En cuál intervalo la función de la gráfica es creciente

Objetivos de aprendizaje

En esta sección, podrá:

  • Calcular la tasa media de cambio de una función.
  • Utilizar un gráfico para determinar si una función es creciente, decreciente o constante.
  • Utilizar un gráfico para localizar los máximos y mínimos locales.
  • Utilizar un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto.

Los costos de la gasolina han experimentado algunas fluctuaciones salvajes en las últimas décadas. La Tabla 1 muestra el costo promedio, en dólares, de un galón de gasolina entre los años 2005 a 2012. El costo de la gasolina puede considerarse en función del año.

y y 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 C( y ) C( y ) 2,31 2,62 2,84 3,30 2,41 2,84 3,58 3,68

Tabla

1

Si solo nos interesara la evolución de los precios de la gasolina entre 2005 y 2012, podríamos calcular que el costo por galón ha pasado de 2,31 a 3,68 dólares, lo que supone un aumento de 1,37 dólares. Aunque esto es interesante, podría ser más útil observar cuánto ha cambiado el precio por año. En esta sección, investigaremos cambios como estos.

Hallar la tasa media de cambio de una función

La variación del precio por año es una tasa de cambio porque describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Observamos que el precio de la gasolina en la Tabla 1 no cambió en la misma cantidad cada año, por lo que la tasa de cambio no fue constante. Si utilizamos solo los datos iniciales y finales, estaríamos encontrando la tasa de cambio promedio durante el periodo especificado. Para calcular la intersección en tasa media de cambio, dividimos el cambio en la salida entre el cambio del valor en la entrada.

Tasa de cambio promedio= Cambio en la salida Cambio en la entrada                                      = Δy Δx                                      = y 2 – y 1 x 2 – x 1                                      = f( x 2 )-f( x 1 ) x 2 – x 1 Tasa de cambio promedio= Cambio en la salida Cambio en la entrada                                      = Δy Δx                                      = y 2 – y 1 x 2 – x 1                                      = f( x 2 )-f( x 1 ) x 2 – x 1

La letra griega Δ Δ (delta) significa el cambio en una cantidad; leemos el cociente como “delta y sobre delta x» o «el cambio en y y dividido entre el cambio en x. x. De vez en cuando escribimos Δf Δf en vez de Δy, Δy, que sigue representando el cambio en el valor de salida de la función resultante de un cambio en su valor de entrada. No significa que estemos cambiando la función por otra.

En nuestro ejemplo, el precio de la gasolina aumentó 1,37 dólares de 2005 a 2012. A lo largo de 7 años, la tasa de cambio promedio fue

Δy Δx = $1,37 7 años ≈0,196 dólares al año Δy Δx = $1,37 7 años ≈0,196 dólares al año

En promedio, el precio de la gasolina aumentó unos 19,6 céntimos cada año.

Otros ejemplos de tasas de cambio son:

  • Una población de ratas que aumenta en 40 ratas por semana
  • Un automóvil que viaja a 68 millas por hora (la distancia recorrida cambia en 68 millas cada hora a medida que pasa el tiempo)
  • Un automóvil que recorre 27 millas por galón (la distancia recorrida cambia en 27 millas por cada galón)
  • La corriente que atraviesa un circuito eléctrico aumenta en 0,125 amperios por cada voltio de aumento de voltaje
  • La cantidad de dinero en una cuenta universitaria disminuye en 4.000 dólares por trimestre

Tasa de cambio

Una tasa de cambio describe cómo cambia una cantidad de salida en relación con el cambio de la cantidad de entrada. Las unidades de una tasa de cambio son «unidades de salida por unidades de entrada”.

La tasa de cambio promedio entre dos valores de entrada es el cambio total de los valores de la función (valores de salida) dividido entre el cambio de los valores de entrada.

Δy Δx = f( x 2 )-f( x 1 ) x 2 – x 1 Δy Δx = f( x 2 )-f( x 1 ) x 2 – x 1

Cómo

Dado el valor de una función en diferentes puntos, calcule la tasa de cambio promedio de una función para el intervalo entre dos valores x 1 x 1 y x 2 . x 2 .

