Dentro de las funciones algebraicas podemos nombrar a las funciones polinómicas. Dichas funciones tienen una gran aplicación en la preparación de modelos que representan fenómenos reales, tales como la distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión, etc. Etc. La regla de correspondencia de la función polinómica es un polinomio. Si el grado de un polinomio es el exponente mayor de la variable, podemos hablar de una función polinómica de grado n.
Llamamos a una función polinómica de grado n, si tiene la forma :
en donde n es un entero positivo.
La función constante se define por medio de la expresión:
F(x)= K
En esta función, k es un número real diferente de cero.
Las funciones polinómicas de primer grado e darían como:
f(x) = mx +n
Su gráfica sería una recta oblicua, que quedaría definida por dos puntos de la función. A este tipo de función corresponderían los tipos de funciones como, función afín, función lineal y función identidad.
La función afín es del tipo:
y = mx + n
m sería la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Veamos un ejemplo:
La función lineal corresponde a un polinomio de primer grado cuyo contradominio coincide con el dominio, o sea con R. Su gráfica sería una línea recta donde m representa la pendiente de ella, y k representa el punto donde ésta se intersecta con el eje y”. La función lineal se definiría entonces como una expresión de la forma:
En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polinómica cuyos elementos son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de una variable x es una solución y a la ecuación
a n ( x ) y n + a n − 1 ( x ) y n − 1 + ⋯ + a 0 ( x ) = 0 {displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+cdots +a_{0}(x)=0,}
donde los coeficientes a(x) son funciones polinómicas de x. Una función que no es algebraica es denominada una función trascendente.
Precisiones
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En términos más precisos, una función algebraica puede no ser estrictamente una función, por lo menos no en el sentido convencional. Por ejemplo sea la ecuación de una circunferencia trigonométrica:
x 2 + y 2 = 1 {displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}
La misma determina y, excepto por su signo:
y = ± 1 − x 2 {displaystyle y=pm {sqrt {1-x^{2}}},}
Sin embargo, se considera que ambas ramas pertenecen a la «función» determinada por la ecuación polinómica.
Una función algebraica de n variables es definida en forma similar a la función y que es solución de la ecuación polinómica en n + 1 variables:
p ( y , x 1 , x 2 , … , x n ) = 0 {displaystyle p(y,x_{1},x_{2},dots ,x_{n})=0,}
Normalmente se supone que p debe ser un polinomio irreducible. La existencia de una función algebraica es asegurada por el teorema de la función implícita.
Formalmente, una función algebraica de n variables en el cuerpo K es un elemento del cierre algebraico del cuerpo de las funciones racionales K(x1,…,xn). Para poder comprender a las funciones algebraicas como funciones, es necesario incorporar ideas relativas a las superficies de Riemann o en un ámbito más general sobre variedades algebraicas, y teoría de haces.Entre las funciones algebraicas se encuentran las funciones racionales y las funciones irracionales.
Función racional
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Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:
f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) {displaystyle f(x)={frac {{text{P}}(x)}{{text{Q}}(x)}}}
donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo (En el caso de que el polinomio P sea nulo, tampoco sería una función racional, pues no se podría considerar la razón entre dos polinomios). Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador 1.Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos. Un ejemplo simple de función racional es la función homográfica, donde los grados de los dos polinomios es igual a 1.
Función irracional
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Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical.
f ( x ) = 2 x + 4 {displaystyle f(x)={sqrt {2x+4}}}
Las características generales de estas funciones en el conjunto de los números reales ( ℜ {displaystyle Re } 
a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o igual que cero.
b) Si el índice del radical es impar, el dominio son los valores para los que el radicando tiene dominio, es decir que no hay restricciones de dominio para radicales con índice impar.
c) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.
Función «valor absoluto»
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En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo; sea este positivo (+) o negativo (–). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de –3.El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Véase también
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Referencias
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- Complex Analysis. McGraw Hill.Ahlfors, Lars (1979).. McGraw Hill.
