Derivada ln - DP AG

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Recordemos que definimos a la función logaritmo $log_a (x)$ como la función inversa del exponente $a^x$ . Por lo tanto, se cumple la relación

$displaystyle log_a left( a^x right) = x$

El número $a > 0$ se conoce como base del exponente. Para más información, consulta nuestra página sobre los logaritmos.

Derivada del logaritmo natural

READ Palabras que terminen con mer

Si la base del logaritmo es el número de Euler, $e$ , entonces se logaritmo se conoce como logaritmo natural (o logaritmo neperiano). En este caso lo denotamos

$displaystyle log_e x = ln x$

Si $f(x) = ln (u(x))$ , entonces la derivada del logaritmo natural es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ ln u(x) right] = frac{u'}{u}$

donde ya estamos tomando en cuenta la regla de la cadena.

En particular, la derivada de $f(x) = ln x$ es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ ln x right] = frac{1}{x}$

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Vamos

Derivada de un logaritmo de cualquier base

Sabemos que el logaritmo cumple con la siguiente propiedad:

$displaystyle log_a x = frac{ln x}{ln a}$

Por lo tanto, si derivamos la expresión anterior, tenemos:

$displaystyle frac{d}{dx} left[ log_a x right] = frac{d}{dx} left[ frac{ln x}{ln a} right] = frac{1}{ln a} frac{d}{dx} left[ ln x right] = frac{1}{ln a} frac{1}{x}$

Así, la derivada del logaritmo base $a$ es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ log_a x right] = frac{1}{x ln a}$

Si tomamos en cuenta la regla de la cadena, entonces la derivada es

READ Onza animal

$displaystyle frac{d}{dx} left[ log_a u(x) right] = frac{u'}{u ln a}$

Nota: en muchos casos es preferible aplicar algunas propiedades de los logaritmos antes de derivar. Por ejemplo, si tenemos

$displaystyle f(x) = ln left( frac{x + 4}{2x - 2} right)$

Entonces utilizamos la propiedad $ln(a/b) = ln a - ln b$ para obtener:

$displaystyle f(x) = ln ( x + 4 ) - ln ( 2x - 2)$

con lo que nos evitaríamos hacer la regla del cociente para las derivadas.

Ejercicios resueltos

1 Calcula la derivada de $f(x) = ln left((x - 2)^9 right)$

Observemos que tenemos una potencia. Aunque es sencillo derivar $(x - 2)^9$ , también podemos utilizar la siguiente propiedad de los logaritmos:

$displaystyle ln (a^b) = bln a$

con lo que la función se puede escribir como

$displaystyle f(x) = 9ln(x - 2)$

Entonces podemos derivar una expresión un poco más sencilla. Primero utilizamos la linealidad de la derivada (sacamos la constante):

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ 9ln(x - 2) right] = 9frac{d}{dx} left[ ln(x - 2) right]$

ahora derivamos (con regla de la cadena donde $u = x - 2$ ):

$displaystyle f'(x) = 9frac{tfrac{d}{dx}[x - 2]}{x - 2}$

La derivada de $x - 2$ es 1, por lo que tenemos

$displaystyle f'(x) = 9frac{1}{x - 2} = frac{9}{x - 2}$

la cual es la derivada que buscábamos.

2 Calcula la derivada de

$displaystyle f(x) = ln left( frac{x^2 - 2}{x + 3} right)$

Antes de derivar, utilicemos la siguiente propiedad del logaritmo

$displaystyle ln (a/b) = ln a - ln b$

Por lo que la función se escribe como

$displaystyle f(x) = ln (x^2 - 2) - ln(x + 3)$

Ahora derivamos:

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ ln (x^2 - 2) - ln(x + 3) right]$

Utilizamos la linealidad de las derivadas:

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ ln(x^2 - 2) right] - frac{d}{dx} left[ ln(x + 3) right]$

Y ahora derivamos cada expresión:

$displaystyle f'(x) = frac{tfrac{d}{dx}[x^2 - 2]}{x^2 - 2} - frac{tfrac{d}{dx}[x + 3]}{x + 3}$

Luego, tenemos que $tfrac{d}{dx}[x^2 - 2] = 2x$ y $tfrac{d}{dx}[x + 3] = 1$ , son lo que tenemos

$displaystyle f'(x) = frac{2x}{x^2 - 2} - frac{1}{x + 3}$

que es la derivada que buscamos.