  1. Calcule la diferencia y 2 – y 1 =Δy. y 2 – y 1 =Δy.
  2. Calcule la diferencia x 2 – x 1 =Δx. x 2 – x 1 =Δx.
  3. Halle el cociente Δy Δx . Δy Δx .

Ejemplo

1

Calcular la tasa de cambio promedio

Utilizando los datos de la Tabla 1, halle la tasa de cambio promedio del precio de la gasolina entre 2007 y 2009.

Solución

En 2007, el precio de la gasolina era de 2,84 dólares. En 2009, el costo fue de 2,41 dólares. La tasa de cambio promedio es

Δy Δx = y 2 – y 1 x 2 – x 1 = $2,41−$2,84 2009−2007 = −$0,43 2  años =−$0,22 por año Δy Δx = y 2 – y 1 x 2 – x 1 = $2,41−$2,84 2009−2007 = −$0,43 2  años =−$0,22 por año

Análisis

Observe que una disminución se expresa con un cambio negativo o «aumento negativo”. Una tasa de cambio es negativa cuando la producción disminuye mientras que la entrada aumenta o cuando la producción aumenta mientras que la entrada disminuye.

Inténtelo

#1

Utilizando los datos de la Tabla 1, halle la tasa de cambio promedio entre 2005 y 2010.

Ejemplo

2

Calcular la tasa de cambio promedio a partir de un gráfico

Dada la función g( t ) g( t ) que se muestra en la Figura 1, halle la tasa de cambio promedio en el intervalo [ -1,2 ]. [ -1,2 ].

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Gráfico de una parábola.

Figura

1

Solución

A t=-1, t=-1, la Figura 2 muestra g( –1 )=4. g( –1 )=4. En t=2 , t=2 , el gráfico muestra g( 2 )=1. g( 2 )=1.

Gráfico de una parábola con una línea desde los puntos (-1, 4) y (2, 1) para mostrar los cambios para g(t) y t.

Figura

2

El cambio horizontal Δt=3 Δt=3 se muestra con la flecha roja, y el cambio vertical Δg(t)=-3 Δg(t)=-3 se muestra con la flecha turquesa. La salida cambia en -3 mientras que la entrada cambia en 3, lo que da una tasa de cambio promedio de

1-4 2 -( -1 ) = -3 3 =–1 1-4 2 -( -1 ) = -3 3 =–1

Análisis

Observe que el orden que elegimos es muy importante. Si, por ejemplo, utilizamos y 2 – y 1 x 1 – x 2 , y 2 – y 1 x 1 – x 2 , no obtendremos la respuesta correcta. Decida qué punto será el 1 y qué punto será el 2, y mantenga las coordenadas fijas como ( x 1 , y 1 ) ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ). ( x 2 , y 2 ).

Ejemplo

3

Calcular la tasa de cambio promedio a partir de una tabla

Después de recoger a una amiga que vive a 10 millas de distancia, Anna registra la distancia que le separa de su casa a lo largo del tiempo. Los valores se muestran en la Tabla 2. Calcule la rapidez promedio durante las primeras 6 horas.

t (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 D(t) (millas) 10 55 90 153 214 240 292 300

Tabla

2

Solución

En este caso, la rapidez media es la tasa de cambio promedio. Recorrió 282 millas en 6 horas, para una rapidez media de

292−10 6-0 = 282 6 =47 292−10 6-0 = 282 6 =47

La rapidez media es de 47 millas por hora.

Análisis

Como la rapidez no es constante, la rapidez media depende del intervalo elegido. Para el intervalo [2,3], la rapidez media es de 63 millas por hora.

Ejemplo

4

Calcular la tasa de cambio promedio de una función expresada como fórmula

Calcule la tasa de cambio promedio de f( x )= x 2 – 1 x f( x )= x 2 – 1 x en el intervalo [2,4]. [2,4].

Solución

Podemos empezar calculando los valores de la función en cada punto final del intervalo.

f(2 ) = 2 2 – 1 2 f(4) = 4 2 – 1 4 = 4- 1 2 = 16− 1 4 = 7 2 = 63 4 f(2 ) = 2 2 – 1 2 f(4) = 4 2 – 1 4 = 4- 1 2 = 16− 1 4 = 7 2 = 63 4

Ahora calculamos la tasa de cambio promedio.

