La fórmula de integral de sec es:
displaystyle int sec u cdot du = log left(sec u + tan uright)
De tantas integrales trigonométricas, a continuación veremos unos ejemplos para la integral de la secante:
Ejemplo 1. Integral de la secante de x
displaystyle int sec x dx
La integral de secante se puede deducir si sabes algunas fórmulas de derivación, en seguida vamos a ver la manera de cómo llegar al resultado de log left( sec x + tan x right) con las fórmulas de las derivadas. ¡Empecemos!
Para empezar con esta integral, hay un truco muy poderoso que nos permite resolverla, vamos a multiplicar el sec x por una fracción que contiene sec x + tan x en el denominador y en el numerador.
displaystyle int sec x cfrac{sec x + tan x}{sec x + tan x} dx
Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:
displaystyle int cfrac{sec^{2}x + sec x tan x}{sec x + tan x} dx
Seguidamente nombraremos u a sec x + tan x y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de sec x es igual a sec x tan x y la derivada de tan x es igual a sec^{2} x:
u = sec x + tan x
du = left(sec x tan x + sec^{2} xright) dx
Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:
displaystyle int cfrac{1}{u} du
Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:
displaystyle int cfrac{1}{u} du = log (u)
Finalmente sustituimos el u para obtener nuestro resultado final:
logleft(sec x + tan x right)
Ejemplo 2. Integral de secante de 2x
displaystyle int sec (2x) dx
El proceso de resolución es muy parecido al del ejemplo anterior, vamos a empezar.
Comencemos reemplazando 2x por v, luego derivamos y despejamos:
dv = 2 dx
cfrac{dv}{2} = dx
Sustituimos en la integral 2x por v y dx por frac{dv}{2}:
displaystyle int sec v cfrac{dv}{2}
Aplicando propiedades de las integrales sacaremos el denominador 2 de la integral:
displaystyle cfrac{1}{2} int sec v dv
A partir de aquí podemos olvidarnos del frac{1}{2} (obvio no nos vamos a olvidar del frac{1}{2}) y hacer la integración directamente con formulazo o aplicar todo el procedimiento ya explicado en el ejemplo anterior.
Vamos a multiplicar el sec v por una fracción que contiene sec v + tan v en el numerador y en el denominador.
displaystyle cfrac{1}{2}int sec v cfrac{sec v + tan v}{sec v + tan v} dv
Efectuaremos la multiplicación y el resultado obtenido será el siguiente:
displaystyle cfrac{1}{2} int cfrac{sec^{2}v + sec v tan v}{sec v + tan v} dv
Seguidamente nombraremos u a sec v + tan v y derivaremos. Recordemos las fórmulas de derivación que dicen que la derivada de sec x es igual a sec x tan x y la derivada de tan x es igual a sec^{2} x:
u = sec v + tan v
du = left(sec v tan v + sec^{2} vright) dv
Una vez que ya tengamos u y la du, los sustituiremos en la integral quedando de la siguiente manera:
displaystyle cfrac{1}{2} int cfrac{1}{u} du
Y ahora aplicando directamente una fórmula de integración, obtendremos el siguiente resultado de nuestra integral:
displaystyle cfrac{1}{2} int cfrac{1}{u} du = log (u)
Sustituimos el u para obtener:
cfrac{1}{2} logleft(sec v + tan v right)
Y finalmente sustituimos v por 2x para obtener nuestro resultado final:
cfrac{1}{2} log left(sec 2x + tan 2xright)
Ejemplo 3. Integral de secante cuadrada
displaystyle int sec^{2}x dx
Tal vez a algunos les cause un poco de conflicto la resolución de esta integral, pero sabemos muy bien que las integrales y las derivadas están unidas por un lazo de amistad muy fuerte, lo que quiere decir que si alguien deriva algo y el resultado de ese algo se integra, el resultado va a ser ese algo con el que se empezó. Si alguien deriva x, obtendrá 1, si integra 1, obtendrá x.
