Formula del trabajo

Te explicamos qué es el trabajo mecánico en física, sus características y la fórmula para calcularlo. Además, qué tipos existen y ejemplos.

trabajo mecanico

¿Qué es el trabajo mecánico?

En física, y más específicamente en la rama de la mecánica, se entiende por trabajo mecánico (o simplemente trabajo) a la acción de una fuerza sobre un cuerpo en reposo o movimiento, de modo tal que produzca un desplazamiento en el cuerpo proporcional a la energía invertida en la fuerza que lo mueve. Dicho de otro modo, el trabajo mecánico es la cantidad de energía transferida a un cuerpo por una fuerza que actúa sobre él.

El trabajo mecánico es una magnitud escalar, que se suele medir en el Sistema Internacional (SI) a través de joules o julios (J) y se representa con la letra W (del inglés Work, “Trabajo”). Además, se suele hablar de trabajo positivo o negativo dependiendo de si la fuerza le transfiere energía al objeto (trabajo positivo) o si se la resta (trabajo negativo). Así, por ejemplo, quien arroja una pelota realiza un trabajo positivo, mientras que quien la ataja realiza un trabajo negativo.

Ver además: Energía mecánica

Características del trabajo mecánico

El trabajo mecánico se caracteriza por:

  • Es una magnitud escalar, que se mide a través de julios (o sea, kilogramos por metro cuadrado entre segundo cuadrado) y se representa con la letra W.
  • Depende directamente de la fuerza que lo ocasiona, de modo tal que para existir trabajo mecánico en un cuerpo, debe haber una fuerza mecánica aplicada sobre él a lo largo de una trayectoria definida.
  • En el lenguaje corriente, se emplea el término “trabajo” para definir a aquella actividad mecánica cuya realización consume una cantidad de energía.
  • La transferencia de calor (energía calórica) no se considera una forma de trabajo, a pesar de que consista en una transferencia de energía.

Fórmula del trabajo mecánico

La fórmula más sencilla para calcular el trabajo de un cuerpo que es movido por una fuerza suele ser la siguiente:

W = F x d

donde W es el trabajo realizado, F la fuerza que actúa sobre el cuerpo y D es la distancia del desplazamiento sufrido por el cuerpo.

Sin embargo, fuerza y distancia suelen considerarse magnitudes vectoriales, que requieren de una orientación determinada en el espacio. Así, la fórmula anterior puede reformularse para incluir dicha orientación, de la siguiente manera:

W = F x d x cos𝛂

donde el coseno de alfa (cos𝛂) determina el ángulo que forman la dirección en que la fuerza se aplica y la dirección en que el objeto se mueve como resultado.

Tipos de trabajo mecánico

trabajo mecanico tipos

El trabajo mecánico puede ser de tres tipos, dependiendo de si se añade, resta o mantiene el nivel de energía en el cuerpo en movimiento. Así, podemos hablar de:

  • Trabajo positivo (W > 0). Ocurre cuando la fuerza aporta energía al objeto en cuestión, produciendo un desplazamiento en el mismo sentido en que se aplicó la fuerza. Un ejemplo de esto sería un jugador de golf que golpea una pelota con el palo y la hace sobrevolar varios metros, o el de un jugador de béisbol que batea una pelota en movimiento, modificando la trayectoria que traía.
  • Trabajo nulo (W = 0). Ocurre cuando la fuerza aplicada no produce desplazamiento alguno en el objeto, a pesar de que está consumiendo energía en el proceso. Un ejemplo de esto sería una persona que empuja un mueble muy pesado sin lograr que se desplace ni un milímetro.
  • Trabajo negativo (W < 0). Ocurre cuando la fuerza aplicada resta energía al objeto en cuestión, resistiéndose al movimiento que el objeto ya traía o reduciendo su desplazamiento. Un ejemplo de esto sería un jugador de béisbol que ataja la pelota arrojada por otro, impidiéndole seguir con su trayectoria; o una persona que se interpone ante un objeto que cae por una colina y aunque no logra detenerlo del todo, logra disminuir la velocidad de su caída.

Ejemplos de trabajo mecánico

Algunos ejemplos de trabajo mecánico son:

  • En un juego de fútbol, el árbitro cobra un penalti y Lionel Messi patea el balón en dirección al arco, con una fuerza de 500N, logrando que se desplace unos 15 metros sin tocar el suelo. ¿Cuánto trabajo realizó al marcar ese gol?

