¿Qué es un diagrama de árbol?
Un diagrama de árbol es un tipo de gráfico utilizado en estadística inferencial para representar, visualmente, las posibles consecuencias o resultados de una acción. Se suele usar en el análisis de probabilidades y, por esta razón, también se le conoce como árbol de probabilidad. En este caso, se realizan cálculos porcentuales de la probabilidad de que se obtenga uno u otro resultado.
El concepto de diagrama de árbol también se puede definir como una representación gráfica de un proceso o de un concepto mediante unidades que, relacionadas, constituyen un área de estudio o que juegan un papel en alguna labor.
Se incluye dentro de los tipos de gráficos denominados dendrogramas, los cuales se caracterizan por su apariencia similar a un árbol, y en donde las unidades se ordenan de manera jerárquica. Entre este tipo de gráficos también se puede incluir el cuadro sinóptico, en el cual se establece una jerarquía de conceptos.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.
En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Es importante recordar que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo debe ser siempre 1.
Escoger un comité al azar
Una clase consta de seis niñas y 
niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
3 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
4 Seleccionar tres niñas.
Solución:
Realizaremos el diagrama observando las posibilidades de selección:
-
- Las opciones son niño con probabilidad de
o niña con probabilidad de 
- Las opciones son niño con probabilidad de
-
- En el primer nudo en la selección de niño, las opciones son niño con probabilidad de
o niña con probabilidad de 
y en la selección de niña, las opciones son niño con probabilidad de 
o niña con probabilidad de 
- En el primer nudo en la selección de niño, las opciones son niño con probabilidad de
- El tercer segmento se obtiene de manera análoga al anterior
1 Seleccionar tres niños.
Son sucesos independientes.
2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.
Podemos observar en el diagrama de árbol, que hay 3 ramas que nos brindan el resultado que buscamos, así que debemos sumar las 3 probabilidades.
3 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.
4 Seleccionar tres niñas.
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Diagrama para el lanzamiento de 3 monedas
Calcular la probabilidad de que al arrojar al aire tres monedas, obtengamos 
caras:
Solución:
Construimos el diagrama, basándonos en las opciones y las probabilidades de cada una:
Calculamos la probabilidad basado en el resultado de caras:
Experimentos compuestos
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples.
Es decir, si tiramos un dado, o una moneda, son experimentos aleatorios simples, pero si realizamos el experimento de tirar un dado y posteriormente una moneda, estamos realizando un experimento compuesto.
En los experimentos compuestos es conveniente usar el llamado diagrama en árbol para hacerse una idea global de todos ellos.
Un diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados de un experimento que tiene varios pasos. Nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un evento de una manera muy sencilla.
Aquí tenemos un clásico diagrama de árbol, en el cual graficamos los posibles resultados de un experimento que consiste en lanzar una moneda y un dado.
Para el cálculo de las probabilidades, usaremos un truco, si para calcular cierta probabilidad avanzamos hacia la derecha, entonces multiplicamos. Por otro lado, si para calcular cierta probabilidad avanzamos hacia abajo, entonces sumamos.
Ejercicio 1:
Una moneda tiene en sus caras un gato y un perro. Se se lanza 2 veces la moneda, calcular:
a) la probabilidad de obtener 2 gatos.
b) la probabilidad de obtener solo 1 gato.
Solución:
Vamos a elaborar el diagrama de árbol para este experimento. Calculamos la probabilidad para cada uno de los posibles casos, cuando avanzamos a la derecha, multiplicamos.
a) La probabilidad de obtener 2 gatos, la podemos observar en el gráfico.
b) La probabilidad de obtener solo 1 gato, se calcula sumando 2 probabilidades, ya que hay 2 maneras de obtener solo 1 gato:
– Obtener gato y perro.
– Obtener perro y gato.
Recuerda que cuando avanzamos hacia abajo, entonces sumamos:
Por lo tanto, la probabilidad de obtener 1 solo gato será:
Ejercicio 2:
En una academia hay 3 aulas: el aula roja, el aula azul y el aula negra. El aula roja tiene al 50 % de los estudiantes de la academia, el aula azul al 30 % y el aula negra al 20 %. Además, en cada aula hay un 40 % de hombres. Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante hombre del aula azul?
Solución
Empezamos con nuestro diagrama de árbol a partir de la información del problema.
Ahora calculamos la probabilidad de que si se selecciona un estudiante al azar, este sea un hombre del aula azul.
La probabilidad sería de 0,12 o 12 %.
