Las rectas secantes son aquellas rectas que tienen un punto en común con otra recta, es decir, son lo opuesto a las rectas paralelas, las cuales no coinciden en ningún punto. También se definen como las rectas que se cruzan entre sí o con respecto a otras figuras creando puntos de intersección, formando regiones llamadas ángulos. Con respecto a una circunferencia, la corta en dos puntos determinados. Las rectas secantes pueden ser de dos tipos, oblicuas o perpendiculares.

Qué son las rectas secantes

Las rectas secantes se pueden definir como aquellas rectas que se encuentran en un mismo plano que han de cortarse en un punto.

Una recta es la unión de una serie de puntos que están alineados en una misma dirección, y puede llegar a ser vertical, horizontal o inclinada. De acuerdo a su posición relativa con otras rectas, se clasifican en paralelas (que no se cortan) y las secantes (que si lo hacen). Cuando las rectas secantes son perpendiculares forman ángulos de 90º.

La palabra recta con respecto a su etimología, es la forma femenina de referirse a “rectus”. Consiste en un término que se origina del latín que significa recto.

Características de las rectas secantes

A continuación se mencionan algunas de ellas:

• Cuando las rectas secantes se cortan, se forman regiones conocidas como ángulos. Dos del tipo interno y dos del tipo externo, los cuales son iguales entre sí.
• No se conservan de manera equidistante.
• Se trata de rectas que se cruzan entre sí.
• Una propiedad de este tipo de recta, es que se pueden cruzar en un solo punto y es necesario que exista esta intersección, debido a que si no hay cruce entre las líneas, serían paralelas y si tienen más de un punto de intersección serían coincidentes.
• Las líneas secantes pueden ser oblicuas o perpendiculares.

Tipos de rectas secantes

Las rectas secantes se dividen en oblicuas y perpendiculares. En esta vertiente se detallan las características de cada tipo.

Rectas secantes oblicuas

Son aquellas rectas secantes no perpendiculares que se cruzan en un punto exacto, formando cuatro ángulos diferentes de 90°, no siendo completamente semejantes.

• Mediante la siguiente fórmula, se puede calcular el ángulo entre dos rectas secantes oblicuas:

  

Rectas secantes perpendiculares

Las rectas secantes perpendiculares se cruzan en cierto punto y forman cuatro ángulos rectos de 90° los cuales son completamente semejantes.

• La pendiente de las rectas secantes perpendiculares cumplen la siguiente fórmula:

  

  Donde mr y ms son las pendiente de las rectas perpendiculares.

• Cuando son perpendiculares, el producto escalar es igual a cero.

  

Ejemplos de rectas secantes

A continuación presentaremos algunos ejercicios de rectas secantes :

1. Ejercicio a partir de los vectores directores

   

   Las rectas se expresan en forma de ecuaciones paramétricas

   

   Se debe dividir sus coordenadas entre sí. En el caso de que se obtenga el resultado de ambas divisiones, serán proporcionales, en caso contrario, siognificará que no son proporcionales.

   

   En este caso, los vectores no son proporcionales.

2. Ejercicio a partir de las pendientes
   Las siguientes rectas secantes poseen una pendiente diferente, las cuales son:

   

   En el caso de la recta s la pendiente es 3, y -2 para la pendiente r.

   

   Cuando el resultado no coincide, es decir que no tienen la misma pendiente, se dice que son secantes, como en este caso.

3. Recta secante a una curva
   Una recta secante a una curva o circunferencia, es cuando la corta en dos puntos distintos.

   

4. Rectas secantes en la vida diaria del hombre
   En la vida cotidiana, se puede encontrar rectas secantes representadas en distintos objetos, lugares y casi siempre están presentes en el entorno del ser humano. A continuación, se procede a mencionar algunos objetos con rectas secantes:
   • Edificaciones.
   • Construcción de ventanas.
   • Intersecciones de calles y de avenidas.
   • Trenzas de zapatos.

Preguntas Frecuentes sobre Rectas Secantes

¿Qué son las rectas secantes?

Las rectas secantes son el tipo de rectas o líneas que se intersectan en un punto determinado, formando ángulos. Son el opuesto de las rectas paralelas, las cuales no se intersectan. Leer más

¿Cuáles son las características de las rectas secantes?

• Tienen un punto de intersección.
• Pueden ser oblicuas o perpendiculares.
• Cuando las rectas secantes se cortan, se forman las regiones conocidas como ángulos.
• No se conservan de manera equidistante.

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¿Cómo saber si una recta es secante?

Se puede saber que una recta es secante cuando las rectas se cruzan entre sí en un punto determinado. En caso contrario, si no se cruzan se trataría de rectas paralelas. Esto se determina a través de un sistema de ecuaciones para encontrar el punto de intersección o al evaluar las pendientes, cuya división debe generar un valor distinto de 1. Leer más

¿Cuál es la diferencia entre una recta tangente y una secante?

La diferencia radica en que la recta tangente corta a la curva o circunferencia en sólo un punto. En cambio una recta secante corta a la circunferencia en dos puntos determinados. En este contexto, se hace referencia a la posición relativa con una circunferencia u otra curva. Leer más

¿Cómo hacer rectas secantes?

Para hacer rectas secantes, sólo se debe tomar dos rectas y cruzarlas en un solo punto de intersección, aunque generalmente las rectas son secantes a otras figuras. Por ejemplo en este caso hay 10 pares de rectas secantes, donde 3 son perpendiculares y 7 oblicuas. Leer más

Una recta es secante respecto a otra cuando ambas comparten un punto en común. Es decir, dos rectas son secantes cuando se cruzan o intersecan.

Las rectas secantes son, entonces, lo opuesto a la rectas paralelas, que son aquellas que no se cruzan en ningún punto.

Debemos recordar que una recta en una secuencia infinita de puntos que va en una sola dirección, sin presentar curvas.

Cabe mencionar además que un tipo de rectas secantes son las rectas perpendiculares, que son aquellas que al cruzarse forman cuatro ángulos iguales que son rectos (miden 90º), como en el dibujo inferior.

Rectas perpendiculares

Otro tipo de rectas secantes son aquellas denominadas oblicuas, que forman ángulos iguales, dos a dos. Así, se forman dos ángulos agudos (menores que 90º) y dos ángulos oblicuos idénticos (mayores que 90º). Cada ángulo es similar a su ángulo opuesto del vértice (ver imagen inferior).

Rectas oblicuas

Recta secante de una circunferencia

Una recta es secante a una circunferencia cuando la corta en dos de sus puntos. En el ejemplo inferior, sería la recta que corta la figura en los puntos B y C. Asimismo, tenemos lo que se denomina una recta tangente que es aquella que corta la circunferencia en solo un punto, que sería la que solo pasa por el punto D.

Podemos observar que, teniendo como información los puntos de intersección de la circunferencia, se puede calcular la ecuación de la recta secante.

Tomemos en cuenta que la ecuación tendrá la forma y=mx+b. Primero, podemos hallar, tomando como referencia la imagen de arriba, la variable b. Este es el punto de intersección en el eje vertical, es decir, -1.

Asimismo, m es la pendiente. Para hallarla, debemos tomar en cuenta que el punto A es (-6,3) y el punto B es (0,-1). Entonces, dividiremos la variación en el eje vertical entre la variación entre el eje horizontal cuando nos trasladamos de un punto a otro. Si vamos del punto A al punto B, en el eje vertical, se pasa de 3 a -1 (variando en -4), y en el eje horizontal, pasa de -6 a 0, aumentando en 6. Por lo tanto, m es -0,7, como vemos en la resolución de abajo.

m= (-1-3)/(0-(-6)) = -4/6 = -0,7

Luego, la ecuación sería y= -0,7x – 1

¿Qué son las rectas secantes?

En el plano, las rectas secantes son aquellas que intersectan a otras rectas y curvas. Tratándose de dos rectas, su intersección es un punto, mientras que la recta secante a una curva, corta a esta en dos o más puntos.

Obsérvese cuidadosamente la valla de la figura superior. Sobre ella se han dibujado varias rectas de colores distintos, denotadas como L1, L2 y L3. Las flechas en ambos lados significan que las rectas se prolongan indefinidamente.

Pues bien, las rectas L1, L2 y L3 son secantes entre sí, ya que cada par de ellas se corta en los puntos de color morado.

Además, las rectas L1 y L2, al igual que L1 y L3, determinan 4 ángulos entre sí, dos de ellos agudos y los otros obtusos, mientras que las rectas L2 y L3 son perpendiculares, lo que significa que los 4 ángulos determinados por ellas son rectos.

Dos rectas paralelas nunca pueden ser secantes, ya que, por su condición, no tienen puntos de coincidencia. A su vez, las rectas coincidentes no son secantes, pues tienen más de un punto en común.

Características de las rectas secantes

• Dos rectas secantes tienen un punto único como intersección.

• Las pendientes de dos rectas secantes deben ser diferentes. Si m1 es la pendiente de la recta L1, y m2 es la pendiente de la recta L2, entonces se cumple que m1 ≠ m2.

• Las pendientes de dos rectas secantes perpendiculares entre sí, cuyas pendientes respectivas son m1 y m2, cumplen la relación m1 = -1/ m2. Además, el producto escalar entre dos vectores v y u contenidos en dichas rectas es nulo, puesto que la definición de producto escalar es v u = v∙u∙cos θ, siendo θ el ángulo entre los vectores.

• Una recta puede ser secante a una curva o a otra figura geométrica.

• Al intersectarse, dos rectas secantes generan 4 ángulos, idénticos dos a dos o bien idénticos entre sí.

Cómo saber si dos rectas son secantes

A partir de las características de las rectas secantes antes descritas, es posible establecer tres criterios para saber si dos rectas son secantes:

-Comparando las pendientes. Si estas son diferentes, las rectas son secantes.

-Llevando a cabo el producto escalar entre dos vectores que estén contenidos en dichas rectas, llamados vectores directores. Si el producto escalar es nulo, las rectas son secantes y perpendiculares, y si es no nulo, es posible conocer el ángulo mínimo entre ellos, que es el ángulo agudo existente entre las rectas.

Siempre que dicho ángulo sea distinto a 0º, las rectas son secantes, y si es igual a 0º, entonces se trata de rectas paralelas.

-Calculando directamente el ángulo agudo que existe entre las rectas, conocidas sus pendientes. Esto se puede hacer a través de la fórmula que relaciona la tangente de dicho ángulo con las pendientes.

Sean m1 y m2 las pendientes, y θ el ángulo agudo entre ellas. La tangente de θ viene dada por:

Tipos de rectas secantes

Cuando dos rectas son secantes entre sí, pueden ser de los siguientes tipos:

• Oblicuas, si al cortarse forman dos ángulos agudos y dos ángulos obtusos. Dichos ángulos son suplementarios, es decir, la suma de la medida del ángulo más la del ángulo obtuso es igual a 180º. En total, la suma de los 4 ángulos es igual a 360º.

• Perpendiculares, aquellas que al intersectarse determinan 4 ángulos iguales a 90º.

Cómo encontrar la intersección entre dos rectas

Si dos rectas son secantes, tienen un solo punto de corte, el cual se encuentra resolviendo el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Si las rectas están dadas en forma general: ax + by = c, dicho sistema de ecuaciones es:

a1x + b1 y = c1

a2x + b2 y = c2

Cómo encontrar la intersección entre una recta y una curva

Conociendo las ecuaciones tanto de la recta como de la curva, se plantea el sistema de ecuaciones y, cuyas soluciones corresponden a los puntos de intersección. Si el sistema carece de solución, la recta no es secante a la curva, como tampoco lo es si existe un único punto de corte, ya que, en tal caso, la recta es tangente a la curva.

Para que la recta sea secante, tal como se dijo al principio, el sistema de ecuaciones debe tener dos o más soluciones.

Ejemplos de rectas secantes

El plano cartesiano

El plano cartesiano está determinado por dos rectas, llamadas eje x y eje y, horizontal y vertical, respectivamente. Dichas rectas son perpendiculares y su punto de intersección se denomina origen del sistema de coordenadas, o simplemente origen.

La diagonal de un polígono

Un polígono es una figura plana de tres o más lados, los cuales se unen en puntos llamados vértices. Un segmento que une dos vértices no consecutivos es una diagonal del polígono, y la recta que contiene dicho segmento es secante al polígono en cuestión.

Una cuerda de circunferencia

La cuerda de una circunferencia es el segmento que une dos de sus puntos. La cuerda mayor es el diámetro, que necesariamente pasa por el centro de la circunferencia. Pues bien, la recta que contiene a una cuerda cualquiera, incluido el diámetro, es una recta secante a la circunferencia.

La llave de cruz

Con esta herramienta se aflojan las tuercas que sujetan los neumáticos a las ruedas de los vehículos. Los brazos forman entre sí líneas que son secantes y la vez perpendiculares.

Letras del alfabeto

Algunas letras del alfabeto consisten en trazos rectos que determinan secantes. Por ejemplo, la letra X consta de dos trazos que se cortan entre sí en un solo punto y la letra T consta de dos líneas perpendiculares.

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Determinar si son secantes las rectas dadas por:

L1 : y = 5x – 3

L2 : y = –2x+1

Solución

La pendiente de una recta dada en la forma y = mx + b es el valor de m, es decir, el coeficiente que acompaña a la x. Puesto que m1 = 5 y m2 = –2, los cuales son diferentes, se concluye que las rectas son secantes.

Ejercicio 2

¿Cuál es el ángulo agudo entre las rectas del ejercicio 1?

Solución

Se sustituyen directamente los valores m1 = 5 y m2 = –2 en la fórmula dada en las secciones precedentes:

Por lo tanto, el ángulo entre las rectas es θ = arctg 0.777… = 37.9º.

Ejercicio 3

¿Cuál es la intersección entre las rectas de los ejercicios anteriores?

Solución

Se plantea el sistema de ecuaciones de la siguiente forma:

Cuya solución es: x = 4/7; y = –1/7 (puede resolverse por cualquiera de los métodos de resolución para sistemas de ecuaciones, o bien con una calculadora).

Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es: P (4/7 ; –1/7).

Referencias

1. GeometríaAnalítica.info. Rectas secantes. Recuperado de: geometriaanalitica.info.

2. Larson, R. 2006. Cálculo con Geometría Analítica. 8va. Edición. McGraw Hill.

3. Rectas que se cruzan. Recuperado de: profesoraltuna.com.

4. Requena, B. Rectas secantes. Recuperado de: universoformulas.com.

5. Villena, M. Geometría Analítica en R3. Recuperado de: dspace.espol.edu.ec.