square^{2}x^{square}sqrt{square}nthroot[msquare]{square}frac{msquare}{msquare}log_{msquare}pithetainftyintfrac{d}{dx}gelecdotdivx^{circ}(square)|square|(f:circ:g)f(x)lne^{square}left(squareright)^{‘}frac{partial}{partial x}int_{msquare}^{msquare}limsumsincostancotcscsecalphabetagammadeltazetaetathetaiotakappalambdamunuxipirhosigmatauupsilonphichipsiomegaABGammaDeltaEZHThetaKLambdaMNXiPiPSigmaTUpsilonPhiXPsiOmegasincostancot seccscsinhcoshtanhcothsecharcsinarccosarctanarccotarcsecarccscarcsinharccosharctanharccotharcsechbegin{cases}square\squareend{cases}begin{cases}square\square\squareend{cases}=nedivcdottimes<>lege(square)[square]▭:longdivision{▭}times twostack{▭}{▭}+ twostack{▭}{▭}– twostack{▭}{▭}square!x^{circ}rightarrowlfloorsquarerfloorlceilsquarerceiloverline{square}vec{square}inforallnotinexistmathbb{R}mathbb{C}mathbb{N}mathbb{Z}emptysetveewedgenegopluscapcupsquare^{c}subsetsubsetesupersetsuperseteintintintintintintint_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}sumprodlimlim _{xto infty }lim _{xto 0+}lim _{xto 0-}frac{d}{dx}frac{d^2}{dx^2}left(squareright)^{‘}left(squareright)^{»}frac{partial}{partial x}(2times2)(2times3)(3times3)(3times2)(4times2)(4times3)(4times4)(3times4)(2times4)(5times5)(1times2)(1times3)(1times4)(1times5)(1times6)(2times1)(3times1)(4times1)(5times1)(6times1)(7times1)mathrm{Radianes}mathrm{Grados}square!()%mathrm{borrar}arcsinsinsqrt{square}789divarccoscosln456timesarctantanlog123–piex^{square}0.bold{=}+ x).

La función Si().

La integral senoidal es la función definida mediante la integración de la función sinc (seno cardinal):

Si ( x ) = ∫ 0 x sinc ( t ) d t = ∫ 0 x sen ⁡ ( t ) t d t {displaystyle {mbox{Si}}(x)=int _{0}^{x}{mbox{sinc}}(t),dt=int _{0}^{x}{frac {operatorname {sen}(t)}{t}},dt}

Esta integral no puede expresarse en términos de funciones elementales. Mediante una integración término a término, se ve que la integral senoidal puede expresarse como una serie:

Si ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ! = x − x 3 3 ⋅ 3 ! + x 5 5 ⋅ 5 ! − x 7 7 ⋅ 7 ! + … {displaystyle {mbox{Si}}(x)=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{frac {x^{3}}{3cdot 3!}}+{frac {x^{5}}{5cdot 5!}}-{frac {x^{7}}{7cdot 7!}}+dots }

Propiedades

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Algunas propiedades de la integral senoidal son:

• Al ser la integral de una función par, es una función impar, esto es, Si(-x) = -Si(x).
• El valor de Si(x) cuando x tiende a infinito es el límite:

lim x → ∞ Si ( x ) = ∫ 0 ∞ sen ⁡ ( t ) t d t = π 2 {displaystyle lim _{xrightarrow infty }{mbox{Si}}(x)=int _{0}^{infty }{frac {operatorname {sen}(t)}{t}},dt={frac {pi }{2}}}

Asimismo, el valor de Si(x) cuando x tiende a menos infinito es

− π 2 {displaystyle -{frac {pi }{2}}}

Funciones asociadas

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Seno Integral

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Si(x) para 0 ≤ x ≤ 8π.

Gráfico depara 0 ≤≤ 8π.

Las diferentes definiciones son:

S i ( x ) = ∫ 0 x sen ⁡ t t d t {displaystyle {rm {Si}}(x)=int _{0}^{x}{frac {operatorname {sen} t}{t}},dt}

s i ( x ) = − ∫ x ∞ sen ⁡ t t d t {displaystyle {rm {si}}(x)=-int _{x}^{infty }{frac {operatorname {sen} t}{t}},dt}

S i ( x ) {displaystyle {rm {Si}}(x)} es la primitiva de sen ⁡ x / x {displaystyle operatorname {sen} x/x} que es cero para x = 0 {displaystyle x=0} ; s i ( x ) {displaystyle {rm {si}}(x)} es la primitiva de sen ⁡ x / x {displaystyle operatorname {sen} x/x} que es cero para x = ∞ {displaystyle x=infty } . Se debe distinguir que sen ⁡ t t {displaystyle {tfrac {operatorname {sen} t}{t}}} es la Función sinc y también la de orden cero de la función esférica de Bessel: j n , y n {displaystyle j_{n},y_{n}} . Cuando x = ∞ {displaystyle x=infty } , se conoce como la Integral de Dirichlet.

Se define la función integral senoidal complementaria como:

si ( x ) = Si ( x ) − π 2 = − ∫ x ∞ sen ⁡ ( t ) t d t {displaystyle {mbox{si}}(x)={mbox{Si}}(x)-{frac {pi }{2}}=-int _{x}^{infty }{frac {operatorname {sen}(t)}{t}},dt}

Coseno Integral

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Ci(x) para 0 < x ≤ 8π.