3 Calcula la derivada de

$displaystyle f(x) = log_{10} (x^2 + 4x + 1)$

Recordemos que la derivada de un logaritmo con base diferente de $e$ es ligeramente diferente. Por lo tanto,

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ log_{10} (x^2 + 4x + 1) right] = frac{tfrac{d}{dx}[x^2 + 4x + 1]}{(x^2 + 4x + 1)ln 10}$

Además, tenemos que $tfrac{d}{dx}[x^2 + 4x + 1] = 2x + 4$ . Por lo que la derivada es

$displaystyle f'(x) = frac{2x + 4}{(x^2 + 4x + 1)ln 10}$

4 Calcula la derivada de

$displaystyle f(x) = log_2 left( sqrt[3]{frac{5x^2 + 2}{cos x}} right)$

Para encontrar esta derivada, primero vale la pena utilizas propiedades de los logaritmos. En primer lugar

READ Para que sirve el algodon con alcohol en el ombligo

$displaystyle log (a^b) = blog a$

como $sqrt[3]{a} = a^{1/3}$ , entonces la función se puede escribir como

$displaystyle f(x) = frac{1}{3}log_2 left( frac{5x^2 + 2}{cos x} right)$

Ahora, utilizamos la propiedad $log (a/b) = log a - log b$ , para escribir la función como

$displaystyle f(x) = frac{1}{3} (log_2 (5x^2 + 2) - log_2(cos x))$

Ya podemos derivar la función:

$displaystyle f'(x) = frac{d}{dx} left[ frac{1}{3} (log_2 (5x^2 + 2) - log_2(cos x)) right]$

Utilizamos la linealidad de la derivada:

$displaystyle f'(x) = frac{1}{3}left(frac{d}{dx} left[ log_2 (5x^2 + 2) right] - frac{d}{dx} left[ log_2(cos x) right] right)$

Ahora sí derivamos cada expresión:

$displaystyle f'(x) = frac{1}{3}left(frac{tfrac{d}{dx}[5x^2 + 2]}{(5x^2 + 2)ln 2} - frac{frac{d}{dx}[cos x]}{cos x ln 2} right)$

Luego, tenemos que $tfrac{d}{dx}[5x^2 + 2] = 10 x$ y $tfrac{d}{dx}[cos x] = -sin x$ . Sustituyendo, tenemos

$displaystyle f'(x) = frac{1}{3}left(frac{10 x}{(5x^2 + 2)ln 2} + frac{sin x}{cos x ln 2} right)$

que es la derivada que buscábamos.

5 Utilizando derivación implícita y el hecho de que

$displaystyle frac{d}{dx} left[ e^x right] = e^x$

demuestra que

$displaystyle frac{d}{dx} left[ ln x right] = frac{1}{x}$

Empezamos con nuestra función $f(x) = ln x$ . Deseamos mostrar que

$displaystyle f'(x) = frac{1}{x}$

Para esto, aplicamos la función exponencial a ambos lados:

$displaystyle e^{f(x)} = e^{ln x} = x, qquad cdots (1)$

Ahora, usamos derivación implícita en esta expresión

$displaystyle frac{d}{dx} left[ e^{f(x)} right] = frac{d}{dx} left[ x right]$

El lado derecho es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ x right] = 1$

Mientras que el lado izquierdo es

$displaystyle frac{d}{dx} left[ e^{f(x)} right] = e^{f(x)} cdot f'(x)$

Por lo tanto, tenemos

$displaystyle e^{f(x)} f'(x) = 1$

Si dividimos ambos lados por $e^{f(x)}$ , tenemos

$displaystyle f'(x) = frac{1}{e^{f(x)}}$

Sin embargo, teníamos que $e^{f(x)} = x$ en (1), por lo que

$displaystyle f'(x) = frac{1}{x}$

que era justo lo que queríamos demostrar.

Derivada del logaritmo natural

Derivada de un logaritmo de cualquier base

Ejercicios resueltos

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