-
van der Waerden, B.L. Modern Algebra, Volume II. =1931.
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x – 2
Funciones implícitas
En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x – y – 2 = 0
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Su dominio es 
, es decir, cualquier número real tiene imagen.
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
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Las funciones algebraicas es un tipo de regla que relaciona un conjunto de valores (valores independientes, “x”) con otro conjunto de valores (valores dependientes, “y”) a través de una ecuación algebraica.
Es decir, a una ecuación algebraica (y = axn + bx + c) se van proporcionando valores (x) y luego de realizar las operaciones obtenemos valores “y”.
Pero antes de entrar de lleno en el estudio de las funciones algebraicas, es necesario repasar lo que es el plano cartesiano, debido a la relación que existe entre las funciones algebraicas y su representación geométrica en este plano.
PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano (también llamado eje de coordenadas) es un sistema bidimensional constituido por 2 líneas rectas perpendiculares entre ellas. La resta horizontal se le llama eje “x” o eje de las abscisas y la recta vertical se le llama eje “y” o eje de las ordenadas.
Gráficamente se representa por la siguiente figura:
El plano cartesiano está constituido por el conjunto de puntos (a, b) donde:
“a” es el valor del punto que toma sobre sobre el eje “x” o eje de las abscisas.
“b” es el valor punto que toma sobre el “y” o eje de las ordenadas.
FUNCIÓN ALGEBRAICA
Una función algebraica es la relación que hay entre un variable y otra, dando como resultado un conjunto de pares de valores (x, y), donde “x” siempre debe ser diferente. Es decir, para cada valor de x, debe existir solo un valor de “y” cualquiera que este sea.
Cualquier función algebraica se puede representar de la siguiente manera:
Que se puede leer, “e igual a f de x” o “y es igual a la función de x”.
Recuerda que f(x) es un conjunto de operaciones que se tienen que realizar sobre “x” para obtener el valor aritmético de “y”.
Esta relación se expresa de la forma y = f(x), donde “x” llamada la variable independiente va tomando valores que nosotros le asignemos, y “y” llamada la variable dependiente, va adquiriendo valores según la relación que se haya construido con “x”.
Ejemplos:
1.- Los valores (2,5), (3,6), (4,7), (5,8) representan a una función, ya que para todos los elementos “x” son diferentes
2.- Los valores; (1,1), (1, -1), (4,2), (5,8) NO representan a una función porque existen valores “x” que tienen valores “y” diferentes.
3.- 2x = y
donde “x” puede ser cualquier número y “y” será el doble de ese número.
Esta funcione tiene un conjunto de valores como, por ejemplo: (0,0), (1,1), (2,4), (3,6) etc.
4.- y = x + 5
Aunque se haya cambiado el lado de las variables siguen representando la misma función, “x” tomará los valores que le proporcionemos nosotros y “y” será 5 unidades mayor a ese número, esta función tendrá un conjunto de valores de esta forma: (0,5), (1,6), (-1,4), (2,7) etc.
NOTA IMPORTANTE: DIFERENCIA ENTRE RELACIÓN Y FUNCIÓN
Las ecuaciones algebraicas pueden dar como resultado dos tipos de relaciones:
1.- Las relaciones algebraicas
2.- Las funciones algebraicas
LAS RELACIONES ALGEBRAICAS
Las relaciones generales son donde un valor “x” puede tener uno o más valores “y”.
Ejemplo: La ecuación de un círculo es de este tipo de relaciones, ya que a cada valor “x” le corresponden 2 valores “y”.
LAS FUNCIONES ALGEBRAICAS
Las funciones algebraicas son las relaciones donde un valor “x” solo puede tener un valor “y”. Este tipo de relaciones son llamadas funciones.
VALOR DE UNA FUNCIÓN
El valor de una función es el resultado de sustituir el valor dado de “x” (variable independiente) y obtener el valor numérico de “y”.
EJEMPLOS
1.- ¿Cuál es el valor de la función cuando x = 3?
Sustituyendo x tenemos:
