Fórmula de la integral del coseno
Recordemos que la derivada de la función 
es 
. Esto nos indica que la integral del coseno es
donde 
es una constante arbitraria. Recordemos que la constante de integración es necesaria pues la derivada de cualquier constante es 0.
Similarmente, si el argumento del coseno es otra función 
, entonces la integral es
Observemos que 
debe multiplicar al coseno para poder integrar.
Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles
José arturo
/h
16€
¡1a clase gratis!
Francisco javier
/h
12€
¡1a clase gratis!
Fátima
/h
18€
¡1a clase gratis!
Alex
/h
12€
¡1a clase gratis!
José angel
/h
6€
¡1a clase gratis!
Santiago
/h
15€
¡1a clase gratis!
Lautaro
/h
14€
¡1a clase gratis!
Julio
/h
14€
¡1a clase gratis!
José arturo
/h
16€
¡1a clase gratis!
Francisco javier
/h
12€
¡1a clase gratis!
Fátima
/h
18€
¡1a clase gratis!
Alex
/h
12€
¡1a clase gratis!
José angel
/h
6€
¡1a clase gratis!
Santiago
/h
15€
¡1a clase gratis!
Lautaro
/h
14€
¡1a clase gratis!
Julio
/h
14€
¡1a clase gratis!
Ejercicios con la integral del coseno
Integra la siguientes funciones
1 
Para resolver la integral, primero utilizamos al propiedad lineal de las integrales:
Luego resolvemos cada una de las integrales por separado:
Por tanto,
2 
Para resolver esta integral, observemos primero que 
, por lo tanto, 
debe multiplicar al coseno. Notemos que
Así, la integral se puede escribir como
Luego, la integral se vuelve
En consecuencia
3 
En este caso, el argumento del coseno es 
. La derivada del argumento es
Observemos que el coseno está siendo multiplicado por 
, por tanto, podemos escribir la integral de la forma
Así, la integral es
Por tanto,
4 
Aquí tenemos que el argumento del seno es 
. Luego, la derivada del argumento es
De este modo, la integral se puede escribir como
Integramos:
Luego, el resultado es
5 
En este caso tenemos 
. Primero debemos notar que no se puede aplicar la fórmula de la integral del coseno directamente. Por tanto, debemos utilizar una identidad trigonométrica, que en este caso es
De aquí, la integral se vuelve
Por tanto, al integrar, tenemos
De este modo, la respuesta es
Siempre que tengamos un coseno elevado a una potencia par, utilizaremos un procedimiento similar hasta que tengamos una expresión con puros cosenos sin elevar a ninguna potencia.
6 
Notemos ahora que tenemos 
. Se trata de un coseno elevado a una potencia impar, por lo tanto debemos escribirlo como
Luego, utilizamos la identidad pitagórica en el 
, pata obtener
Así, podemos escribir la integral como
Notemos que no es una integral de coseno, sin embargo, tenemos la sustitución 
. Luego, su integral es
Así, al sustituir, la integral se vuelve
Que, al integrar, tenemos
Por tanto, el resultado es
Cuando tenemos un coseno elevado a una potencia impar 
, siempre debemos escribir 
y luego utilizar una identidad pitagórica para resolver la integral.
La fórmula de integral del coseno es:
int cos u cdot du = sin u
De todas las integrales trigonométricas, veamos unos ejemplos para integrales de coseno.
Ejemplo 1. Integral de cos2x
int cos(2x) dx=
Sustituimos el 2x por u, derivamos y pasamos dividiendo el 2:
u = 2x quad Rightarrow quad du = 2 dx quad Rightarrow quad cfrac{du}{2} = dx
Y reemplazamos los términos por u:
displaystyle int cos(u) cfrac{du}{2}
Por propiedades de integrales sacamos el frac{1}{2} de la integral:
displaystyle cfrac{1}{2}intcos(u) du
Ahora aplicamos directamente la fórmula de la integral de coseno:
displaystyle cfrac{1}{2} int cos (u) du = left (cfrac{1}{2}right)(sin(u))
Y por último sustituimos de vuelta la u por 2x y la respuesta sería:
cfrac{1}{2}sin(2x)
Ejemplo 2. Integral de coseno cuadrado
int cos^{2}(x) dx =
La manera más rápida de hacer esta integral es revisar formulazo en el formulario de integrales y listo. Otra manera es la siguiente:
Para la resolución de esta integral, necesitamos acordarnos de la identidad trigonométrica siguiente:
cos^{2}(x) = cfrac{1}{2} + cfrac{1}{2} cos(2x)
Sustituyendo el cos^{2}(x) por frac{1}{2} + frac{1}{2} cos(2x), tendremos la siguiente integral de una suma:
displaystyle int left( cfrac{1}{2} + cfrac{1}{2} cos(2x) right) dx
Por propiedades de integrales tendremos una suma de integrales
displaystyle int cfrac{1}{2} dx + int cfrac{1}{2} cos(2x) dx
La primera integral fácilmente la podemos realizar, quedaría de la siguiente forma:
cfrac{1}{2} x + int cfrac{1}{2} cos(2x) dx
Aplicamos propiedades de las integrales para sacar el frac{1}{2} de la integral:
cfrac{1}{2}x + cfrac{1}{2} int cos(2x) dx
Para resolver la segunda integral, tenemos que hacer unos procedimientos que se hicieron en el ejemplo 1, sustituimos 2x por u, derivamos y pasamos dividiendo el 2:
u = 2x quad Rightarrow quad du = 2 dx quad Rightarrow quad cfrac{du}{2} = dx
Ahora sustituimos por u‘s en la segunda integral con la que estamos trabajando:
cfrac{1}{2}x + cfrac{1}{2} int cos(u) cfrac{du}{2}
Sacamos el denominador 2 que está en du:
cfrac{1}{2}x + cfrac{1}{2}cfrac{1}{2} int cos(u) du
Multiplicamos las fracciones de frac{1}{2}:
cfrac{1}{2} x + cfrac{1}{4} int cos(u) du
Aplicamos la fórmula de integración de coseno que es la siguiente:
int cos(u) du = sin (u)
A continuación la integración nos quedará de la siguiente manera:
cfrac{1}{2}x + cfrac{1}{4} sin(u)
Y finalmente sustituimos la u por 2x para obtener nuestro resultado:
cfrac{1}{2}x + cfrac{1}{4}sin(2x)
Gracias por estar aquí en este momento : )
Integrales de seno y coseno
•
Si(x)
: la función integral seno se define según se indica a continuación.
La representación de expansión en serie es:
El resultado mostrado representa, tres de los seis valores por defecto, los términos de la serie que no tienen coeficientes de 0.
•
Ci(x)
: la función integral del coseno se define como se indica a continuación.
Otra forma de la definición es:
La representación de expansión en serie es:
Los dos últimos términos representan, dos de los seis valores por defecto, los términos de la serie que no tienen coeficientes de 0.
•
Shi(x)
: la función integral seno hiperbólico se define según se indica a continuación.
El resultado mostrado representa, tres de los seis valores por defecto, los términos de la serie que no tienen coeficientes de 0.
Los términos de la expansión en serie de las funciones
Si
y
Shi
son idénticos, a excepción del signo de los términos cuando
n
es un número par.
•
Chi(x)
: la función integral del coseno hiperbólico se define como se indica a continuación.
Otra forma de la definición es:
Los dos últimos términos representan, dos de los seis valores por defecto, los términos de la serie que no tienen coeficientes de 0.
Los términos de la expansión en serie de las funciones
Ci
y
Chi
son idénticos, a excepción del signo de los términos cuando
n
es un número impar.
Argumentos
•
x
es un escalar real o complejo, o un vector de escalares reales o complejos.
Información adicional
Estas funciones resultan útiles con el uso de la palabra clave
float
, que evalúa de forma numérica las funciones en lugar de devolver expresiones matemáticas simbólicas.
