Ahora hemos visto cómo calcular la velocidad media entre dos posiciones. Sin embargo, dado que los objetos en el mundo real se mueven continuamente a través del espacio y el tiempo, nos gustaría encontrar la velocidad de un objeto en cualquier punto. Podemos encontrar la velocidad del objeto en cualquier punto de su trayectoria mediante algunos principios fundamentales del cálculo. Esta sección nos permite comprender mejor la física del movimiento y nos servirá en capítulos posteriores.
Velocidad instantánea
La cantidad que nos indica qué tan rápido se mueve un objeto en cualquier punto de su trayectoria es la velocidad instantánea, normalmente llamada simplemente velocidad. Es la velocidad media entre dos puntos de la trayectoria en el límite en que el tiempo (y, por ende, el desplazamiento) entre ambos puntos se aproxima a cero. Para ilustrar esta idea matemáticamente, necesitamos expresar la posición de la x como una función continua de t denotada por x(t). La expresión para la velocidad media entre dos puntos con esta notación es v–=x(t2)−x(t1)t2−t1v–=x(t2)−x(t1)t2−t1. Para encontrar la velocidad instantánea en cualquier posición, suponemos que t1=tt1=t y t2=t+Δtt2=t+Δt. Tras incorporar estas expresiones en la ecuación de la velocidad media y tomar el límite como Δt→0Δt→0, encontramos la expresión para la velocidad instantánea:
v(t)=limΔt→0x(t+Δt)−x(t)Δt=dx(t)dt.v(t)=limΔt→0x(t+Δt)−x(t)Δt=dx(t)dt.
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea de un objeto es el límite de la velocidad media a medida que el tiempo transcurrido se acerca a cero, o la derivada de x con respecto a t:
v(t)=ddtx(t).v(t)=ddtx(t).
3.4
Al igual que la velocidad media, la velocidad instantánea es un vector con dimensión de longitud por tiempo. La velocidad instantánea en un momento determinado t0t0 es la tasa de cambio de la función de posición, que es la pendiente de la función de posición x(t)x(t) en t0t0. La Figura 3.6 muestra cómo la velocidad media v–=ΔxΔtv–=ΔxΔt entre dos tiempos se aproxima a la velocidad instantánea en t0.t0. La velocidad instantánea se muestra en el tiempo t0t0, que resulta estar en el máximo de la función de posición. La pendiente del gráfico de posición es cero en este punto; por ende, la velocidad instantánea es cero. Para otros tiempos, t1,t2t1,t2, y así sucesivamente, la velocidad instantánea no es cero porque la pendiente del gráfico de posición sería positiva o negativa. Si la función de posición tuviera un mínimo, la pendiente del gráfico de posición también sería cero, lo que daría una velocidad instantánea de cero también allí. Así, los ceros de la función de velocidad dan el mínimo y el máximo de la función de posición.
Figura
3.6
En un gráfico de posición en función del tiempo, la velocidad instantánea es la pendiente de la línea tangente en un punto determinado. Las velocidades medias v–=ΔxΔt=xf−xitf−tiv–=ΔxΔt=xf−xitf−ti entre tiempos Δt=t6−t1,Δt=t5−t2,yΔt=t4−t3Δt=t6−t1,Δt=t5−t2,yΔt=t4−t3 se muestran. Cuando Δt→0Δt→0, la velocidad media se aproxima a la velocidad instantánea en t=t0t=t0.
Ejemplo
3.2
Encontrar la velocidad a partir de un gráfico de posición en función del tiempo
Dado el gráfico de posición en función del tiempo de la
Figura
3.7
El objeto comienza en la dirección positiva, se detiene brevemente y luego invierte la dirección, para dirigirse de nuevo hacia el origen. Observe que el objeto llega al reposo instantáneamente, lo que requeriría una fuerza infinita. Así, el gráfico es una aproximación al movimiento en el mundo real. (El concepto de fuerza se trata en las Leyes de movimiento de Newton ).
Dado el gráfico de posición en función del tiempo de la Figura 3.7 , halle el gráfico de velocidad en función del tiempo.
Estrategia
El gráfico contiene tres líneas rectas durante tres intervalos. Encontramos la velocidad durante cada intervalo al tomar la pendiente de la línea con la cuadrícula.
El gráfico contiene tres líneas rectas durante tres intervalos. Encontramos la velocidad durante cada intervalo al tomar la pendiente de la línea con la cuadrícula.
Solución
Intervalo de 0 s a 0,5 s:
v–=ΔxΔt=0,5m−0,0m0,5s−0,0s=1,0m/sv–=ΔxΔt=0,5m−0,0m0,5s−0,0s=1,0m/s
Intervalo de 0 s a 0,5 s:
Intervalo de 0,5 s a 1,0 s: v–=ΔxΔt=0,5m−0,5m1,0s−0,5s=0,0m/sv–=ΔxΔt=0,5m−0,5m1,0s−0,5s=0,0m/s
Intervalo de 1,0 s a 2,0 s: v–=ΔxΔt=0,0m−0,5m2,0s−1,0s=−0,5m/sv–=ΔxΔt=0,0m−0,5m2,0s−1,0s=−0,5m/s
El gráfico de estos valores de velocidad en función del tiempo se muestra en la Figura 3.8.