La derivada de tan x es igual a sec^{2}x dx, eso quiere decir que la integral de sec^{2}x dx es tan x, así que nuestro resultado final de integral de sec^{2}x dx será:
tan x
Ejemplo 4. Integral de secante al cubo
displaystyle int sec^{3}(x) dx
Para resolver esta integral, lo que necesitamos es utilizar la fórmula de reducción de secante, así que aplicando la fórmula, obtenemos lo siguiente:
displaystyle cfrac{sin x sec^{2} x}{2} + cfrac{1}{2} int sec x dx
Utilizando las siguientes identidades…
sec x = cfrac{1}{cos x}
tan x = cfrac{sin x}{cos x}
…llegaremos a nuestra siguiente expresión:
= cfrac{1}{2} sec x tan x + cfrac{1}{2} int sec x dx
Aplicando la integral de secante de x, llegaremos a nuestro resultado final:
= cfrac{1}{2} sec x tan x + cfrac{1}{2} ln left| sec x + tan x right|
Gracias por estar en este momento con nosotros : )
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Cálculo de la integral de la secante cuadrada
En este artículo nos enfocaremos en practicar la regla de integración para el cálculo de la integral de la secante cuadrada. Para esto, es importante considerar que la secante cuadrada puede ser reescrita de varias formas utilizando algunas identidades trigonométricas, como se muestra a continuación:
Este resultado también es válido cuando se pide calcular la integral de la secante cuadrada multiplicada por la derivada del argumento, es decir, cuando está de alguna de las siguientes formas:
En este caso 
representa algún argumento en términos de 
(por ejemplo puede ser igual a 
) y 
la derivada del argumento.
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Ejercicios para practicar integrales con la secante cuadrada
1 Calcula 
Recordemos que la integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función, por lo cual podemos reesccribir la integral de la siguiente forma:
Después, podemos aplicar la primera regla presentada en el artículo para obtener el valor de la integral, entonces:
2 Calcula 
Al igual que en el caso anterior nos conviente iniciar recordando que la integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función, por lo cual podemos factorizar el 3 para sacarlo de la integral, es decir:
Además, por la regla de integración presentada sabemos que 
, por lo cual, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos que:
3 Calcula 
En este caso notemos es necesario considerar la fórmula
.
Para poder calcular directamente la integral necesitamos que la integral este expresada de la siguiente forma:
En ese caso tendríamos que 
y 
, sin embargo en nuestra expresión la secante está siendo multiplicada por 
, es decir:
Para resolver podemos reescribir como 
:
Finalmente podemos aplicar la regla para calcular la integral:
4 Calcula 
En este ejercicio es necesario reescribir la expresión planteada y utilizar algunas identidades trigonométricas:
Luego, utilizando que 
podemos reescribir la expresión de la siguiente forma
=
Ahora, recordemos que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de las funciones, por lo cual tenemos:
Calculando cada una de las integrales obtenemos:
5 Calcula 
Para resolver, reescribimos la integral sumando y restando uno. Después, utilizamos que la integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de las funciones, es decir:
La integral de la secante cúbica dada por
∫ sec 3 ( x ) d x = sec ( x ) tan ( x ) + ln | sec ( x ) + tan ( x ) | 2 + C {displaystyle int sec ^{3}(x)dx={frac {sec(x)tan(x)+ln left|sec(x)+tan(x)right|}{2}}+C}
es una integral frecuente y desafiante en Cálculo Integral.
Hay varias razones por las que esta integral en particular es digna para prestarle atención:
- La técnica utilizada para reducir integrales con potencias impares grandes a potencias más pequeñas se presenta en este caso, el más sencillo. Los otros casos se hacen de manera similar.
- La funciones hiperbólicas en integración pueden ser utilizadas en casos en los que la potencia de la secante sea impar.
- Esta es una de varias integrales que normalmente puede hacer un estudiante de un primer curso de cálculo en el que la manera más natural de integrar es procediendo por el método de integración por partes y regresando a la integral con la que uno empezó.
