Funciones Logarítmicas

Objetivos

Al concluir esta lección, deberás ser capaz de:

• Identificar funciones logarítmicas.
• Representar funciones logarítmicas como tablas.
• Representar funciones logarítmicas como gráficas.
• Representar funciones logarítmicas como fórmulas.
• Resolver problemas utilizando funciones logarítmicas.
• Reconocer el dominio y campo de valores de las funciones logarítmicas.

Introducción

En la lección de Inversas de Funciones , vimos que un función inversa f-1 deshace el efecto de f sobre la variable de entrada de tal forma que al componerlas se comporten como una función identidad.

Ejemplo 1:

Si f ( x ) = 3 x , la función f-1 , es tal que:

La fórmula para f-1 es f – 1 x = x 3

Ejemplo 2:

Si f ( x ) = x 3 , la función f-1 , es tal que:

La fórmula para f-1 es f – 1 x = x 13

Ejemplo 3:

Si f x = 3x , la función f-1 , es tal que:

Todavía no conocemos una fórmula para esta función f-1 en particular. En esta lección vamos a conocer una nueva familia de funciones que se llaman logaritmos. Esa familia son las inversas de las funciones exponenciales.

Definición

 

La función f x = loga x , se lee logaritmo en base a de x, se puede definir como la inversa de f x = a x

Ejemplos:

1. La función f x = log2 x , es la inversa de f x = 2 x

2. La función f x = log 3 x , es la inversa de f x = 3 x

3. La función f x = log 7 x , es la inversa de f x = 7 x

4. La función f x = log x , es la inversa de f x = 10 x , cuando no se escribe la base se asume que es base 10.

5. La función f x = ln x , es la inversa de f x = e x , la inversa de la función exponencial con base e se conoce como logaritmo natural.

Representar Funciones Logarítmicas con Tablas

En la lección de Inversas de Funciones , aprendimos que:

Siguiendo esta definición es sencillo construir una tabla para la inversa de una función, pues si (a,b) está en la tabla de f siginifica que (b,a) está en la tabla de f-1.

Ejemplo 1:

Encontrar una tabla de valores para f x = log2 x

Solución:

Sabemos que la función f x = log 2 x es la inversa de f x = 2 x

Una tabla de valores de f x = 2 x es:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 f x = 2 x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8

Entonces, una tabla de valores de f-1 x = log 2 x es:

x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 f – 1 x = log 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3

Ejemplo 2:

Encontrar una tabla de valores para f x = log 3 x

Solución:

La función f x = log 3 x , es la inversa de f x = 3 x

Una tabla de valores de f x = 3 x es:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 f x = 3 x 1 27 1 9 1 3 1 3 9 27

Entonces, una tabla de valores de f-1 x = log 3 x es:

x 1 27 1 9 1 3 1 3 9 27 f – 1 x = log 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3

Ejemplo 3:

Encontrar una tabla de valores para f x = log x

Solución:

La función f x = log x , es la inversa de f x = 10 x

Una tabla de valores de f x = 10 x es:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 f x = 10 x 1 1000 1 100 1 10 1 10 100 1000

Entonces, una tabla de valores de f-1 x = log x es:

x 1 1000 1 100 1 10 1 10 100 1000 f – 1 x = log x -3 -2 -1 0 1 2 3

Ejemplo 4:

Encontrar una tabla de valores para f x = ln x

Solución:

La función f x = ln x , es la inversa de f x = e x

Una tabla de valores de f x = e x es:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 f x = e x e -3 e -2 e -1 1 e e 2 e 3

Entonces, una tabla de valores de f-1 x = ln x es:

x e -3 e -2 e -1 1 e e 2 e 3 f – 1 x = ln x -3 -2 -1 0 1 2 3

Representar Funciones Logarítmicas con Gráficas

En la lección de Inversas de Funciones , vimos cómo obtener la función inversa de f – 1 a partir de la gráfica de f .

Ejemplo 1:

Encontrar la gráfica de la inversa de la función exponencial f x = 2 x representada en la siguiente figura:

Solución:

Sabemos que la inversa de f x = 2 x es f-1 x = log 2 x . Para graficar f-1 x = log 2 x , ubiquemos algunos puntos en la gráfica y construyamos una tabla:

x -1 0 1 2 3 4 f x = 2 x 1 2 1 2 4 8 16

De la tabla anterior, obtenemos la tabla que corresponde a f – 1 partir de esta tabla, trazamos la gráfica correspondiente:

x 1 2 1 2 4 8 16 log 2 x -1 0 1 2 3 4

La figura a la derecha muestra la gráfica de la función inversa en rojo, la función f en azul.