Gráfico depara 0 <≤ 8π.

Se define la función integral cosenoidal como:

ci ( x ) = ∫ x ∞ cos ⁡ ( t ) t d t {displaystyle {mbox{ci}}(x)=int _{x}^{infty }{frac {cos(t)}{t}},dt}

Las diferentes definiciones son:

C i ( x ) = γ + ln ⁡ x + ∫ 0 x cos ⁡ t − 1 t d t {displaystyle {rm {Ci}}(x)=gamma +ln x+int _{0}^{x}{frac {cos t-1}{t}},dt}

c i ( x ) = − ∫ x ∞ cos ⁡ t t d t {displaystyle {rm {ci}}(x)=-int _{x}^{infty }{frac {cos t}{t}},dt}

C i n ( x ) = ∫ 0 x 1 − cos ⁡ t t d t {displaystyle {rm {Cin}}(x)=int _{0}^{x}{frac {1-cos t}{t}},dt}

c i ( x ) {displaystyle {rm {ci}}(x)} es la primitiva de cos ⁡ x / x {displaystyle cos x/x} que es cero para x = ∞ {displaystyle x=infty } . Se tiene:

c i ( x ) = C i ( x ) {displaystyle {rm {ci}}(x)={rm {Ci}}(x),}

C i n ( x ) = γ + ln ⁡ x − C i ( x ) {displaystyle {rm {Cin}}(x)=gamma +ln x-{rm {Ci}}(x),}

Véase también

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Referencias

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• Kreyszig, Erwin, Matemáticas avanzadas para ingeniería.

Enlaces externos

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Cómo calcular la integral de seno por coseno fácil

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Cuando los estudiantes de matemáticas de bachillerato o primer curso de universidad hacen integrales, una de las que típicamente les resultan difíciles es la integral de sen(x)*cos(x).

Integración por partes

La integral de sen(x)*cos(x) es una de esas integrales que puedes resolver con el método de integración por partes. No es difícil comenzar a resolverla, pero el problema es que llega un momento en que te encuentras con la misma integral, y entonces a partir de ahí los estudiantes no saben seguir. Vamos a explicar aquí cómo hacer la integral de seno por coseno de x paso a paso.

Lo primero es plantear quién es u y quién es dv en la integración por partes. Bajo la integral que estamos intentando resolver, pongo la famosa forma de resolverla. Elegimos en este caso que u=sen(x) y dv=cos(x). Si esta es la elección, du (derivada de u respecto de x) tiene que ser cos(x)*dx y v (integral de dv) tiene que ser sen(x).

Ahora sustituimos u, v, du y dv en la fórmula, y queda:

Lo que decía antes: nos ha quedado otra vez una integral sen(x)*cos(x). ¿Qué hacemos? ¿Volvemos a hacer esa integral otra vez por partes? No, porque vamos a llegar a lo mismo, una y otra vez una integral sen(x)*cos(x).

Entonces, ¿qué hacemos? Pues la solución es más sencilla de lo que parece: vamos a agrupar las integrales a un lado de la igualdad y dejar al otro lado el seno cuadrado de x. Es decir, vamos a despejar seno cuadrado de x, pasamos también el 2 al otro lado dividiendo, y listo, ya lo tenemos. No olvides añadir el +C al final, porque estamos haciendo una integral indefinida y tiene infinitas soluciones.

Vale Silvia, pero resulta que yo elegí que u no sea sen(x) sino que u=cos(x), y cuando la hago igual que tú me sale una solución distinta. Venga, ¿lo probamos?

La solución es diferente, porque ya no tenemos un seno cuadrado, sino un coseno cuadrado, y además hay un signo menos. Entonces, ¿qué significa esto? ¿Cómo puede tener una integral dos soluciones distintas?

En realidad las dos soluciones no son diferentes.

Como puedes ver en la imagen de arriba, si derivamos cualquiera de las dos soluciones, nos da la función primitiva, es decir, la que estábamos intentando integrar, sen(x)*cos(x)

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Ejemplo: Utilización de funciones simbólicas integrales de seno y coseno

En este ejemplo se muestran las distintas representaciones de las funciones integrales de seno y coseno, y de las funciones integrales de seno y coseno hiperbólicos.

Funciones integrales de seno y coseno

1.

Introduzca la representación de expansión en serie de la función integral de seno y evalúela de forma simbólica.

2.

Utilice las palabras clave

simplify

y

assume

para evaluar la misma expresión.

PTC Mathcad Prime

evalúa esta expresión como la función Si

evalúa esta expresión como la función

3.

Utilice la palabra clave

series

para obtener los primeros seis términos de la serie.

PTC Mathcad Prime

no muestra términos que tienen coeficientes de cero.

4.

Busque los 10 primeros términos de la serie.

5.

Escriba y evalúe de forma simbólica la representación de expansión en serie de la función integral del coseno.

PTC Mathcad Prime

evalúa esta expresión como la función Ci

evalúa esta expresión como la función

Funciones integrales de seno y coseno hiperbólicos

Defina explícitamente la función integral de seno hiperbólico, evalúela de forma simbólica y busque los cuatro primeros términos de la serie.