- Esta integral es muy utilizada al evaluar cualquier integral de la forma
∫ a 2 + x 2 d x {displaystyle int {sqrt {a^{2}+x^{2}}},dx}
donde a ∈ R {displaystyle ain mathbb {R} } 
Cálculo
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Integración por Partes
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]
La integral de la secante cúbica puede ser hallada por el método de integración por partes, en un principio se considera la igualdad:
∫ sec 3 ( x ) d x = ∫ sec ( x ) sec 2 ( x ) d x {displaystyle int sec ^{3}(x)dx=int sec(x)sec ^{2}(x)dx}
Y se procede por el método de integración por partes considerando que
u = sec x d v = sec 2 ( x ) d x d u = sec ( x ) tan ( x ) d x v = tan ( x ) d x {displaystyle {begin{aligned}u&=sec x&dv&=sec ^{2}(x)dx\du&=sec(x)tan(x)dx&v&=tan(x)dxend{aligned}}}
Entonces
∫ sec 3 ( x ) d x = ∫ sec ( x ) sec 2 ( x ) d x = sec ( x ) tan ( x ) − ∫ sec ( x ) tan 2 ( x ) d x = sec ( x ) tan ( x ) − ∫ sec ( x ) [ sec 2 ( x ) − 1 ] d x = sec ( x ) tan ( x ) − ∫ sec 3 ( x ) d x + ∫ sec ( x ) d x {displaystyle {begin{aligned}int sec ^{3}(x)dx&=int sec(x)sec ^{2}(x)dx\&=sec(x)tan(x)-int sec(x)tan ^{2}(x)dx\&=sec(x)tan(x)-int sec(x)left[sec ^{2}(x)-1right]dx\&=sec(x)tan(x)-int sec ^{3}(x)dx+int sec(x)dxend{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}int sec ^{3}(x)dx&=int sec(x)sec ^{2}(x)dx\&=sec(x)tan(x)-int sec(x)tan ^{2}(x)dx\&=sec(x)tan(x)-int sec(x)left[sec ^{2}(x)-1right]dx\&=sec(x)tan(x)-int sec ^{3}(x)dx+int sec(x)dxend{aligned}}}](https://i1.wp.com/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24af9d535ddb72b3d026621d72d924145da4d99)
Si sumamos ∫ sec 3 ( x ) d x {textstyle int sec ^{3}(x)dx} 
∫ sec ( x ) d x = ln | sec ( x ) + tan ( x ) | + C {displaystyle int sec(x)dx=ln |sec(x)+tan(x)|+C}
obtenemos
2 ∫ sec 3 ( x ) d x = sec ( x ) tan ( x ) + ln | sec ( x ) + tan ( x ) | + C ∫ sec 3 ( x ) d x = sec ( x ) tan ( x ) + ln | sec ( x ) + tan ( x ) | 2 + C {displaystyle {begin{aligned}2int sec ^{3}(x)dx&=sec(x)tan(x)+ln left|sec(x)+tan(x)right|+C\int sec ^{3}(x)dx&={frac {sec(x)tan(x)+ln |sec(x)+tan(x)|}{2}}+Cend{aligned}}}
Por lo tanto
∫ sec 3 ( x ) d x = sec ( x ) tan ( x ) + ln | sec ( x ) + tan ( x ) | 2 + C {displaystyle int sec ^{3}(x)dx={frac {sec(x)tan(x)+ln left|sec(x)+tan(x)right|}{2}}+C}
Reducción a una integral de una función racional
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]
Consideremos que
∫ sec 3 ( x ) d x = ∫ d x cos 3 ( x ) = ∫ cos x cos 4 ( x ) d x = ∫ cos x ( 1 − sin 2 ( x ) ) 2 d x = ∫ d u ( 1 − u 2 ) 2 {displaystyle {begin{aligned}int sec ^{3}(x)dx&=int {frac {dx}{cos ^{3}(x)}}\&=int {frac {cos x}{cos ^{4}(x)}};dx\&=int {frac {cos x}{(1-sin ^{2}(x))^{2}}};dx\&=int {frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}end{aligned}}}
donde u = sen x {displaystyle u=operatorname {sen} x} 
Esta sustitución admite una descomposición por fracciones parciales como sigue
1 ( 1 − u 2 ) 2 = 1 ( 1 + u ) 2 ( 1 − u ) 2 = 1 / 4 1 + u + 1 / 4 ( 1 + u ) 2 + 1 / 4 1 − u + 1 / 4 ( 1 − u ) 2 {displaystyle {begin{aligned}{frac {1}{(1-u^{2})^{2}}}&={frac {1}{(1+u)^{2}(1-u)^{2}}}\&={frac {1/4}{1+u}}+{frac {1/4}{(1+u)^{2}}}+{frac {1/4}{1-u}}+{frac {1/4}{(1-u)^{2}}}end{aligned}}}
