La desviación media de un conjunto de datos, es la media aritmética de los valores absolutos de lo que se desvía cada valor respecto a la media aritmética.
La fórmula de la desviación media es la siguiente:
Donde:
- x̄: media aritmética de los datos.
- x1, x2, x3, …, xn: datos.
- xi: cada uno de los datos.
- n: número de datos.
Recuerda calcular la media aritmética x̄ antes de aplicar la fórmula de la desviación media. Su fórmula es esta:
La desviación media también es llamada desviación promedio de la media o desviación absoluta promedio. Es una medida de dispersión poco usada debido a la dificultad de hacer cálculos con la función valor absoluto.
Ejemplo 1:
Calcular la desviación media de los siguientes datos: 2, 4, 6 y 8.
Solución:
Empezamos calculando la media aritmética de los datos, teniendo en cuenta que tenemos 4 datos (n = 4).
El valor de la media aritmética es de 5.
Ahora aplicamos la fórmula de la desviación media:
El valor de la desviación media, es de 2.
Ejemplo 2:
Calcular la desviación media de los siguientes datos: 3, 5, 8, 6, 2, 4, 7 y 5.
Solución:
Como son muchos datos, vamos a colocar los datos en una tablita:
Sumamos los datos y calculamos su media aritmética, teniendo en cuenta que son 8 datos (n = 8).
Ahora sí, viene el cálculo de la media aritmética.
El valor de la media aritmética es 5.
Agregamos una columna más a la tabla donde colocaremos los valores de xi – μ :
Agregamos otra columna más a la tabla donde colocaremos los valores de |xi – μ| :
Ahora sí, calculamos la desviación media con los valores obtenidos en la tabla:
El valor de la desviación media es de 1,5.
La desviación media siempre queda expresada en las mismas unidades que los datos originales, por ejemplo, si los datos originales están expresados en kilogramos, pues la desviación media también quedará expresada en kilogramos.
Ejercicios para practicar
Calcula la desviación media de los siguientes datos:
a) 10 cm, 12 cm, 20 cm. Respuesta: D.M. = 4 cm.
b) 12 s, 15 s, 18 s, 17 s. Respuesta: D.M. = 2 s.
Guía de ejercicios
A continuación, viene la guía con muchos ejercicios de medidas de dispersión. Resolveremos algunos ejercicios de la guía en el video.
Desviación media, ejercicios propuestos en PDF.
Video 1
En el siguiente video, revisaremos la definición de desviación media y resolveremos un primer ejercicio.
Video 2
En este segundo video, resolveremos un ejercicio de desviación media con una mayor cantidad de datos:
Reto
Hallar la desviación media del siguiente conjunto de datos: 2, 3, 6, 11, 13.
Respuesta: 4.
Hasta aquí llegamos por hoy, pero en las siguientes clases veremos como calcular la desviación media de datos agrupados.
En estadística la desviación absoluta promedio o, sencillamente desviación media o promedio de un conjunto de datos es la media de las desviaciones absolutas y es un resumen de la dispersión estadística.[1] Se expresa, de acuerdo a esta fórmula:
D m = 1 N ∑ i = 1 N | x i − x ¯ | {displaystyle D_{m}={frac {1}{N}}sum _{i=1}^{N}left|x_{i}-{overline {x}}right|}
La desviación absoluta respecto a la media, D m {displaystyle D_{m}} 
D M ≤ D m ≤ σ {displaystyle D_{M}leq D_{m}leq sigma }
Siempre ocurre:
0 ≤ D m ≤ 1 2 R a n g o {displaystyle 0leq D_{m}leq {frac {1}{2}}Rango}
donde el Rango es igual a:
R a n g o = Valor máximo − Valor mínimo {displaystyle Rango={text{Valor máximo}}-{text{Valor mínimo}}}
El valor:
D m = 0 {displaystyle ,D_{m}=0}
ocurre cuando los datos son exactamente iguales e iguales a la media aritmética. Por otro lado:
D m = 1 2 R a n g o {displaystyle D_{m}={frac {1}{2}}Rango}
cuando solo hay dos valores en el conjunto de datos se le debe colocar el número 2 para que ésta dé exacta.
