Un rombo es un paralelogramo con cuatro lados de la misma longitud, dos ángulos agudos (menores de 
) iguales y otro par de ángulos obtusos (mayores de ) también iguales.
Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y además son bisectrices de sus ángulos.
Área de un rombo
El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales, es decir
![[ A = frac{Dcdot d}{2} ]](https://i0.wp.com/www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bc4de9297bcdf87797292ef11400dc79_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
donde 
diagonal mayor y 
diagonal menor.
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Perímetro de un rombo
El perímetro de un rombo es la suma de sus cuatro lados, y como sus lados son iguales
![[ P = 4l ]](https://i0.wp.com/www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dbeb99dd0ba3fe355717b7feff3de17d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
donde 
longitud de un lado del rombo.
Ejemplos de ejercicios con rombos
1 Hallar el área y el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 
y 
, y su lado mide 
.
Tenemos todos los datos para calcular directamente área y perímetro, 
, 
y 
,
2 Calcular el lado de un rombo sabiendo que la diagonales miden 30 y 16 cm.
Notemos que es la hipotenusa de uno de los triángulos formados al dividir el rombo con sus diagonales
por lo tanto, utilizando el teorema de Pitágoras
3 Conociendo que el área de un rombo es de 
y que su diagonal mayor es de 
. Calcular su diagonal menor y su perímetro.
Sabemos que el área de un rombo esta dada por la fórmula
donde estan involucradas el área, la diagonal mayor y la diagonal menor del rombo, puesto que ya tenemos dos de esos elementos solo nos falta despejar y sustituir para encontrar el valor de la diagonal menor
![[ d = frac{2A}{D} = frac{2(25)}{10} = 5.]](https://i0.wp.com/www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3180168e036af042bc2fde2846c7126c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Para calcular el perímetro del rombo necesitamos encontrar primeramente la longitud 
del lado, igual que en el ejercicio anterior nos fijamos en el triangulo rectángulo formado al trazar las diagonales del rombo y utilizamos el teorema de Pitágoras
Por tanto,
![[ P = 4left(frac{5sqrt{5}}{2}right) = 10 sqrt{5}.]](https://i0.wp.com/www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ae585feb3a40c4ca83df269f1faea0b8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
3 ¿Cuál es el área de un rombo cuya diagonal mayor es de 
y la menor es la mitad de esta?
Tenemos que la diagonal mayor es 
y la diagonal menor es la mitad de esta 
, entonces
![[ A = frac{Dcdot d}{2} = frac{8cdot 4}{2} = 16 .]](https://i0.wp.com/www.superprof.es/apuntes/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56e7de3df12cd75354bb779f5f987622_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ANUNCIOS
Existe una fórmula que relaciona las diagonales de un rombo y uno de sus lados (a). El rombo tiene dos diagonales (D y d) perpendiculares y que se cortan en el centro del rombo. D es la diagonal mayor y d la diagonal menor. La relación es la siguiente:
Esta fórmula se obtiene directamente de la llamada ley del paralelogramo.
También podría obtenerse también a partir del teorema de Pitágoras, ya que la mitad de cada una de las diagonales (D/2 y d/2) y uno de sus lados forman un triángulo rectángulo.
Ejercicio
ANUNCIOS
Sea un rombo donde son conocidos sus lados (a) y su diagonal mayor (D). Sus lados miden a=6 cm y la diagonal mayor D=10 cm. ¿Cuál es su diagonal menor (d)?
Se aísla d en la fórmula que relaciona las diagonales y los lados de la siguiente forma para obtener la diagonal menor directamente.
Y posteriormente se sustituyen los valores de la diagonal mayor D y un lado a:
Obteniendo que la diagonal menor del rombo es d=6,63 cm.
Las diagonales de un rombo tienen 33 3 propiedades que debemos recordar.
Las diagonales de un rombo se cruzan. (no sólo se cruzan, sino que lo hacen justo en el punto medio de cada una).
Cuando ABCDABCD ABCD rombo
entonces:
AE=CEAE=CEAE=CE
DE=BE DE=BE DE=BE
Las diagonales de un rombo son perpendiculares, forman un ángulo de 90o 90^o 90o grados.
Cuando ABCDABCD ABCD rombo
entonces:
∢AED=∢AEB=∢DEC=∢CEB=90o ∢AED=∢AEB=∢DEC=∢CEB=90^o ∢AED=∢AEB=∢DEC=∢CEB=90o
Las diagonales de un rombo cruzan los ángulos del rombo.
Cuando ABCDABCD ABCD rombo
entonces:
∢A1=∢A2∢A1=∢A2∢A1=∢A2
∢B1=∢B2 ∢B1=∢B2 ∢B1=∢B2
∢C1=∢C2 ∢C1=∢C2 ∢C1=∢C2
∢D1=∢D2 ∢D1=∢D2 ∢D1=∢D2
Observa:
Estas tres declamaciones son propiedades de las diagonales de un rombo que, en caso de que tuvieras un rombo frente a ti, no deberías demostrarlas, sino, simplemente, utilizarlas.
De todos modos, para que entiendas bien la lógica que las respalda, demostraremos las propiedades a continuación.
Veamos el siguiente ejemplo:
Dato: ABCDABCD ABCD rombo
Hay que demostrar:
Las diagonales de un rombo se intersecan y también cruzan los ángulos del rombo.
Solución:
Se puede alegar que AB∥DCAB∥DCAB∥DC y AD∥DCAD∥DCAD∥DC por lo tanto, el rombo también es un paralelogramo.
Una de las propiedades del paralelogramo es que sus diagonales se intersecan.
Entonces, ya demostramos la primera propiedad.
Ahora podremos demostrar que todos los triángulos creados a partir de lasdiagonales son congruentes.
Todos están formados por lados compartidos y por lados iguales del rombo.
Veámoslo claramente en la ilustración:
Cada triángulo, compuesto por un lado azul, otro verde y otro rosa, los triángulos son congruentes según el LLL.
Por lo tanto, todos los ángulos correspondientes son iguales.
Los 2 2 2 ángulos correspondientes también son adyacentes.
Para que los ángulos sean correspondientes y también iguales deberán ser rectos. Por consiguiente, las diagonales también son perpendiculares – La segunda propiedad.
Además, según la congruencia, podremos alegar que todos los ángulos que son cruzados por las diagonales son equivalentes entre sí y, por eso, determinaremos que las diagonales de un rombo también cortan los ángulos – la tercera propiedad.
Rememoremos, esta demostración es sólo para que podamos entenderlo más profundamente. No deberás demostrar estas tres propiedades de las diagonales.
Ahora pasemos a las propiedades de las diagonales de un rombo que sí deberemos demostrar para poder utilizarlas:
- Las diagonales de un rombo forman cuatro triángulos congruentes.
- Las diagonales de un rombo crean ángulos alternos iguales.
Nota que hemos demostrado estas declamaciones en el ejemplo.
Información útil:
¡Podemos deducir el área del rombo en base a sus diagonales!
Multiplicaremos las diagonales, dividiremos por 2 2 2 y obtendremos el área del rombo.
Veámoslo en la fórmula:
producto lasdiagonales2=aˊrea rombofrac{producto~las diagonales}{2}=área~rombo2producto lasdiagonales=aˊrea rombo
Por ejemplo:
Dado un rombo ABCD ABCD ABCD
AC=4 AC=4 AC=4
y el área del rombo equivale a 404040
Hay que hallar:
la longitud de la diagonal DBDBDB
Solución:
Coloquemos en la fórmula
cuando DB=XDB=XDB=X
X⋅42=40frac{Xcdot4}{2}=402X⋅4=40
Multipliquemos en cruzado y nos dará:
X⋅4=80 Xcdot4=80 X⋅4=80
X=20X=20X=20
Por lo tanto, la diagonal DBDBDB mide 202020.
Observa ¡que no se te escape!
Podrías toparte alguna vez con que te pregunten si las diagonales de un rombo tienen la misma longitud.
La respuesta es no.
Las longitudes de las diagonales de un rombo no son iguales.
¡Genial! Ahora ha sabes totalmente todo acerca de las diagonales de un rombo y podrás utilizar alguna de sus propiedades cuando te venga bien.
Rombo
Es un cuadrilátero que pertenece a los polígonos irregulares, ya que aunque tiene sus lados iguales, sus ángulos son diferentes(Ver vídeo).
Sus lados opuestos son paralelos dos a dos (paralelogramo). Ver vídeo
Sus ángulos contiguos son desiguales, uno obtuso y uno agudo.
Estos ángulos son suplementarios (suman 180°)
Tiene dos diagonales, una mayor y una menor, son perpendiculares (forman ángulos de 90°) y se cortan en su punto medio.
Tiene dos ejes de simetría.
En ocasiones se confunde y se piensa que son cuatro. En esta imagen podemos observar que si se refleja la mitad del rombo cortada vertical u horizontalmente, la imagen que resulta no es rombo.
Perímetro del rombo
El perímetro del rombo es igual a la longitud de sus cuatro lados (todo su contorno).
Se puede obtener sumando el valor de un lado cuatro veces (ya que sus lados son iguales), o se puede abreviar multiplicando el valor de su lado por 4.
Área del rombo
«El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales»