entonces
∫ sec 3 ( x ) d x = ∫ d u ( 1 − u 2 ) 2 = ∫ ( 1 / 4 1 + u + 1 / 4 ( 1 + u ) 2 + 1 / 4 1 − u + 1 / 4 ( 1 − u ) 2 ) d u {displaystyle {begin{aligned}int sec ^{3}(x)dx&=int {frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}\&=int left({frac {1/4}{1+u}}+{frac {1/4}{(1+u)^{2}}}+{frac {1/4}{1-u}}+{frac {1/4}{(1-u)^{2}}}right)duend{aligned}}}
Si utilizamos linealidad de la integral entonces
∫ sec 3 ( x ) d x = ∫ ( 1 / 4 1 + u + 1 / 4 ( 1 + u ) 2 + 1 / 4 1 − u + 1 / 4 ( 1 − u ) 2 ) d u = 1 4 ln | 1 + u | − 1 / 4 1 + u − 1 4 ln | 1 − u | + 1 / 4 1 − u + C = 1 4 ln | 1 + u 1 − u | + 1 2 ( u 1 − u 2 ) + C = 1 4 ln | 1 + sen x 1 − sen x | + 1 2 ( sen x cos 2 x ) + C = 1 4 ln | 1 + sen x 1 − sen x | + 1 2 sec x tan x + C = 1 4 ln | ( 1 + sen x ) 2 1 − sen 2 x | + 1 2 sec x tan x + C = 1 4 ln | ( 1 + sen x ) 2 cos 2 x | + 1 2 sec x tan x + C = 1 4 ln | 1 + sen x cos x | 2 + 1 2 sec x tan x + C = 1 2 ln | 1 + sen x cos x | + 1 2 sec x tan x + C = 1 2 ( ln | sec x + tan x | + sec x tan x ) + C . {displaystyle {begin{aligned}int sec ^{3}(x)dx&=int left({frac {1/4}{1+u}}+{frac {1/4}{(1+u)^{2}}}+{frac {1/4}{1-u}}+{frac {1/4}{(1-u)^{2}}}right)du\[6pt]&={frac {1}{4}}ln |1+u|-{frac {1/4}{1+u}}-{frac {1}{4}}ln |1-u|+{frac {1/4}{1-u}}+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln {Biggl |}{frac {1+u}{1-u}}{Biggl |}+{frac {1}{2}}left({frac {u}{1-u^{2}}}right)+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln {Biggl |}{frac {1+operatorname {sen} x}{1-operatorname {sen} x}}{Biggl |}+{frac {1}{2}}left({frac {operatorname {sen} x}{cos ^{2}x}}right)+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln left|{frac {1+operatorname {sen} x}{1-operatorname {sen} x}}right|+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln left|{frac {(1+operatorname {sen} x)^{2}}{1-operatorname {sen} ^{2}x}}right|+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln left|{frac {(1+operatorname {sen} x)^{2}}{cos ^{2}x}}right|+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln left|{frac {1+operatorname {sen} x}{cos x}}right|^{2}+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{2}}ln left|{frac {1+operatorname {sen} x}{cos x}}right|+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{2}}(ln |sec x+tan x|+sec xtan x)+C.end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}int sec ^{3}(x)dx&=int left({frac {1/4}{1+u}}+{frac {1/4}{(1+u)^{2}}}+{frac {1/4}{1-u}}+{frac {1/4}{(1-u)^{2}}}right)du\[6pt]&={frac {1}{4}}ln |1+u|-{frac {1/4}{1+u}}-{frac {1}{4}}ln |1-u|+{frac {1/4}{1-u}}+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln {Biggl |}{frac {1+u}{1-u}}{Biggl |}+{frac {1}{2}}left({frac {u}{1-u^{2}}}right)+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln {Biggl |}{frac {1+operatorname {sen} x}{1-operatorname {sen} x}}{Biggl |}+{frac {1}{2}}left({frac {operatorname {sen} x}{cos ^{2}x}}right)+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln left|{frac {1+operatorname {sen} x}{1-operatorname {sen} x}}right|+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln left|{frac {(1+operatorname {sen} x)^{2}}{1-operatorname {sen} ^{2}x}}right|+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln left|{frac {(1+operatorname {sen} x)^{2}}{cos ^{2}x}}right|+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{4}}ln left|{frac {1+operatorname {sen} x}{cos x}}right|^{2}+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{2}}ln left|{frac {1+operatorname {sen} x}{cos x}}right|+{frac {1}{2}}sec xtan x+C\[6pt]&={frac {1}{2}}(ln |sec x+tan x|+sec xtan x)+C.end{aligned}}}](https://i1.wp.com/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf74f9953ecb1e67c26ca93285c174d9cb36b93)
Funciones hiperbólicas
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]
Integrales de la forma
∫ sec n ( x ) tan m ( x ) d x {displaystyle int sec ^{n}(x)tan ^{m}(x)dx}
con m , n ∈ Z + {displaystyle m,nin mathbb {Z} ^{+}} 
Dado que
sec ( x ) = cosh ( u ) tan ( x ) = sinh ( u ) {displaystyle {begin{aligned}sec(x)&=cosh(u)\[6pt]tan(x)&=sinh(u)\[6pt]end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}sec(x)&=cosh(u)\[6pt]tan(x)&=sinh(u)\[6pt]end{aligned}}}](https://i1.wp.com/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e57fa4f4a09806d8aff7d29733f0e1c60e25d17)
entonces
sec 2 x d x = cosh u d u or sec x tan x d x = sinh u d u sec x d x = d u or d x = sech u d u u = arcosh ( sec x ) = arsinh ( tan x ) = ln | sec x + tan x | {displaystyle {begin{aligned}sec ^{2}x,dx&{}=cosh u,du{text{ or }}sec xtan x,dx=sinh u,du\[6pt]sec x,dx&{}=,du{text{ or }}dx=operatorname {sech} u,du\[6pt]u&{}=operatorname {arcosh} (sec x)=operatorname {arsinh} (tan x)=ln |sec x+tan x|end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}sec ^{2}x,dx&{}=cosh u,du{text{ or }}sec xtan x,dx=sinh u,du\[6pt]sec x,dx&{}=,du{text{ or }}dx=operatorname {sech} u,du\[6pt]u&{}=operatorname {arcosh} (sec x)=operatorname {arsinh} (tan x)=ln |sec x+tan x|end{aligned}}}](https://i1.wp.com/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b29257f309cfe68862b2d88e843b3c3a18201f36)
Nótese que ∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | {textstyle int sec x,dx=ln |sec x+tan x|} 
∫ sec 3 ( x ) d x = ∫ cosh 2 ( u ) d u = 1 2 ∫ ( cosh 2 u + 1 ) d u = 1 2 ( 1 2 sinh 2 u + u ) + C = 1 2 ( sinh u cosh u + u ) + C = 1 2 ( sec x tan x + ln | sec x + tan x | ) + C {displaystyle {begin{aligned}int sec ^{3}(x)dx&=int cosh ^{2}(u)du\[6pt]&={frac {1}{2}}int (cosh 2u+1),du\[6pt]&={frac {1}{2}}left({frac {1}{2}}sinh 2u+uright)+C\[6pt]&={frac {1}{2}}(sinh ucosh u+u)+C\[6pt]&={frac {1}{2}}(sec xtan x+ln left|sec x+tan xright|)+C\end{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}int sec ^{3}(x)dx&=int cosh ^{2}(u)du\[6pt]&={frac {1}{2}}int (cosh 2u+1),du\[6pt]&={frac {1}{2}}left({frac {1}{2}}sinh 2u+uright)+C\[6pt]&={frac {1}{2}}(sinh ucosh u+u)+C\[6pt]&={frac {1}{2}}(sec xtan x+ln left|sec x+tan xright|)+C\end{aligned}}}](https://i1.wp.com/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94eb3fa12d6a10360a0cb411cc41ea286ad6e17)
Potencias impares más grandes
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]
Si se desea calcular
∫ sec 2 k + 1 ( x ) d x {displaystyle int sec ^{2k+1}(x)dx}