Guía de ejercicios
A continuación, viene una guía con muchos ejercicios de probabilidades en PDF. Resolveremos algunos problemas del diagrama de árbol en el video
Probabilidades, ejercicios propuestos PDF
Video
Ahora viene el video que hemos preparado con ejercicios que se resuelven mediante el diagrama de árbol.
Reto:
En una academia hay 3 aulas: el aula roja, el aula azul y el aula negra. El aula roja tiene al 50 % de los estudiantes de la academia, el aula azul al 30 % y el aula negra al 20 %. Además, en cada aula hay un 40 % de hombres. Si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante hombre del aula negra o un hombre del aula azul?
Solución:
Vamos a calcular la probabilidad que nos pide el reto. Recuerda que multiplicamos cuando avanzamos hacia la derecha y sumamos cuando avanzamos hacia abajo.
La respuesta sería 0,20 o 20%.
a. B1R1; B1R2; B1R3; B2R1; B2R2; B2R3; B3R1; B3R2; B3R3; B4R1; B4R2; B4R3; B5R1; B5R2; B5R3; B6R1; B6R2; B6R3; B7R1; B7R2; B7R3; B8R1; B8R2; B8R3
b. P(RR) = ( 3 11 )( 3 11 ) ( 3 11 )( 3 11 ) = 9 121 9 121
c. P(RB O BR) = ( 3 11 )( 8 11 ) ( 3 11 )( 8 11 ) + ( 8 11 )( 3 11 ) ( 8 11 )( 3 11 ) = 48 121 48 121
d. P(R en la primera extracción Y B en la segunda) = P(RB) = ( 3 11 )( 8 11 ) ( 3 11 )( 8 11 ) = 24 121 24 121
e. P(R en la segunda extracción DADO B en la primera extracción) = P(R en la segunda extracción|B en la primera extracción) = 24 88 24 88 = 3 11 3 11
Este problema es condicional. El espacio muestral se ha reducido a los resultados que ya tienen azul en la primera extracción. Hay 24 + 64 = 88 resultados posibles (24 BR y 64 BB). Veinticuatro de los 88 resultados posibles son BR. 24 88 24 88 = 3 11 3 11 .
f. P(BB) = 64 121 64 121
g. P(B en la segunda extracción|R en la primera extracción) = 8 11 8 11
Hay 9 + 24 resultados que tienen R en la primera extracción (9 RR y 24 RB). El espacio muestral es entonces 9 + 24 = 33. 24 de los 33 resultados tienen B en la segunda extracción. La probabilidad es entonces 24 33 24 33 .
Supongamos que un estudio sobre infracciones de velocidad y conductores que utilizan teléfonos móviles arroja los siguientes datos ficticios:
Infracción por exceso de velocidad durante el año anteriorNinguna infracción por exceso de velocidad durante el año anteriorTotalUtiliza el teléfono móvil mientras conduce25280305No utiliza el teléfono móvil mientras conduce45405450Total70685755
Tabla
3.2
El número total de personas de la muestra es de 755. Los totales de las filas son 305 y 450. Los totales de las columnas son 70 y 685. Tome en cuenta que 305 + 450 = 755 y 70 + 685 = 755.
Use la tabla para calcular las siguientes probabilidades.
translation missing: es.problem
- Calcule P(el conductor es un usuario de teléfono móvil).
- Calcule P(el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado).
- Calcule P(el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado ∩∩ era usuario de teléfonos móviles).
- Calcule P(el conductor es un usuario de teléfono móvil ∪∪ el conductor no tuvo ninguna infracción durante el año pasado).
- Calcule P(el conductor es un usuario de teléfono móvil || el conductor tuvo una infracción durante el año pasado).
- Calcule P(el conductor no tuvo ninguna infracción el año pasado || el conductor no era usuario de teléfono móvil)
Solución
1
- número de usuarios de teléfonos móviles número total en el estudio = 305 755 número de usuarios de teléfonos móviles número total en el estudio = 305 755
- número que no tenía ninguna infracción número total en el estudio = 685 755 número que no tenía ninguna infracción número total en el estudio = 685 755
- 280 755 280 755
- ( 305 755 + 685 755 ) – 280 755 = 710 755 ( 305 755 + 685 755 ) – 280 755 = 710 755
- 25 70 25 70 (El espacio de la muestra se reduce al número de conductores que tuvieron una infracción).
- 405 450 405 450 (El espacio muestral se reduce al número de conductores que no eran usuarios de teléfonos móviles).