Tasa de cambio promedio = f(4)-f(2 ) 4–2 = 63 4 – 7 2 4–2 = 49 4 2 = 49 8 Tasa de cambio promedio = f(4)-f(2 ) 4–2 = 63 4 – 7 2 4–2 = 49 4 2 = 49 8

Inténtelo

#2

Halle la tasa de cambio promedio de f( x )=x-2 x f( x )=x-2 x en el intervalo [1,9]. [1,9].

Ejemplo

5

Hallar la tasa promedio de cambio de una fuerza

La fuerza electrostática F, F, medida en newtons, entre dos partículas cargadas puede relacionarse con la distancia entre las partículas d, d, en centímetros, mediante la fórmula F( d )= 2 d 2 . F( d )= 2 d 2 . Halle la tasa de cambio promedio de la fuerza si la distancia entre las partículas se incrementa de 2 cm a 6 cm.

Solución

Estamos calculando la tasa de cambio promedio de F( d )= 2 d 2 F( d )= 2 d 2 en el intervalo [2 ,6]. [2 ,6].

Tasa de cambio promedio = F(6)–F(2 ) 6-2 = 2 6 2 – 2 2 2 6-2 Simplifique. = 2 36 − 2 4 4 = – 16 36 4 Combine los términos del numerador. = – 1 9 Simplifique Tasa de cambio promedio = F(6)–F(2 ) 6-2 = 2 6 2 – 2 2 2 6-2 Simplifique. = 2 36 − 2 4 4 = – 16 36 4 Combine los términos del numerador. = – 1 9 Simplifique

La tasa de cambio promedio es − 1 9 − 1 9 newton por centímetro.

Ejemplo

6

Hallar una tasa de cambio promedio como expresión

Halle la tasa media de cambio de g( t )= t 2 +3t+1 g( t )= t 2 +3t+1 en el intervalo [0,a]. [0,a]. La respuesta será una expresión que incluya a. a.

Solución

Utilizamos la fórmula de la tasa de cambio promedio.

Tasa de cambio promedio= g(a)-g(0) a−0 Evalúe.                                     = ( a 2 +3a+1)-( 0 2 +3(0)+1) a−0 Simplifique.                                     = a 2 +3a+1-1 a Simplifique y factorice.                                     = a(a+3) a Dividir entre el factor común a.                                     =a+3 Tasa de cambio promedio= g(a)-g(0) a−0 Evalúe.                                     = ( a 2 +3a+1)-( 0 2 +3(0)+1) a−0 Simplifique.                                     = a 2 +3a+1-1 a Simplifique y factorice.                                     = a(a+3) a Dividir entre el factor común a.                                     =a+3

Este resultado nos indica la tasa de cambio promedio en términos de a a entre t=0 t=0 y cualquier otro punto t=a. t=a. Por ejemplo, en el intervalo [0,5], [0,5], la tasa de cambio promedio sería 5+3=8. 5+3=8.

Inténtelo

#3

Halle la tasa de cambio promedio de f( x )= x 2 +2 x-8 f( x )= x 2 +2 x-8 en el intervalo [5,a]. [5,a].

Usar un gráfico para determinar si una función es creciente, decreciente o constante

Como parte de la exploración de cómo cambian las funciones, podemos identificar los intervalos en los que la función cambia de forma específica. Decimos que una función es creciente en un intervalo si los valores de la función aumentan a medida que los valores de entrada aumentan dentro de ese intervalo. Del mismo modo, una función es decreciente en un intervalo si los valores de la función disminuyen a medida que los valores de entrada aumentan en ese intervalo. La tasa de cambio promedio de una función creciente es positiva, y la tasa de cambio promedio de una función decreciente es negativa. La Figura 3 muestra ejemplos de intervalos crecientes y decrecientes en una función.

Gráfico de un polinomio que muestra los intervalos crecientes y decrecientes y el máximo y el mínimo locales.

Figura

3

La función f( x )= x 3 -12x f( x )= x 3 -12x es creciente en ( -∞,-2 ) ∪ ​ ​ ( 2 ,∞ ) ( -∞,-2 ) ∪ ​ ​ ( 2 ,∞ ) y decreciente en (–2 ,2 ). (–2 ,2 ).

Mientras que algunas funciones son crecientes (o decrecientes) en todo su dominio, muchas otras no lo son. Un valor de la entrada en el que una función pasa de ser creciente a decreciente (al ir de izquierda a derecha, es decir, al aumentar la variable de entrada) es la ubicación de un máximo local. El valor de la función en ese punto es el máximo local. Si una función tiene más de uno, decimos que tiene máximos locales. Del mismo modo, un valor de la entrada en el que una función cambia de decreciente a creciente a medida que la variable de entrada aumenta es la ubicación de un mínimo local. El valor de la función en ese punto es el mínimo local. La forma plural es «mínimos locales». En conjunto, los máximos y mínimos locales se denominan extremos locales, o valores extremos locales, de la función (la forma singular es “extremo”). A menudo, el término local se sustituye por el término relativo. En este texto, utilizaremos el término local.

Es evidente que una función no es creciente ni decreciente en un intervalo en el que es constante. Una función tampoco es creciente ni decreciente en los extremos. Observe que tenemos que hablar de extremos locales, porque cualquier extremo local dado, tal como se define aquí, no es necesariamente el máximo más alto o el mínimo más bajo en todo el dominio de la función.

Para la función cuyo gráfico se muestra en la Figura 4, el máximo local es 16, y se produce en x=-2. x=-2. El mínimo local es −16 −16 y se produce en x=2. x=2.

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Figura

4

Para ubicar los máximos y mínimos locales de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos, respectivamente, dentro de un intervalo abierto. Como la cima de una montaña rusa, el gráfico de una función es más alto en un máximo local que en los puntos cercanos de ambos lados. El gráfico también será más bajo en un mínimo local que en los puntos vecinos. La Figura 5 ilustra estas ideas para un máximo local.

Gráfico de un polinomio que muestra los intervalos crecientes y decrecientes y el máximo local.

Figura

5

Definición de un máximo local

Estas observaciones nos llevan a una definición formal de los extremos locales.

Mínimos y máximos locales

Una función f f es una función creciente en un intervalo abierto si f( b )>f( a ) f( b )>f( a ) para cada dos valores de entrada a a y b b en el intervalo donde b>a. b>a.

Una función f f es una función decreciente en un intervalo abierto si f( b )<f( a ) f( b )<f( a ) para cada dos valores de entrada a a y b b en el intervalo donde b>a. b>a.

Una función f f tiene un máximo local en un punto bb en un intervalo abierto (a,c) (a,c) si f(b)≥f(x)f(b)≥f(x) para cada punto xx ( xx no es igual a bb ) en el intervalo. f f tiene un mínimo local en un punto bb en (a,c) (a,c) si f(b)≤f(x)f(b)≤f(x) para cada punto x x ( x x no es igual a b b ) en el intervalo.

Ejemplo

7

Hallar intervalos crecientes y decrecientes en un gráfico

Dada la función p( t ) p( t ) en la Figura 6, identifique los intervalos en los que la función parece ser creciente.

Gráfico de un polinomio.

Figura

6

Solución

Vemos que la función no es constante en ningún intervalo. La función es creciente cuando se inclina hacia arriba a medida que nos movemos hacia la derecha y decreciente cuando se inclina hacia abajo a medida que nos movemos hacia la derecha. La función parece aumentar de t=1 t=1 con t=3 t=3 y de t=4 t=4 en adelante.

En notación intervalo, diríamos que la función parece ser creciente en el intervalo (1, 3) y el intervalo (4,∞). (4,∞).

Análisis

Observe que en este ejemplo hemos utilizado intervalos abiertos (intervalos que no incluyen los puntos finales), porque la función no es ni creciente ni decreciente en t=1 t=1, t=3 t=3 y t=4 t=4. Estos puntos son los extremos locales (dos mínimos y un máximo).

Ejemplo

8

Hallar los extremos locales de un gráfico

Grafique la función f( x )= 2 x + x 3 . f( x )= 2 x + x 3 . A continuación, utilice el gráfico para estimar los extremos locales de la función y para determinar los intervalos en los que la función es creciente.

Solución

Utilizando la tecnología, encontramos que el gráfico de la función se parece al que aparece en la Figura 7. Parece que hay un punto bajo, o mínimo local, entre x=2 x=2 y x=3, x=3, y un punto alto reflejado, o máximo local, en algún lugar entre x=−3 x=−3 y x=–2. x=–2.