para k ≥ 2 {displaystyle kgeq 2} 
Ejemplo
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]
Se desea calcular
∫ sec 5 ( x ) d x {displaystyle int sec ^{5}(x)dx}
Comencemos considerando que
∫ sec 5 ( x ) d x = ∫ sec 3 ( x ) sec 2 ( x ) d x {displaystyle int sec ^{5}(x)dx=int sec ^{3}(x)sec ^{2}(x)dx}
Y procedemos por el método de integración por partes considerando que
u = sec 3 ( x ) d v = sec 2 ( x ) d x d u = 3 sec 3 ( x ) tan ( x ) d x v = tan ( x ) d x {displaystyle {begin{aligned}u&=sec ^{3}(x)&dv&=sec ^{2}(x)dx\du&=3sec ^{3}(x)tan(x)dx&v&=tan(x)dxend{aligned}}}
Entonces
∫ sec 5 ( x ) d x = ∫ sec 3 ( x ) sec 2 ( x ) d x = sec 3 ( x ) tan ( x ) − 3 ∫ sec 3 ( x ) tan 2 ( x ) d x = sec 3 ( x ) tan ( x ) − 3 ∫ sec 3 ( x ) [ sec 2 ( x ) − 1 ] d x = sec 3 ( x ) tan ( x ) − 3 ∫ sec 5 ( x ) d x + 3 ∫ sec 3 ( x ) d x 4 ∫ sec 5 ( x ) d x = sec 3 ( x ) tan ( x ) + 3 ( sec ( x ) tan ( x ) + ln | sec ( x ) + tan ( x ) | 2 ) + C ∫ sec 5 ( x ) d x = sec 3 ( x ) tan ( x ) 4 + 3 ( sec ( x ) tan ( x ) + ln | sec ( x ) + tan ( x ) | ) 8 + C {displaystyle {begin{aligned}int sec ^{5}(x)dx&=int sec ^{3}(x)sec ^{2}(x)dx\&=sec ^{3}(x)tan(x)-3int sec ^{3}(x)tan ^{2}(x)dx\&=sec ^{3}(x)tan(x)-3int sec ^{3}(x)left[sec ^{2}(x)-1right]dx\&=sec ^{3}(x)tan(x)-3int sec ^{5}(x)dx+3int sec ^{3}(x)dx\4int sec ^{5}(x)dx&=sec ^{3}(x)tan(x)+3left({frac {sec(x)tan(x)+ln |sec(x)+tan(x)|}{2}}right)+C\int sec ^{5}(x)dx&={frac {sec ^{3}(x)tan(x)}{4}}+{frac {3(sec(x)tan(x)+ln |sec(x)+tan(x)|)}{8}}+Cend{aligned}}}
![{displaystyle {begin{aligned}int sec ^{5}(x)dx&=int sec ^{3}(x)sec ^{2}(x)dx\&=sec ^{3}(x)tan(x)-3int sec ^{3}(x)tan ^{2}(x)dx\&=sec ^{3}(x)tan(x)-3int sec ^{3}(x)left[sec ^{2}(x)-1right]dx\&=sec ^{3}(x)tan(x)-3int sec ^{5}(x)dx+3int sec ^{3}(x)dx\4int sec ^{5}(x)dx&=sec ^{3}(x)tan(x)+3left({frac {sec(x)tan(x)+ln |sec(x)+tan(x)|}{2}}right)+C\int sec ^{5}(x)dx&={frac {sec ^{3}(x)tan(x)}{4}}+{frac {3(sec(x)tan(x)+ln |sec(x)+tan(x)|)}{8}}+Cend{aligned}}}](https://i1.wp.com/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/663093aff3b29398c5c2b3313b36508104dabeca)
Fórmulas de Reducción
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editar
]
Uno puede demostrar utilizando integración por partes que la fórmula de reducción para la función secante está dada por:
∫ sec n ( x ) d x = sec n − 2 ( x ) tan ( x ) n − 1 + n − 2 n − 1 ∫ sec n − 2 ( x ) d x {displaystyle int sec ^{n}(x)dx={frac {sec ^{n-2}(x)tan(x)}{n-1}}+{frac {n-2}{n-1}}int sec ^{n-2}(x)dx}
para n ≥ 2 {displaystyle ngeq 2} 
∫ sec n ( x ) d x = sec n − 1 ( x ) sen ( x ) n − 1 + n − 2 n − 1 ∫ sec n − 2 ( x ) d x {displaystyle int sec ^{n}(x)dx={frac {sec ^{n-1}(x)operatorname {sen}(x)}{n-1}}+{frac {n-2}{n-1}}int sec ^{n-2}(x)dx}
Véase también
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]
Referencias
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editar
]
- Stewart, James (2012). «Section 7.2: Trigonometric Integrals». Calculus – Early Transcendentals. United States: Cengage Learning. pp. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.
- Spivak, Michael (2008) “Integración en términos elementales” Calculus, p. 382