Figura
3.8
La velocidad es positiva durante la primera parte del recorrido, cero cuando el objeto se detiene y negativa cuando el objeto invierte su dirección.
Importancia
Durante el intervalo de 0 s a 0,5 s, la posición del objeto se aleja del origen y la curva de la posición en función del tiempo tiene una pendiente positiva. En cualquier punto de la curva durante este intervalo, podemos encontrar la velocidad instantánea al tomar su pendiente, que es de +1 m/s, como se muestra en la
Durante el intervalo de 0 s a 0,5 s, la posición del objeto se aleja del origen y la curva de la posición en función del tiempo tiene una pendiente positiva. En cualquier punto de la curva durante este intervalo, podemos encontrar la velocidad instantánea al tomar su pendiente, que es de +1 m/s, como se muestra en la Figura 3.8 . En el intervalo posterior, de 0,5 s a 1,0 s, la posición no cambia y vemos que la pendiente es cero. De 1,0 s a 2,0 s, el objeto retrocede hacia el origen y la pendiente es de -0,5 m/s. El objeto ha invertido su dirección y tiene una velocidad negativa.
Rapidez y velocidad son dos magnitudes cinemáticas que suelen confundirse con frecuencia.
Recuerda que la distancia recorrida y el desplazamiento efectuado por un móvil son dos magnitudes diferentes.
Precisamente por eso, cuando las relacionamos con el tiempo, también obtenemos dos magnitudes diferentes.
La rapidez es una magnitud escalar que relaciona la distancia recorrida con el tiempo.
La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición (o desplazamiento) con el tiempo.
Unidades
Tanto la rapidez como la velocidad se calculan dividiendo una longitud entre un tiempo, sus unidades también serán el cociente entre unidades de longitud y unidades de tiempo. Por ejemplo:
- m/s
- cm/año
- km/h
En el Sistema Internacional, la unidad para la rapidez media es el m/s (metro por segundo).
¿Cuál de las siguientes medidas representa una rapidez?
- 10 m
- 2 s/m
- 6 m/s
- 3 m/s²
¿Cuál de las siguientes medidas representa una rapidez?
- 10 m
- 2 s/m
- 6 m/s
- 3 m/s²
Solución:
La C porque es la única cuya unidad es una longitud entre un tiempo
.
La D no es porque su unidad es una longitud entre el cuadrado del tiempo.
Rapidez media
La rapidez media de un cuerpo es la relación entre la distancia que recorre y el tiempo que tarda en recorrerla. Si la rapidez media de un coche es 80 km/h, esto quiere decir que el coche coche recorre una distancia de 80 km en cada hora.
Decir que la rapidez media es la relación entre la distancia y el tiempo, es equivalente a decir que se trata del cociente entre la distancia y el tiempo.
Por ejemplo, si un coche recorre 150 km en 3 horas, su rapidez media es:
$$frac{150 km}{3h} = 50 frac{km}{h}$$
¿Podrías calcular la distancia que recorrería el coche anterior en media hora?
¿Podrías calcular la distancia que recorrería el coche anterior en media hora?
Solución:
Queremos calcular la distancia que recorrerá en media hora un coche que circula con una rapidez media de 50 km/h.
Como $$text{rapidez media} = frac{distancia}{tiempo} $$
si despejamos la distancia, será:
$$distancia = text{rapidez media} cdot tiempo = 50 km/h · 0,5 h = 25 km$$
$$distancia = text{rapidez media} cdot tiempo = 50 km/h · 0,5 h = 25 km$$
Velocidad media
$$frac{150 km}{3h} = 50 frac{km}{h}$$
La velocidad media relaciona el cambio de la posición con el tiempo empleado en efectuar dicho cambio.
$$text{velocidad media} = frac{Delta posición}{tiempo} = frac {desplazamiento}{tiempo}$$
$$text{velocidad media} = frac{Delta posición}{tiempo} = frac {desplazamiento}{tiempo}$$
Si conoces bien la diferencia entre distancia y desplazamiento, no tendrás problemas para realizar la siguiente actividad:
Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media y su velocidad media con los datos del gráfico. Una persona pasea desde A hasta B, retrocede hasta C y retrocede de nuevo para alcanzar el punto D. Calcula su rapidez media y su velocidad media con los datos del gráfico.
Solución:
Cálculo de la rapidez media
Tramo A – B
distancia recorrida = 350 m
tiempo empleado = 3 min
distancia recorrida = 350 mtiempo empleado = 3 min
Tramo B – C
distancia recorrida = 200 m
tiempo empleado = 2 min
distancia recorrida = 200 mtiempo empleado = 2 min
Tramo C – D
distancia recorrida = 450 m
tiempo empleado = 5 min
distancia recorrida = 450 mtiempo empleado = 5 min
Movimiento completo
distancia recorrida = 350 m + 200 m + 450 m = 1000 m
tiempo = 10 min
distancia recorrida = 350 m + 200 m + 450 m = 1000 mtiempo = 10 min
rapidez media = distancia/tiempo = 1000 m/10 min = 100 m/min
Cálculo de la velocidad media
Para la velocidad sólo nos interesa el inicio y el final del movimiento.
$$desplazamiento = text{posición final – posición inicial} = -100 m – 500 m = -600 m$$
$$desplazamiento = text{posición final – posición inicial} = -100 m – 500 m = -600 m$$
Como la duración del movimiento es 10 min, tenemos:
$$text{velocidad media} = frac{desplazamiento}{tiempo} = frac{-600m}{10 min} = -60 m/min$$
$$text{velocidad media} = frac{desplazamiento}{tiempo} = frac{-600m}{10 min} = -60 m/min$$
Velocidad instantánea y rapidez instantánea
Ya sabemos que si realizamos un viaje de 150 km y tardamos dos horas en recorrer esa distancia podemos decir que nuestra rapidez media ha sido de 75 km/h.
Es posible que durante el viaje nos hayamos detenido a echar gasolina o a tomar un bocadillo y sabemos que al atravesar las poblaciones hemos viajado más lento que en los tramos de carretera.
Nuestra rapidez, por tanto, no ha sido siempre de 75 km/h sino que en algunos intervalos ha sido mayor y en otros menor, incluso ha sido de 0 km/h mientras hemos estado detenidos.
Esto nos obliga a distinguir entre rapidez media y rapidez instantánea:
Rapidez instantánea: la rapidez en un instante cualquiera.
Rapidez media: es la media de todas las rapideces instantáneas y la calculamos dividiendo la distancia entre el tiempo.
Determinar con exactitud la rapidez instantánea de un cuerpo es una tarea complicada, aunque tenemos métodos para aproximarnos a su valor.
Supón que queremos conocer la rapidez de una piragua justamente en el instante de cruzar la meta.
Si la carrera es de 1000 m y recorre esa distancia en 40 s, obtendríamos un valor de 25 m/s para la rapidez media, pero sería una mala aproximación al valor de la rapidez instantánea. El problema es que la piragua se mueve más lentamente al principio de la carrera que al final.
Podemos entonces colocar una célula fotoeléctrica en la meta y otra 100 m antes para medir en tiempo que emplea en recorrer los últimos 100 m y calcular así la rapidez media en los últimos 100 m. El valor obtenido se aproximará más que antes al valor de la rapidez instantánea en el momento de cruzar la meta.
¿Y si hacemos lo mismo para el último metro, o para el último centímetro, o para….?
Se puede determinar la rapidez instantánea de un móvil calculando su rapidez media para un pequeño tramo y usando esta aproximación como rapidez instantánea.
Si al valor de la rapidez instantánea le unimos la dirección, entonces tendremos una medida de la velocidad instantánea.
Curiosamente lo que solemos conocer como velocímetro no mide la velocidad instantánea sino la rapidez instantánea ya que no nos dice nada acerca de la dirección en la que se mueve el vehículo en ese instante.
En resumen, rapidez y velocidad son dos magnitudes relacionadas con el movimiento que tienen significados y definiciones diferentes.
La rapidez, magnitud escalar, es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado.
La rapidez no tiene en cuenta la dirección. La velocidad sí que tiene en cuenta la dirección.
La velocidad es una magnitud vectorial que relaciona el desplazamiento o cambio de la posición con el tiempo.
Rapidez constante
Si un cuerpo se mueve y su rapidez instantánea es siempre la misma, se está moviendo con rapidez constante. Lo mismo podemos decir para la velocidad.
En este caso los valores medio e instantáneo de cada magnitud coinciden.
Dirección de la velocidad
Hemos dicho que para especificar la velocidad de un móvil necesitamos dos informaciones: su rapidez y su dirección. Hay muchas formas de especificar la dirección según que los movimientos sean de una, dos o tres dimensiones.
Por ejemplo, para los movimientos en un plano se suele expresar la dirección mediante un ángulo u otra referencia:
- Dirección: 30º
- Dirección: Norte
En el caso de los movimientos rectilíneos es mucho más sencillo. Las velocidades en el sentido positivo son positivas y las velocidades en el sentido negativo son negativas: el signo nos informa de la dirección.
Este signo es un convenio, así decimos que si un móvil se mueve hacia la derecha su velocidad es positiva y si se mueve hacia la izquierda es negativa o por ejemplo, consideramos positivo, hacia arriba y negativo, hacia abajo en los movimientos verticales.
Pero no hay ninguna razón para hacer esto, es simplemente un acuerdo.
¡El volante de un coche también es acelerador!
Es muy importante que conozcamos cuándo está cambiando la velocidad. Como la velocidad se compone de la rapidez y la dirección, cualquier cambio en ellas supone un cambio en la velocidad.
Así la velocidad varía si cambia la rapidez o cambia la dirección o, por supuesto, si cambian ambas.
Observa que esto supone que cuando un coche toma una curva, aunque su rapidez sea constante, está cambiando su velocidad.
La aceleración nos informa sobre los cambios en la velocidad de un móvil.