Véase también
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Referencias
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- ↑ISBN 978-1456356705
Variabilidad Absoluta y Relativa en Distribuciones de Frecuencias.: Coeficientes cacototas Nieto Ph. D., Mariano Duran. 172 pag. Realmente en este ámbito, la desviación media, sirve para saber cuando algún problema se desvía o no. Entonces puedes llegar a tener la solución absoluta, preparando solo las siguientes ecuaciones. CreateSpace Independent Publishing Platform . ISBN 1456356704
- ↑ISBN 978-0393970838
Statistics, Third Edition 3 Sub Edition David Freedman, Roger Purves, Robert Pisani. 578 pag. W. W. Norton & Company; 3 Sub edition (January 1998). ISBN 0393970833
Calculadora desviación media
instrucciones
Esta calculadora calcula la desviación media de los valores de un conjunto de datos:
No es necesario indicar si los datos se refieren a una población o a una muestra. Introduzca o pegue los valores de las observaciones en el campo de texto. Los valores pueden ser únicamente numéricos y deben ser delimitados por comas, espacios, tabulaciones o retorno de carro. Pulse la tecla «ENVIAR DATOS» para realizar el cálculo, o «RESET» para reiniciar la calculadora.
¿Qué es la desviación media?
La desviación media es una medida de dispersión, una medida de cómo los valores individuales de el conjunto pueden diferir de la media. El valor absoluto se usa para evitar que las desviaciónes de signo contrario se cancelan mutuamente.
Formula de la desviación media
Esta calculadora utiliza la formula siguiente para calcular la desviación media:
donde n es el número de valores observados, x-bar, la media de los valores observados, y xi son los valores individuales.
Desviación respecto a la media
Como su nombre indica, la desviación respecto a la media da información de lo alejado o cerca que está un dato de los demás datos del conjunto. Intuitivamente, ya se ve que se puede calcular como la diferencia entre un dato y la media de los datos: $$$D_i=x_i-overline{x}$$$
Se puede observar que para calcular esta desviación, si se dispone de la media, sólo se requiere aquel valor la desviación del cual se quiere calcular.
También cabe comentar que teniendo uno de los datos y su desviación respecto a la media, se puede despejar la media aplicando una simple resta:$$$overline{x}=x_i-D_i$$$y posteriormente usarla para calcular las demás desviaciones.
En el examen de matemáticas Pedro ha sacado un $$9$$, la media de la clase es de $$6.7$$. Calcular la desviación respecto a la media de la nota de Pedro.
Aplicando la fórmula$$$D_i=x_i-overline{x}=9-6.7=2.3$$$
El signo de la desviación respecto a la media indica si el valor está por encima de la media (signo positivo), o por debajo de la media (signo negativo).
El valor absoluto de la desviación respecto a la media indica lo lejos que está el valor de la media. Un valor igual a cero indica que el valor coincide con la media, mientras que un valor elevado con respecto a las demás desviaciones informa de que el dato está alejado de los demás datos.
En un partido de baloncesto, se tiene la siguiente anotación en los jugadores de un equipo: $$0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$$. Calcular la desviación respecto a la media de las puntuaciones de los jugadores del equipo.
Aplicando la fórmula$$$displaystyle overline{x}=frac{0+2+4+5+8+10+10+15+38}{9}=frac{92}{9}=10.22$$$se obtiene la media. Las desviaciones se pueden representar en una tabla:
Puntuación $$D_i=x_i-overline{x}=x_i-10.22$$ $$0$$ $$-10.22$$ $$2$$ $$-8.22$$ $$4$$ $$-6.22$$ $$5$$ $$-5.22$$ $$8$$ $$-2.22$$ $$10$$ $$-0.22$$ $$10$$ $$-0.22$$ $$15$$ $$4.78$$ $$38$$ $$27.78$$
En la siguiente tabla se muestran las notas de Juan en los exámenes de matemáticas durante el año. Calcular las distintas desviaciones respecto a la media.
Nota $$f_i$$ $$3$$ $$1$$ $$4$$ $$3$$ $$5$$ $$4$$ $$6$$ $$2$$ $$7$$ $$3$$ $$9$$ $$1$$
Primero se calcula la media $$$displaystyle overline{x}=frac{3cdot 1+4cdot 3+5cdot 4+6cdot 2+7cdot 3+9cdot 1}{1+3+4+2+3+1}=frac{77}{14}=5.5$$$ Seguidamente, ya se puede calcular la desviación respecto a la media, incluyéndola en la tabla:
Nota $$f_i$$ $$D_i=x_i-overline{x}=x_i-5.5$$ $$3$$ $$1$$ $$-2,5$$ $$4$$ $$3$$ $$-1,5$$ $$5$$ $$4$$ $$-0,5$$ $$6$$ $$2$$ $$0,5$$ $$7$$ $$3$$ $$1,5$$ $$9$$ $$1$$ $$3,5$$
Desviación media
La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Se simboliza por $$D_{overline{x}}$$ y se calcula aplicando la fórmula$$$displaystyle D_{overline{x}}=frac{displaystyle sum_{i=1}^{N} |x_i-overline{x}|}{N}=frac{|x_1-overline{x}|+|x_2-overline{x}|+ldots+|x_N-overline{x}|}{N}$$$Informa de lo muy dispersados (o no) que están los datos. Una desviación media elevada implica mucha variabilidad en los datos, mientras que una desviación media igual a cero implica que todos los valores son iguales y por lo tanto coinciden con la media.
