Se entiende por el eje de ordenadas para la recta vertical, que se representa habitualmente por la letra Y, formando parte de un sistema de coordenadas cartesiano.
El sistema cartesiano, para la representación de puntos o de variables sobre el plano, se utiliza dentro de las nociones básicas de matemáticas. Tiene su origen en el desarrollo de teorías del filósofo y matemático René Descartes.
Aunque puede tener más usos, habitualmente lo vamos a utilizar para la representación de funciones matemáticas, y también para establecer relaciones entre variables.
En el plano, el eje de ordenadas ocuparía la recta horizontal. Aunque se le puede denominar como Y, realmente dependiendo de la función, adquiere nombres o variables diferentes, por lo que es habitual conocer su definición como eje de ordenadas.
Eje de abscisas y ordenadas
Para entender mejor lo que es un eje de ordenadas, hay que situarlo en contexto. Dentro de un plano cartesiano, la composición se basa en dos ejes o rectas. El eje vertical es al que denominamos eje de ordenadas y conocemos como Y. El eje horizontal es al que se denomina eje de abscisas y conocemos como X. El punto donde se encuentran ambos ejes se denomina punto cero y es el origen de los sistemas de coordenadas que se vayan a establecer en el plano cartesiano.
Una forma habitual de utilización es la de adjudicar números que van aumentando valor. Estos números comienzan por igual desde el punto de origen, siendo este cero. A partir del eje se empezaría a contar desde el número uno. Ambos ejes, en este caso, se les conoce como plano real debido a que en conjunto contienen todos los elementos R de números reales.
Otra cuestión a tener en cuenta es que estos números se representan en positivo o negativo. El eje horizontal aumenta su valor hacia la derecha, y los números en esa dirección son positivos, y disminuye su valor hacia la izquierda, y los números hacia esa dirección son negativos.
El eje vertical aumenta su valor hacia arriba, y los números en esa dirección son positivos, y disminuye el valor hacia abajo, y los números en esa dirección son negativos. Esto se representa colocando junto al número el símbolo negativo “-”.
El uso del plano Cartesiano
El eje de abscisas intercepta el eje de ordenadas. A partir esta configuración se genera el plano cartesiano. El plano cartesiano permitió establecer una relación entre la geometría y el álgebra. Esto tiene que ver con la posibilidad de utilizarlo para la geometría analítica, pero también para el empleo de ecuaciones que puedan relacionar ambos ejes y se representen de manera gráfica del propio diagrama.
Lo que se obtiene a través de esto son sistemas de referencia que pueden relacionar ambos ejes con un plano, o con el espacio. Cuando los ejes coinciden en un punto determinado se denomina origen de coordenadas.
De esta manera; se crea un sistema de referencia que relaciona a los dos ejes con un plano; o que es lo mismo a tres ejes con el espacio. Estos coinciden en un determinado punto, el cual se denomina el origen de coordenadas.
Aunque el eje de ordenadas es necesario para la composición del plano cartesiano, el eje de abscisas también es importante. Esto se debe a que en el entorno de un sistema de coordenadas lineal es factible vincular un punto y que sea simbolizado a través de un número real.
Ambos, eje de abscisas y de ordenadas, van a generar un sistema de coordenadas que permite determinar un punto en un plano. Cuando existen tres rectas perpendiculares a todos, se les concede las letras X e Y, y a la tercera se le puede asignar la letra Z. Compartirán un punto de origen cuyo valor es cero. En el ámbito de la geometría, esto puede ser asociado con los elementos de profundidad, anchura y altura.
Cuál es el eje de abscisas y ordenadas
Dentro del plano cartesiano, como ya hemos indicado, existen dos ejes. El eje de ordenadas es el que conocemos como Y, y se posicionan verticalmente. El eje de abscisas es el que conocemos con la letra X y se posiciona horizontalmente. El punto de intersección se considera punto cero.
El plano cartesiano generado va a mostrar cuatro cuadrantes que surgen de la intersección de las dos rectas perpendiculares, los dos ejes. En esas cuatro secciones, en cada eje se puede ordenar los números de menor a mayor partiendo del punto de intersección o punto cero. La colocación de los números responde a la posición del eje. En el eje de ordenadas hacia arriba serán números positivos y hacia abajo serán números negativos. En el eje de abscisas hacia la derecha serán números positivos y hacia la izquierda números negativos.
Conseguimos localizar las coordenadas gracias a esta numeración. En definitiva, por tanto, el eje de ordenadas es la línea vertical que conforma un plano cartesiano al cruzarse con una línea horizontal.
Unos ejes de coordenadas lo forman dos ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen.
El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas.
Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).
La primera coordenada se mide sobre el eje de abscisas, y se la denomina coordenada x del punto o abscisa del punto.
La segunda coordenada se mide sobre el eje de ordenadas, y se le llama coordenada y del punto u ordenada del punto.
Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante.
Signos
AbscisaOrdenada1er cuadrante
+
+
2º cuadrante
−
+
3er cuadrante
−
−
4º cuadrante
+
−
El origen de coordenadas, O, tiene de coordenadas: O(0, 0).
Los puntos que están en el eje de ordenadas tienen su abscisa igual a 0.
Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.
Los puntos situados en la misma línea horizontal (paralela al eje de abscisas) tienen la misma ordenada.
Los puntos situados en una misma línea vertical (paralela al eje de ordenadas) tienen la misma abscisa.
A(1, 4), B(-3, 2), C(0, 5), D(-4, -4), E(-5, 0), F(4, -3), G(4, 0), H(0, -2)
Puntos de corte de los ejes de abscisas y ordenadas
1.- La función corta el eje de abscisas en aquellos valores de la variable independiente “x” que hacen 0 el valor de la variable dependiente “y”. Para calcular estos valores igualamos a cero la función y hallamos las raíces.
Las raíces son:
X1 = 2,70
X2 = -3,70
2.- La función corta el eje de ordenadas en el valor que toma la variable dependiente “y” cuando la variable independiente “x” vale 0.
Dada la función típica cuadrática: y = ax2 + bx + c
y = a * 02 + b * 0 + c = c
Por lo tanto, la función cuadrática corta al eje de ordenadas precisamente en el valor del término independiente “c”.
y = 2×2 + 2x – 20
Si x = 0, entonces y = -20
Veamos otro ejemplo:
y = 5×2 – 10x – 25
1.- Calculamos el punto (s) de corte en el eje de abscisas:
Las raíces son:
X1 = 3,45
X2 = -1,45
2.- Calculamos el punto de corte en el eje de ordenadas:
Si x = 0 entonces:
y = -25
La función cuadrática siempre corta al eje de ordenadas pero puede ocurrir que la función no corte el eje de abscisas.
De hecho podemos ver que a estas ecuaciones:
3×2 + 2x + 100 = 0
-5×2 + 4x – 50 = 0
No se le pueden calcular sus raíces.
Mínimo y máximo
Si la función tiene forma de parábola cóncava tiene un mínimo absoluto y si tiene forma de parábola convexa tiene un máximo absoluto.
Vamos a utilizar como ejemplo la función que vimos anteriormente:
y = 5×2 – 10x – 25
Podemos ver que el vértice inferior (mínimo) corresponde a un valor de la “x” situando en un punto intermedio entre las 2 raíces x1 y x2 (puntos de corte del eje de abscisas).
Luego este valor x se puede calcular como punto intermedio entre las 2 raíces:
x = (x1 + x2) / 2
Sustituyendo estas raíces por sus definiciones:
El valor de la variable x a la que le corresponde el mínimo (máximo) es:
x = -b / 2a
En la función anterior:
x = +10 / (2*5) = 1
El valor de la y correspondiente a este valor de la x:
y = 5×2 – 10x – 25
y = 5 * (1)2 – 10 * 1 – 25 = -30
Las coordenadas de este mínimo de la parábola es (1, -30)
Por otra parte podemos ver que la gráfica de esta función es simétrica respecto a un eje que pasa por este vértice.
Veamos otro ejemplo:
y = -2×2 + 8x + 20
El valor de la variable x a la que le corresponde el máximo (parábola convexa) se calcula:
x = -b / 2a = -8 / (2 * (-2)) = 2
El valor de la y:
y = -2×2 + 8x + 20 = -2 * (2)2 + 8 * (2) + 20 = 28
Las coordenadas de este máximo de la parábola es (2, 28)
Características de estas funciones:
1.- Dominio: el conjunto de números reales R (- ∞; ∞).
2.- Función continua en todo su dominio.
3.- Recorrido: Si la función es cóncava, el recorrido es (∞, mínimo); si la función es convexa, el recorrido es (-∞, máximo).
4.- Simétrica respecto al eje que pasa por el vértice (máximo / mínimo).
Funciones potenciales (tipo: y = axn)
Vamos a distinguir si el exponente es positivo o si es negativo.
1.- Funciones potenciales con exponente positivo
Ejemplos:
y=2×2
y=5×3
y=3×4
y=7×5
Vemos que la forma de estas funciones varía en función del exponente: si es par tiene forma parabólica, si es impar tiene forma de tipo espiral.
2.- Funciones potenciales con exponente negativo
Ejemplos:
y = -2×2
y = -5×3
La forma de estas funciones es igual que las del punto anterior pero invertidas.
En función del signo y del exponente distinguimos:
- Término positivo y exponente par:
parábola cóncava
.
- Término negativo y exponente par:
parábola convexa
.
- Término positivo y exponente impar:
espiral creciente
.
- Término negativo y exponente impar:
espiral decreciente
.
1.- Dominio: el conjunto de números reales R (- ∞; ∞)
2.- Función continua en todo su dominio.
3.- Recorrido: si el exponente es par su recorrido depende del signo del término a: si el término es positivo (∞, mínimo); si el término es negativo (-∞, máximo). Si el exponente es impar su recorrido es (-∞,∞).
4.- Si el exponente es par la función es simétrica respecto al eje de ordenadas. Si el exponente es impar la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.