Note que las gráficas son simétricas con respecto a la recta y=x por ser funciones inversas.

Ejemplo 2:

Encontrar la gráfica de la inversa de la función exponencial f x = 3 x representada en la siguiente figura:

Solución:

Sabemos que la inversa de f x = 3 x es f-1 x = log 3 x . Para graficar f-1 x = log 3 x , ubiquemos algunos puntos en la gráfica y construyamos una tabla:

x -1 0 1 2 3 f x = 3 x 1 3 1 3 9 27

De la tabla anterior, obtenemos la tabla que corresponde a f – 1 partir de esta tabla, trazamos la gráfica correspondiente:

x 1 3 1 3 9 27 log 3 x -1 0 1 2 3

La figura a la derecha muestra la gráfica de la función inversa en rojo, la función f en azul.

Note que las gráficas son simétricas con respecto a la recta y=x por ser funciones inversas.

Ejemplo 3:

Encontrar la gráfica de la inversa de la función exponencial f x = 12 x representada en la siguiente figura:

Solución:

Sabemos que la inversa de f x = 12 x es f-1 x = log 12 x . Para graficar f-1 x = log 12 x , ubiquemos algunos puntos en la gráfica y construyamos una tabla:

x -2 -1 0 1 2 f x = 12 x 4 2 1 1 2 1 4

De la tabla anterior, obtenemos la tabla que corresponde a f – 1 partir de esta tabla, trazamos la gráfica correspondiente:

x 4 2 1 1 2 1 4 log 12 x -2 -1 0 1 2

La figura a la derecha muestra la gráfica de la función inversa en rojo, la función f en azul.

Note que las gráficas son simétricas con respecto a la recta y=x por ser funciones inversas.

Representar Funciones Logarítmicas con Fórmulas

Ejemplo 1:

Encontrar la fórmula para el conjunto de puntos que satisface y = log 2 x

Solución:

Sabemos que la inversa log 2 x es la inversa de f x = 2 x .

Por otro lado, en la lección de Inversas de Funciones, aprendimos que si la función f es 1:1, al intercambiar x con y en y=f(x), obtenemos la relación para los puntos (x,y) que satisfacen f – 1

Intercambiando x con y, en y = 2 x obtenemos la relación para los puntos (x,y) que satisfacen f – 1 x = log 2 x

En conclusión:

El conjunto de puntos que satisfacen y = log 2 x y x = 2 y es el mismo.

Ejemplo 2:

Encontrar la fórmula para el conjunto de puntos que satisface y = log 5 x

Solución:

Sabemos que la inversa log 5 x es la inversa de f x = 5 x .

Intercambiando x con y, en y = 5 x obtenemos la relación para los puntos (x,y) que satisfacen f – 1 x = log 5 x

En conclusión:

El conjunto de puntos que satisfacen y = log 5 x y x = 5 y es el mismo.

Ejemplo 3:

Encontrar la fórmula para el conjunto de puntos que satisface y = ln x

Solución:

Sabemos que la inversa ln x es la inversa de f x = e x .

Intercambiando x con y, en y = e x obtenemos la relación para los puntos (x,y) que satisfacen f – 1 x = ln x

En conclusión:

El conjunto de puntos que satisfacen y = ln x y x = e y es el mismo.

El conjunto de puntos que satisfacen y = log a x y x = a y es el mismo.

Evaluar Expresiones Logarítmicas

Ejemplos:

Hallar el valor de las siguientes expresiones logarítmicas:

1. log 2 8

   Sabemos que y = log 2 x y x = 2 y son equivalentes.

   Entonces, y = log 2 8 y 8 = 2 y son equivalentes.

   8 = 2 y es cierto cuando y = 3, por ende, y = log 2 8 también es cierto cuando y = 3

   Por lo tanto: log 2 8 = 3

2. log 4 64

   Sabemos que y = log 4 x y x = 4 y son equivalentes.

   Entonces, y = log 4 64 y 64 = 4 y son equivalentes.

   64 = 4 y es cierto cuando y = 3, por ende, y = log 4 64 también es cierto cuando y = 3

   Por lo tanto: log 4 64 = 3

3. log 9 9

   Sabemos que y = log 9 x y x = 9 y .