Gráfico de una función recíproca.

Figura

7

Análisis

La mayoría de las calculadoras y utilidades para graficar pueden estimar la ubicación de los máximos y los mínimos. La Figura 8 proporciona imágenes de pantalla de dos tecnologías diferentes que muestran la estimación del máximo y el mínimo locales.

Gráfico de la función recíproca en una calculadora gráfica.

Figura

8

Según estas estimaciones, la función es creciente en el intervalo (-∞,-2 ,449) (-∞,-2 ,449) y (2,449,∞). (2,449,∞). Observe que, aunque se espera que los extremos sean simétricos, las dos tecnologías diferentes solo coinciden hasta cuatro decimales debido a los diferentes algoritmos de aproximación utilizados por cada una (la ubicación exacta de los extremos se encuentra en ± 6 , ± 6 , pero para determinarlo hay que hacer cálculos).

Inténtelo

#4

Grafique la función f( x )= x 3 -6 x 2 −15x+20 f( x )= x 3 -6 x 2 −15x+20 para estimar los extremos locales de la función. Utilícelos para determinar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

Ejemplo

9

Encontrar los máximos y mínimos locales de un gráfico

Para la función f f cuyo gráfico se muestra en la Figura 9, halle todos los máximos y mínimos locales.

Gráfico de un polinomio.

Figura

9

Solución

Observe el gráfico de f. f. El gráfico alcanza un máximo local en x=1 x=1 porque es el punto más alto en un intervalo abierto alrededor de x=1. x=1. El máximo local es la coordenada y y en x=1, x=1, que es 2. 2.

El gráfico alcanza un mínimo local en x=−1 x=−1 porque es el punto más bajo de un intervalo abierto alrededor de x=−1. x=−1. El mínimo local es la coordenada y en x=−1, x=−1, que es -2. -2.

Analizar las funciones de la caja de herramientas para aumentar o disminuir los intervalos

Ahora volveremos a nuestras funciones de la caja de herramientas y discutiremos su comportamiento gráfico en la Figura 10, la Figura 11 y la Figura 12.

Tabla que muestra los intervalos crecientes y decrecientes de las funciones de la caja de herramientas.

Figura

10

Tabla que muestra los intervalos crecientes y decrecientes de las funciones del conjunto de herramientas.

Figura

11

Tabla que muestra los intervalos crecientes y decrecientes de las funciones del conjunto de herramientas.

Figura

12

Utilizar un gráfico para localizar el máximo absoluto y el mínimo absoluto

Hay una diferencia entre ubicar los puntos más altos y más bajos de un gráfico en una región alrededor de un intervalo abierto (localmente) y ubicar los puntos más altos y más bajos del gráfico para todo el dominio. Las coordenadas y y (salida) en los puntos más altos y más bajos se denominan máximo absoluto y mínimo absoluto, respectivamente.

Para localizar los máximos y mínimos absolutos de un gráfico, tenemos que observar el gráfico para determinar dónde alcanza sus puntos más altos y más bajos en el dominio de la función. Vea la Figura 13.

Gráfico de un segmento de parábola con mínimo absoluto en (0, -2) y máximo absoluto en (2, 2).

Figura

13

No todas las funciones tienen un valor máximo o mínimo absoluto. La función de la caja de herramientas f( x )= x 3 f( x )= x 3 es una de esas funciones.

Máximos y mínimos absolutos

El máximo absoluto de f f en x=c x=c es f( c ) f( c ) donde f( c )≥f( x ) f( c )≥f( x ) para todo x x en el dominio de f. f.

El mínimo absoluto de f f en x=d x=d es f( d ) f( d ) donde f( d )≤f( x ) f( d )≤f( x ) para todo x x en el dominio de f. f.

Ejemplo

10

Encontrar los máximos y mínimos absolutos de un gráfico

Para la función f f que se muestra en la Figura 14, halle todos los máximos y mínimos absolutos.

Gráfico de un polinomio.

Figura

14

Solución

Observe el gráfico de f. f. El gráfico alcanza un máximo absoluto en dos lugares, x=−2 x=−2 y x=2 , x=2 , porque en estos lugares, el gráfico alcanza su punto más alto en el dominio de la función. El máximo absoluto es la coordenada y en x=−2 x=−2 y x=2 , x=2 , que es 16. 16.

El gráfico alcanza un mínimo absoluto en x=3, x=3, porque es el punto más bajo del dominio del gráfico de la función. El mínimo absoluto es la coordenada y en x=3, x=3, que es −10. −10.

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Media

Acceda a este recurso en línea para obtener instrucciones adicionales y practicar con las tasas de cambio.

  • Tasa de cambio promedio

1.3 Ejercicios de sección

Verbales

1

.

¿La tasa de cambio promedio de una función puede ser constante?

2

.

Si una función f f es creciente en (a,b) (a,b) y decreciente en (b,c), (b,c), entonces qué se puede decir del extremo local de f f sobre (a,c)? (a,c)?

3

.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian el máximo y el mínimo absolutos de los extremos locales?

4

.

¿Cómo se compara el gráfico de la función de valor absoluto con el gráfico de la función cuadrática y= x 2 , y= x 2 , en términos de intervalos crecientes y decrecientes?

Algebraicos

En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado para los números reales b b o h. h.

5

.

f( x )=4 x 2 -7 f( x )=4 x 2 -7 en [1,b] [1,b]

6

.

g( x )=2 x 2 -9 g( x )=2 x 2 -9 en [ 4,b ] [ 4,b ]

7

.

p( x )=3x+4 p( x )=3x+4 en [2 ,2 +h] [2 ,2 +h]

8

.

k( x )=4x-2 k( x )=4x-2 en [3,3+h] [3,3+h]

9

.

f( x )=2 x 2 +1 f( x )=2 x 2 +1 en [x,x+h] [x,x+h]

10

.

g( x )=3 x 2 -2 g( x )=3 x 2 -2 en [x,x+h] [x,x+h]

11

.

a( t )= 1 t+4 a( t )= 1 t+4 en [9,9+h] [9,9+h]

12

.

b( x )= 1 x+3 b( x )= 1 x+3 en [1,1+h] [1,1+h]

13

.

j( x )=3 x 3 j( x )=3 x 3 en [1,1+h] [1,1+h]

14

.

r( t )=4 t 3 r( t )=4 t 3 en [2 ,2 +h] [2 ,2 +h]

15

.

f( x )=2 x 2 -3x f( x )=2 x 2 -3x en [x,x+h] [x,x+h]

Gráficos

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico de f f que se muestra en la Figura 15.

Gráfico de un polinomio.

Figura

15

16

.

Estime la tasa de cambio promedio de x=1 x=1 a x=4. x=4.

17

.

Estime la tasa promedio de cambio de x=2 x=2 hasta x=5. x=5.

En los siguientes ejercicios, utilice el gráfico de cada función para estimar los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

18

.

Gráfico de una función absoluta. 19

.

Gráfico de una función cúbica.

20

.

Gráfico de una función cúbica. 21

.

Gráfico de una función recíproca.

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico mostrado en la Figura 16.

Gráfico de una función cúbica.

Figura

16

22

.

Estime los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

23

.

Estime el punto o puntos en los que el gráfico de f f tiene un máximo o un mínimo local.

En los siguientes ejercicios, considere el gráfico en la Figura 17.

Gráfico de una función cúbica.

Figura

17

24

.

Si se muestra el gráfico completo de la función, estime los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

25

.

Si se muestra el gráfico completo de la función, estime el máximo absoluto y el mínimo absoluto.

Numéricos

26

.

La Tabla 3 da las ventas anuales (en millones de dólares) de un producto desde 1998 hasta 2006. ¿Cuál fue la tasa promedio de cambio de las ventas anuales (a) entre 2001 y 2002, y (b) entre 2001 y 2004?

Año Ventas (millones de dólares) 1998 201 1999 219 2000 233 2001 243 2002 249 2003 251 2004 249 2005 243 2006 233

Tabla

3

27

.

La Tabla 4 da la población de una ciudad (en miles) de 2000 a 2008. ¿Cuál fue la tasa promedio de cambio de la población (a) entre 2002 y 2004, y (b) entre 2002 y 2006?

Año Población (miles) 2000 87 2001 84 2002 83 2003 80 2004 77 2005 76 2006 78 2007 81 2008 85

Tabla

4

En los siguientes ejercicios, halle la tasa de cambio promedio de cada función en el intervalo especificado.

28

.

f( x )= x 2 f( x )= x 2 en [1,5] [1,5]

29

.

h( x )=5-2 x 2 h( x )=5-2 x 2 en [−2,4] [−2,4]

30

.

q( x )= x 3 q( x )= x 3 en [-4,2 ] [-4,2 ]

31

.

g( x )=3 x 3 -1 g( x )=3 x 3 -1 en [−3,3] [−3,3]

32

.

y= 1 x y= 1 x en [1, 3] [1, 3]

33

.

p( t )= ( t 2 -4 )( t+1 ) t 2 +3 p( t )= ( t 2 -4 )( t+1 ) t 2 +3 en [−3,1] [−3,1]

34

.

k( t )=6 t 2 + 4 t 3 k( t )=6 t 2 + 4 t 3 en [−1,3] [−1,3]

En tecnología

En los siguientes ejercicios, utilice una herramienta gráfica para estimar los extremos locales de cada función y para estimar los intervalos en los que la función es creciente y decreciente.

35

.

f( x )= x 4 -4 x 3 +5 f( x )= x 4 -4 x 3 +5

36

.

h( x )= x 5 +5 x 4 +10 x 3 +10 x 2 –1 h( x )= x 5 +5 x 4 +10 x 3 +10 x 2 –1

37

.

g( t )=t t+3 g( t )=t t+3

38

.

k( t )=3 t 2 3 -t k( t )=3 t 2 3 -t

39

.

m( x )= x 4 +2 x 3 -12 x 2 -10x+4 m( x )= x 4 +2 x 3 -12 x 2 -10x+4

40

.

n( x )= x 4 −8 x 3 +18 x 2 -6x+2 n( x )= x 4 −8 x 3 +18 x 2 -6x+2

Extensión

41

.

El gráfico de la función f f se muestra en la Figura 18.

Gráfico de f(x) en una calculadora gráfica.

Figura

18

Según la captura de pantalla de la calculadora, el punto (1,333,5,185) (1,333,5,185) es ¿cuál de los siguientes?

  1. un máximo relativo (local) de la función

  2. el vértice de la función

  3. el máximo absoluto de la función

  4. un cero de la función

42

.

Supongamos que f(x)= 1 x . f(x)= 1 x . Halle un número c c tal que la tasa de cambio promedio de la función f f en el intervalo (1,c) (1,c) es – 1 4 . – 1 4 .

43

.

Supongamos que f( x )= 1 x f( x )= 1 x . Halle el número b b tal que la tasa de cambio promedio de f f en el intervalo (2 ,b) (2 ,b) es – 1 10 . – 1 10 .

Aplicaciones en el mundo real

44

.

Al inicio de un viaje, el odómetro de un automóvil marcaba 21.395. Al final del viaje, 13,5 horas después, el odómetro marcaba 22.125. Supongamos que la escala del odómetro está en millas. ¿Cuál es la rapidez media a la que viajó el automóvil durante este viaje?

45

.

Un conductor de un automóvil se detuvo en una gasolinera para llenar el tanque de gasolina. Miró su reloj y la hora marcaba exactamente las 3:40 p. m. En ese momento, empezó a echar gasolina al tanque. A las 3:44 exactamente, el tanque estaba lleno y se dio cuenta de que bombeó 10,7 galones. ¿Cuál es la tasa promedio de flujo de la gasolina en el tanque?

46

.

Cerca de la superficie de la luna, la distancia a la que cae un objeto es una función del tiempo. Viene dado por d( t )=2,6667 t 2 , d( t )=2,6667 t 2 , donde t t está en segundos y d( t ) d( t ) está en pies. Si se deja caer un objeto desde cierta altura, halle la rapidez media del objeto desde t=1 t=1 con t=2. t=2.

47

.

El gráfico de la Figura 19 ilustra la desintegración de una sustancia radiactiva a lo largo de t t días.

Gráfico de una función exponencial.

Figura

19

Utilice el gráfico para estimar la tasa de cambio promedio de desintegración de t=5 t=5 al t=15. t=15.

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