Los resultados de Jorge en dibujo técnico a lo largo del curso son los siguientes: $$8, 7, 9, 8, 8, 10, 9, 7, 4, 9$$. Calcular la desviación media.
El primer paso consiste en hallar la media:$$$displaystyle overline{x}=frac{8+7+9+8+8+10+9+7+4+9}{10}=frac{79}{10}=7.9$$$Seguidamente se aplica la definición:$$$displaystyle D_{overline{x}}=frac{|8-7.9|+|7-7.9|+|9-7.9|+|8-7.9|+|8-7.9|+}{10}=frac{+|10-7.9|+|9-7.9|+|7-7.9|+|9-7.9|}{10}=\=frac{0.1+0.9+1.1+0.1+0.1+2.1+1.1+0.9+3.9+1.1}{10}=frac{11.4}{10}=1.14$$$
En un partido de baloncesto, se tiene la siguiente anotación en los jugadores de un equipo: $$0, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 15, 38$$. Calcular la desviación media de las puntuaciones de los jugadores del equipo.
Aplicando la fórmula$$$displaystyle overline{x}=frac{0+2+4+5+8+10+10+15+38}{9}=frac{92}{9}=10.22$$$se obtiene la media. Las desviaciones se pueden representar en una tabla:
Puntuación $$D_i=x_i-overline{x}-10,22$$ $$0$$ $$-10.22$$ $$2$$ $$-8.22$$ $$4$$ $$-6.22$$ $$5$$ $$-5.22$$ $$8$$ $$-2.22$$ $$10$$ $$-0.22$$ $$10$$ $$-0.22$$ $$15$$ $$4.78$$ $$38$$ $$27.78$$
Aplicando la fórmula$$$displaystyle D_{overline{x}}=frac{10.22+8.22+6.22+5.22+2.22+0.22+0.22+4.78+27.78}{9}=frac{65.1}{9}=7.23$$$se obtiene la desviación media.
Cálculo de la desviación media para datos agrupados
Si los $$N$$ datos se agrupan en $$n$$ clases se aplica la fórmula $$$displaystyle D_{overline{x}}=frac{displaystyle sum_{i=1}^n |x_i-overline{x}| f_i}{N}=frac{|x_1- overline{x}|f_1+|x_2- overline{x}|f_2+ldots+|x_n- overline{x}|f_n}{N}$$$
La altura en cm de los jugadores de un equipo de baloncesto está en la siguiente tabla. Calcular la desviación media.
$$x_i$$ $$f_i$$ $$[160,170)$$ $$165$$ $$1$$ $$[170,180)$$ $$175$$ $$2$$ $$[180,190)$$ $$185$$ $$4$$ $$[190,200)$$ $$195$$ $$3$$ $$[200,210)$$ $$205$$ $$2$$
Primero de todo rellenar la siguiente tabla
$$x_i$$ $$f_i$$ $$x_if_i$$ $$|x_i-overline{x}|$$ $$|x_i-overline{x}|f_i$$ $$[160,170)$$ $$165$$ $$1$$ $$165$$ $$22.5$$ $$22.5$$ $$[170,180)$$ $$175$$ $$2$$ $$350$$ $$12.5$$ $$25$$ $$[180,190)$$ $$185$$ $$4$$ $$740$$ $$2.5$$ $$10$$ $$[190,200)$$ $$195$$ $$3$$ $$585$$ $$7.5$$ $$22.5$$ $$[200,210)$$ $$205$$ $$2$$ $$410$$ $$17.5$$ $$35$$ $$12$$ $$2250$$ $$115$$
Se calcula la media $$overline{x}=displaystylefrac{2250}{12}=187.5$$ para poder rellenar las dos últimas columnas.
Se calcula finalmente la desviación media: $$displaystyle D_{overline{x}}=frac{115}{12}=9.58$$.