Respuesta: aplicando la fórmula W = F x d, tenemos que Messi realizó un trabajo de 500N x 15m, es decir, un trabajo equivalente a 7500 J.

  • Un tren avanza hacia el sur a toda máquina, directo hacia un auto atrapado en las vías. Un superhéroe, dándose cuenta del peligro, decide interponerse ante la locomotora y frenar su avance. Considerando que el tren trae consigo una fuerza de 20.000 N, que el superhéroe es invulnerable y que la locomotora está a 700 metros del auto atrapado, ¿de cuánto es el trabajo que debe hacer el superhéroe para frenarla?
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Respuesta: Dado que frenar la locomotora exige al menos 20.000 N en dirección contraria, y que al superhéroe le gustaría dejar un margen de al menos 2 metros entre la locomotora y el auto atrapado, sabemos que deberá aplicar un trabajo igual a 20.000 N x 698 m, es decir, un trabajo negativo de 13.960.000 J.

Sigue con: Potencia en física

Referencias

  • “Trabajo (física)” en Wikipedia.
  • “Trabajo mecánico y energía” en Amarauna (España).
  • “Mechanical Work: Examples and Applications” en Oxscience.

Objetivos de aprendizaje

Al final de esta sección, podrá:

  • Aplicar el teorema de trabajo-energía para encontrar información sobre el movimiento de una partícula, dadas las fuerzas que actúan sobre esta.
  • Utilizar el teorema de trabajo-energía para encontrar información sobre las fuerzas que actúan sobre una partícula, dada la información sobre su movimiento.

Hemos hablado de cómo calcular el trabajo que realizan en una partícula las fuerzas que actúan sobre esta, pero ¿cómo se manifiesta ese trabajo en el movimiento de la partícula? Según la segunda ley del movimiento de Newton, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, o la fuerza neta, determina la tasa de cambio del momento de la partícula, o su movimiento. Por lo tanto, debemos considerar el trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, o el trabajo neto, para ver qué efecto tiene sobre el movimiento de la partícula.

Empecemos por ver el trabajo neto realizado sobre una partícula en desplazamiento infinitesimal, que es el producto punto de la fuerza neta y el desplazamiento: dWneta=F→neta·dr→.dWneta=F→neta·dr→. La segunda ley de Newton establece que F→neta=m(dv→/dt),F→neta=m(dv→/dt), así que dWneta=m(dv→/dt)·dr→.dWneta=m(dv→/dt)·dr→. Para las funciones matemáticas que describen el movimiento de una partícula física, podemos reordenar las diferenciales dt, etc., como cantidades algebraicas en esta expresión, es decir,

dWneta=m(dv→dt)·dr→=mdv→·(dr→dt)=mv→·dv→,dWneta=m(dv→dt)·dr→=mdv→·(dr→dt)=mv→·dv→,

donde sustituimos la velocidad por la derivada de tiempo del desplazamiento y utilizamos la propiedad conmutativa del producto punto [Ecuación 2.30]. Ya que las derivadas e integrales de escalares probablemente le resulten más familiares en este punto, expresamos el producto punto en términos de coordenadas cartesianas antes de integrar entre dos puntos cualesquiera A y B en la trayectoria de la partícula. Esto nos da el trabajo neto realizado sobre la partícula:

Wneta,AB=∫AB(mvxdvx+mvydvy+mvzdvz)=12m|vx2+vy2+vz2|AB=|12mv2|AB=KB−KA.Wneta,AB=∫AB(mvxdvx+mvydvy+mvzdvz)=12m|vx2+vy2+vz2|AB=|12mv2|AB=KB−KA.

7.8

En el paso intermedio, utilizamos el hecho de que el cuadrado de la velocidad es la suma de los cuadrados de sus componentes cartesianos, y en el último paso, utilizamos la definición de la energía cinética de la partícula. Este importante resultado se denomina teorema de trabajo-energía (Figura 7.11).

Teorema de trabajo-energía

El trabajo neto realizado sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula:

Wneta=KB−KA.Wneta=KB−KA.

7.9

Fotografía de caballos halando un carro cargado en una feria.

Figura

7.11

La tracción de caballos es un evento común en las ferias estatales. El trabajo realizado por los caballos que halan de la carga da lugar a un cambio en la energía cinética de la carga, que, en última instancia, va más rápido (créditos: modificación del trabajo por «Jassen»/ Flickr).

