círculo hiperbólico delimitado por x=2 yy=2 x=2 yy=2 arriba y=1/x.y=1/x.

341

[T] Calcule la longitud de arco de y=1/xy=1/x de x=1parax=4.x=1parax=4.

342

Halle el área bajo y=1/xy=1/x y por encima del eje x de x=1parax=4.x=1parax=4.

En los siguientes ejercicios, compruebe las derivadas y antiderivadas.

343

d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2 d d x ln ( x + x 2 + 1 ) = 1 1 + x 2

344

ddxln(x–ax+a)=2 a(x2 −a2 )ddxln(x–ax+a)=2 a(x2 −a2 ) grandes.

345

d d x ln ( 1 + 1 − x 2 x ) = − 1 x 1 − x 2 d d x ln ( 1 + 1 − x 2 x ) = − 1 x 1 − x 2

346

d d x ln ( x + x 2 − a 2 ) = 1 x 2 − a 2 d d x ln ( x + x 2 − a 2 ) = 1 x 2 − a 2

347

∫ d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C ∫ d x x ln ( x ) ln ( ln x ) = ln ( ln ( ln x ) ) + C

Derivada del logaritmo natural

Derivada de un logaritmo de cualquier base

Ejercicios resueltos

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Ejemplos de derivada de logaritmo

Objetivos de aprendizaje

El logaritmo natural como integral

Definición

Propiedades del logaritmo natural

Teorema 6.15

Derivada del logaritmo natural

Teorema 6.16

Corolario de la derivada del logaritmo natural

Ejemplo 6.35

Cálculo de las derivadas de los logaritmos naturales

Solución

Punto de control 6.35

Teorema 6.17

Integral de (1/u) du

Ejemplo 6.36

Cálculo de integrales que implica logaritmos naturales

Solución

Punto de control 6.36

Teorema 6.18

Propiedades del logaritmo natural

Prueba

Ejemplo 6.37

Uso de las propiedades de los logaritmos

Solución

Punto de control 6.37

Definición del número e

Definición

La función exponencial

Definición

Propiedades de la función exponencial

Teorema 6.19

Propiedades de la función exponencial

Prueba

Ejemplo 6.38

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Solución

Punto de control 6.38

Ejemplo 6.39

Uso de las propiedades de las funciones exponenciales

Solución

Punto de control 6.39

Funciones logarítmicas y exponenciales generales

Definición

Teorema 6.20

Derivadas e integrales con funciones exponenciales generales

Teorema 6.21

Derivadas de funciones logarítmicas generales

Ejemplo 6.40

Cálculo de las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas generales

Solución

Punto de control 6.40

Ejemplo 6.41

Integración de funciones exponenciales generales

Solución

Punto de control 6.41

Sección 6.7 ejercicios

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