   Entonces, y = log 9 9 y 9 = 9 y son equivalentes.

   9 = 9 y es cierto cuando y = 1, por ende, y = log 9 9 también es cierto cuando y = 1

   Por lo tanto: log 9 9 = 1

4. log 3 1

   Sabemos que y = log 3 x y x = 3 y son equivalentes.

   Entonces, y = log 3 1 y 1 = 3 y son equivalentes.

   1 = 3 y es cierto cuando y = 0, por ende, y = log 3 1 también es cierto cuando y = 0

   Por lo tanto: log 3 1 = 0

Hallar el valor de a en las siguientes expresiones:

1. 3 = log 3 a

   Sabemos que y = log 3 x y x = 3 y son equivalentes.

   Entonces, 3 = log 3 a y a = 3 3 son equivalentes.

   a = 33 es cierto cuando a = 27, por ende, 3 = log 3 a también es cierto cuando a = 27

   Por lo tanto: a = 27

2. 2 = log 4 a

   Sabemos que y = log 4 x y x = 4 y son equivalentes.

   Entonces, 2 = log 4 a y a = 4 2 son equivalentes.

   a = 4 2 es cierto cuando a = 16, por ende, 2 = log 4 a también es cierto cuando a = 16

   Por lo tanto: a = 16

3. 4 = log a 16

   Sabemos que y = log a x y x = a y son equivalentes.

   Entonces, 4 = loga 16 y 16 = a 4 son equivalentes.

   16 = a4 es cierto cuando a = 2, por ende, 4 = log a 16 también es cierto cuando a = 2

   Por lo tanto: a = 2

4. 3 = log a 1000

   Sabemos que y = log a x y x = a y son equivalentes.

   Entonces, 3 = loga 1000 y 1000 = a 3 son equivalentes.

   1000 = a3 es cierto cuando a = 10, por ende, 3 = log a 1000 también es cierto cuando a = 10

   Por lo tanto: a = 10

Dominio y Campo de Valores de Funciones Logarítmicas

Ejemplo 1:

Encontrar el dominio y rango de la función f x = log 2 x

Solución

Hemos visto que la tabla y la gráfica correspondientes a al f x = log 2 x son las siguientes:

x 1 8 1 4 1 2 1 2 4 8 f x = log 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3

 

De la gráfica obtenemos que:

El dominio de f x = log 2 x es { x tal que x > 0}

El rango de f x = log 2 x es { x tal que x es un número real}

 

Ejemplo 2:

Encontrar el dominio y rango de la función f x = log 3 x

Solución

Hemos visto que la tabla y la gráfica correspondientes a al f x = log 3 x son las siguientes:

x 1 27 1 9 1 3 1 3 9 27 f x = log 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3

 

De la gráfica obtenemos que:

El dominio de f x = log 3 x es { x tal que x > 0}

El rango de f x = log 3 x es { x tal que x es un número real}

Ejemplo 3:

Encontrar el dominio y rango de la función f x = log 1 2 x

Solución

Hemos visto que la tabla y la gráfica correspondientes a al f x = log 1 2 x son las siguientes:

x 4 2 1 1 2 1 4 log 1 2 x -2 -1 0 1 2

 

A partir de la gráfica obtenemos que:

El dominio de f x = log 1 2 x es { x tal que x > 0}

El rango de f x = log 1 2 x es { x tal que x es un número real}

Ejemplo 3:

Encontrar el dominio y rango de la función f x = log 1 10 x

Solución

Usando los métodos antes vistos, podemos construir la tabla de la función f x = log 1 10 x . La tabla y la gráfica correspondientes a f x = log 1 10 x son las siguientes:

x 100 10 1 1 10 1 100 log 1 10 x -2 -1 0 1 2

 

De la gráfica obtenemos que:

El dominio de f x = log 1 10 x es { x tal que x > 0}

El rango de f x = log 1 10 x es { x tal que x es un número real}

Ejemplo:

En el siguiente applet podrás observar diferentes ejemplos en los cuales se ilustra como la función logarímica es la inversa de la función exponencial. si no sirve

Resumen

Ahora que has completado esta lección, eres capaz de:

• Identificar funciones logarítmicas.
• Representar funciones logarítmicas como tablas.
• Representar funciones logarítmicas como gráficas.
• Representar funciones logarítmicas como fórmulas.
• Resolver problemas utilizando funciones logarítmicas.
• Reconocer el dominio y campo de valores de las funciones logarítmicas.