Según este teorema, cuando un objeto desacelera, su energía cinética final es menor que su energía cinética inicial, el cambio en su energía cinética es negativo, y también lo es el trabajo neto realizado sobre este. Si un objeto se acelera, el trabajo neto realizado sobre este es positivo. Al calcular el trabajo neto, hay que incluir todas las fuerzas que actúan sobre un objeto. Si se omiten las fuerzas que actúan sobre un objeto, o si se incluyen las fuerzas que no actúan sobre este, se obtendrá un resultado erróneo.

La importancia del teorema de trabajo-energía, y de las posteriores generalizaciones a las que conduce, es que hace que algunos tipos de cálculos sean mucho más sencillos de realizar que si se tratara de resolver la segunda ley de Newton. Por ejemplo, en las Leyes de movimiento de Newton, calculamos la rapidez de un objeto que se desliza por un plano sin fricción al resolver la segunda ley de Newton para la aceleración y utilizar las ecuaciones cinemáticas para una aceleración constante, con lo que se obtiene

vf2=vi2+2g(sf−si)senθ,vf2=vi2+2g(sf−si)senθ,

donde s es el desplazamiento hacia abajo del plano.

También podemos obtener este resultado a partir del teorema de trabajo-energía en la Ecuación 7.1. Como únicamente actúan dos fuerzas sobre el objeto, la gravedad y la fuerza normal, y la fuerza normal no realiza ningún trabajo, el trabajo neto es solo el realizado por la gravedad. El trabajo dW es el producto punto de la fuerza de gravedad o F→=−mgj^F→=−mgj^ y el desplazamiento dr→=dxi^+dyj^dr→=dxi^+dyj^. Tras tomar el producto punto e integrar desde una posición inicial yiyi a una posición final yfyf, se calcula el trabajo neto como

Wneta=Wgrav=−mg(yf-yi),Wneta=Wgrav=−mg(yf-yi),

donde la y es positiva hacia arriba. El teorema de trabajo-energía señala que esto es igual al cambio de energía cinética:

-mg(yf-yi)=12m(vf2-vi2).-mg(yf-yi)=12m(vf2-vi2).

Si utilizamos un triángulo rectángulo, podemos ver que (yf-yi)=(sf-si)senθ,(yf-yi)=(sf-si)senθ, para que el resultado de la rapidez final sea el mismo.

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¿Qué se gana con el teorema de trabajo-energía? La respuesta es que para una superficie plana sin fricción, no mucho. Sin embargo, la segunda ley de Newton es fácil de resolver solo para este caso en particular, mientras que el teorema de trabajo-energía da la rapidez final para cualquier superficie sin fricción. En el caso de una superficie curva arbitraria, la fuerza normal es inconstante, y la segunda ley de Newton puede ser difícil o imposible de resolver analíticamente. Constante o no, para el movimiento a lo largo de una superficie, la fuerza normal nunca hace ningún trabajo, porque es perpendicular al desplazamiento. El cálculo mediante el teorema de trabajo-energía evita esta dificultad y se aplica a situaciones más generales.

Estrategia de Resolución De Problemas

Teorema de trabajo-energía

  1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada fuerza sobre el objeto.
  2. Determine si cada fuerza realiza o no un trabajo sobre el desplazamiento en el diagrama. Mantenga cualquier signo positivo o negativo en el trabajo realizado.
  3. Sume la cantidad total de trabajo realizado por cada fuerza.
  4. Establezca este trabajo total igual al cambio de energía cinética y resuelva para cualquier parámetro desconocido.
  5. Compruebe sus respuestas. Si el objeto se desplaza a una rapidez constante o a una aceleración cero, el trabajo total realizado debería ser cero y coincidir con el cambio de energía cinética. Si el trabajo total es positivo, el objeto debe haber acelerado o aumentado su energía cinética. Si el trabajo total es negativo, el objeto debe haber disminuido su velocidad o su energía cinética.

Ejemplo

7.9

Completar el círculo

La pista sin fricción para un auto de juguete consta de un

giro circular

de radio R. ¿A qué altura, medida desde la parte inferior del círculo, debe colocarse el auto para partir del reposo en la sección de pista que se aproxima y dar toda la vuelta al círculo?Una pista desciende hasta el suelo, forma un bucle circular de radio R y luego continúa horizontalmente a nivel del suelo. El punto 1 está antes del círculo, cerca del inicio de la pista en la elevación y sub 1 sobre el suelo. El punto 2 está en la parte superior del círculo, en la elevación y sub 2 = 2 R. En el punto 2 hay 2 fuerzas, N y m g. Ambas fuerzas apuntan verticalmente hacia abajo.

Figura

7.12

Una pista sin fricción para un auto de juguete tiene un giro circular completo. ¿A qué altura debe arrancar el auto para que pueda dar la vuelta al círculo sin caerse?

La pista sin fricción para un auto de juguete consta de unde radio R. ¿A qué altura, medida desde la parte inferior del círculo, debe colocarse el auto para partir del reposo en la sección de pista que se aproxima y dar toda la vuelta al círculo?

Estrategia

El diagrama de cuerpo libre en la posición final del objeto se dibuja en la

–mg(y2-y1)=12mv22,–mg(y2-y1)=12mv22,

El diagrama de cuerpo libre en la posición final del objeto se dibuja en la Figura 7.12 . El trabajo gravitacional es el único trabajo realizado sobre el desplazamiento que no es cero. Dado que el peso apunta en la misma dirección que el desplazamiento vertical neto, el trabajo total realizado por la fuerza gravitacional es positivo. A partir del teorema de trabajo-energía, la altura inicial determina la rapidez del auto en la parte superior del círculo,

donde la notación se muestra en la figura adjunta. En la parte superior del círculo, la fuerza normal y la gravedad están abajo y la aceleración es centrípeta, por lo que

asuperior=Fm=N+mgm=v22R.asuperior=Fm=N+mgm=v22R.

La condición para mantener el contacto con la pista es que haya alguna fuerza normal, por mínima que sea; es decir, N>0N>0. Sustituyendo por v22v22 y N, podemos encontrar la condición para y1y1.

Solución

Aplique los pasos de la estrategia para llegar al resultado deseado:

N=-mgR+mv22R=-mg+2mg(y1-2R)R>0 o y1>5R2.N=-mgR+mv22R=-mg+2mg(y1-2R)R>0 o y1>5R2.

Aplique los pasos de la estrategia para llegar al resultado deseado:

Importancia

En la superficie del círculo, el componente normal de la gravedad y la fuerza normal de contacto deberán proporcionar la aceleración centrípeta del auto que da la vuelta al círculo. El componente tangencial de la gravedad frena o acelera el auto. Un niño averiguaría a qué altura arrancar el auto por ensayo y error, pero ahora que conoce el de teorema de trabajo-energía, puede predecir la altura mínima (así como otros resultados más útiles) a partir de principios físicos. Al utilizar el teorema de trabajo-energía, no ha tenido que resolver ninguna ecuación diferencial para determinar la altura.

En la superficie del círculo, el componente normal de la gravedad y la fuerza normal de contacto deberán proporcionar la aceleración centrípeta del auto que da la vuelta al círculo. El componente tangencial de la gravedad frena o acelera el auto. Un niño averiguaría a qué altura arrancar el auto por ensayo y error, pero ahora que conoce el de teorema de trabajo-energía, puede predecir la altura mínima (así como otros resultados más útiles) a partir de principios físicos. Al utilizar el teorema de trabajo-energía, no ha tenido que resolver ninguna ecuación diferencial para determinar la altura.

Compruebe Lo Aprendido

7.7

Supongamos que el radio del giro circular en el Ejemplo 7.9 es de 15 cm y que el auto de juguete parte del reposo a una altura de 45 cm sobre la parte inferior. ¿Cuál es su rapidez en la parte superior del círculo?

Interactivo

Visite el sitio web de Carleton College para ver un vídeo de una montaña rusa con círculos completos.

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En situaciones en las que se conoce el movimiento de un objeto, pero se desconocen los valores de una o más de las fuerzas que actúan sobre este, se puede utilizar el teorema de trabajo-energía para obtener alguna información sobre las fuerzas. El trabajo depende de la fuerza y de la distancia sobre la que actúa, por lo que la información se proporciona a través de su producto.

Ejemplo

7.10

Determinación de la fuerza de detención

Una bala tiene una masa de 40 granos (2,60 g) y una velocidad de salida de 1.100 pies/s (335 m/s). Puede penetrar ocho tablas de pino de 1 pulgada, cada una con un grosor de 0,75 pulgadas. ¿Cuál es la fuerza media de detención ejercida por la madera, como se muestra en la En la figura a, una bala se mueve horizontalmente a una velocidad de 335 metros por segundo hacia un conjunto de 8 tablas, dispuestas en una pila horizontal. En la figura b, la bala ha atravesado la pila de tablas y se ha detenido en el extremo de la última tabla. La distancia de detención se indica como la anchura de la pila de tablas.

Figura

7.13

Las tablas ejercen una fuerza para detener la bala. Como resultado, las tablas hacen trabajo y la bala pierde energía cinética.

Una bala tiene una masa de 40 granos (2,60 g) y una velocidad de salida de 1.100 pies/s (335 m/s). Puede penetrar ocho tablas de pino de 1 pulgada, cada una con un grosor de 0,75 pulgadas. ¿Cuál es la fuerza media de detención ejercida por la madera, como se muestra en la Figura 7.13

Estrategia

Podemos suponer que, en las condiciones generales expuestas, la bala pierde toda su energía cinética al penetrar en las tablas, por lo que el teorema de trabajo-energía señala que su energía cinética inicial es igual a la fuerza media de detención por la distancia penetrada. El cambio en la energía cinética de la bala y el trabajo neto realizado para detenerla son ambos negativos, así que cuando escribe el teorema de trabajo-energía, con el trabajo neto igual a la fuerza media por la distancia de detención, eso es lo que obtiene. El espesor total de ocho tablas de pino de 1 pulgada que la bala penetra es

8×34in.=6in.=15,2cm.8×34in.=6in.=15,2cm.

Podemos suponer que, en las condiciones generales expuestas, la bala pierde toda su energía cinética al penetrar en las tablas, por lo que el teorema de trabajo-energía señala que su energía cinética inicial es igual a la fuerza media de detención por la distancia penetrada. El cambio en la energía cinética de la bala y el trabajo neto realizado para detenerla son ambos negativos, así que cuando escribe el teorema de trabajo-energía, con el trabajo neto igual a la fuerza media por la distancia de detención, eso es lo que obtiene. El espesor total de ocho tablas de pino de 1 pulgada que la bala penetra es

Solución

Si aplicamos el teorema de trabajo-energía, obtenemos

Wneta=-FaveΔsdetención=-Kinicial,Wneta=-FaveΔsdetención=-Kinicial,

Si aplicamos el teorema de trabajo-energía, obtenemos

entonces

Fave=12mv2Δsdetención=12(2,6×10−3kg)(335m/s)20,152m=960N.Fave=12mv2Δsdetención=12(2,6×10−3kg)(335m/s)20,152m=960N.

Importancia

Podríamos haber utilizado la segunda ley de Newton y la cinemática en este ejemplo, pero el teorema de trabajo-energía también proporciona una respuesta a situaciones menos sencillas. La penetración de una bala, disparada verticalmente hacia arriba en un bloque de madera, se analiza en una sección del reciente artículo de Asif Shakur [«Bullet-Block Science Video Puzzle» (Video rompecabezas de ciencia con bloque y bala) The Physics Teacher (El Profesor de Física) (enero de 2015) 53(1): 15-16]. Si la bala se dispara centrada en el bloque, pierde toda su energía cinética y penetra ligeramente más lejos que si se dispara descentrada. La razón es que si la bala impacta descentrada, tiene un poco de energía cinética después de dejar de penetrar, porque el bloque gira. El teorema de trabajo-energía implica que un menor cambio en la energía cinética da lugar a una menor penetración. Entenderá mejor la física de este interesante artículo cuando termine de leer

Podríamos haber utilizado la segunda ley de Newton y la cinemática en este ejemplo, pero el teorema de trabajo-energía también proporciona una respuesta a situaciones menos sencillas. La penetración de una bala, disparada verticalmente hacia arriba en un bloque de madera, se analiza en una sección del reciente artículo de Asif Shakur [«Bullet-Block Science Video Puzzle» (Video rompecabezas de ciencia con bloque y bala) The Physics Teacher (El Profesor de Física) (enero de 2015) 53(1): 15-16]. Si la bala se dispara centrada en el bloque, pierde toda su energía cinética y penetra ligeramente más lejos que si se dispara descentrada. La razón es que si la bala impacta descentrada, tiene un poco de energía cinética después de dejar de penetrar, porque el bloque gira. El teorema de trabajo-energía implica que un menor cambio en la energía cinética da lugar a una menor penetración. Entenderá mejor la física de este interesante artículo cuando termine de leer Momento angular

Interactivo

Aprenda más sobre el trabajo y la energía en esta simulación de PhET llamada «la rampa». Intente cambiar la fuerza que empuja la caja y la fuerza de fricción a lo largo de la pendiente. Los gráficos de trabajo y energía pueden examinarse para observar el trabajo total realizado y el cambio en la energía cinética de la caja.

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