El modelo mecánico cuántico del átomo

Ondas estacionarias

Un problema importante con el modelo de Bohr era que trataba electrones como partículas que existían en órbitas definidas con precisión. Con base en la idea de De Broglie de que las partículas podían mostrar comportamiento como de onda, el físico austriaco Erwin Schrödinger teorizó que el comportamiento de los electrones dentro de los átomos se podía explicar al tratarlos matemáticamente como ondas de materia. Este modelo, que es la base del entendimiento moderno del átomo, se conoce como el modelo mecánico cuántico o de las ondas mecánicas.

El hecho de que solo haya ciertos estados o energías permitidas que un electrón puede tener es similar a una onda estacionaria. Discutiremos de forma breve algunas propiedades de las ondas estacionarias para obtener una mejor idea de las ondas de materia electrónicas.

Probablemente ya estés familiarizado con las ondas estacionarias de los instrumentos musicales de cuerda. Por ejemplo, cuando se jala una cuerda en una guitarra, la cuerda vibra en la forma de una onda estacionaria como la que se muestra a continuación.

Animación de una onda estacionaria que muestra dos longitudes de onda de una onda. Los nodos, que tienen la misma amplitud en todo momento, están marcados con puntos rojos. Hay cinco nodos.

Una onda estacionaria. Crédito de la imagen: de Wikimedia Commons , dominio público

Observa que hay puntos de cero desplazamiento, o nodos, que ocurren a lo largo de la onda estacionaria. Los nodos están marcados con puntos rojos. Como la cuerda en la animación está fija en ambos extremos, esto lleva a la limitación de que solo ciertas longitudes de onda están permitidas para cualquier onda estacionaria. Como resultado, las vibraciones están cuantizadas.

La ecuación de Schrödinger

Podrías preguntar ¿cómo se relacionan las ondas estacionarias con los electrones?

En un nivel muy simple, podemos pensar en los electrones como ondas estacionarias de materia que tienen ciertas energías permitidas. Schrödinger formuló un modelo del átomo que suponía que los electrones podían ser tratados como ondas de materia. A pesar de que no veremos las matemáticas en este artículo, la forma básica de la ecuación de onda de Schrödinger es así:

H^ψ=Eψhat{H}psi=Epsi

H

^

ψ

=

E

ψ

H, with, hat, on top, psi, equals, E, psi

ψpsi

ψ

psi

se llama una función de onda;

H^hat{H}

H

^

H, with, hat, on top

es conocido como el operador hamiltoniano; y

EE

E

E

es la energía de enlace del electrón. Resolver la ecuación de Schrödinger da varias funciones de onda como soluciones, cada una con un valor permitido para

EE

E

E

.

Una onda estacionaria que forma un círculo, con la longitud de onda etiquetada como la distancia entre dos puntos adjacentes de amplitud máxima. Abajo, un ejemplo de en dónde la longitud de onda no se ajusta al radio del círculo de tal forma que las ondas se traslapan en un lado del círculo como un ejemplo de interferencia destructiva.

En la onda estacionaria, arriba, caben exactamente cinco longitudes de onda completas en el círculo. Cuando la circunferencia del círculo no permite un número entero de longitudes de onda, abajo, la interferencia destructiva da como resultado la cancelación de la onda.

Interpretar exactamente lo que nos dicen las funciones de onda es un poco complicado. Debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, es imposible saber tanto la posición como la energía de un electrón dado. Como se necesita conocer la energía de un electrón para predecir la reactividad química de un átomo, los químicos generalmente aceptan que solo podemos aproximar la ubicación del electrón.

¿Cómo hacen los químicos para aproximar la ubicación del electrón? Las funciones de onda que se obtienen de la ecuación de Schrödinger para un átomo específico también se llaman orbitales atómicos. Los químicos definen un orbital atómico como la región dentro de un átomo que envuelve donde es probable que se encuentre el electrón el 90% del tiempo. En la siguiente sección, discutiremos cómo se determinan las probabilidades electrónicas.

Un día de 1924 un joven aristócrata francés le dio la vuelta a la tortilla de la cuántica, cuando esta empezaba a cuajar. Hasta los físicos más conservadores comenzaban a aceptar la revolución de la dualidad: la luz no solo es una onda, sino que también se comporta como un haz de partículas (fotones), como había establecido Einstein con su explicación del efecto fotoeléctrico, que le valió el premio Nobel en 1921.

Entonces Louis de Broglie (15 agosto 1892 – 19 marzo 1987) —un científico novato, licenciado antes en Historia— pensó lo contrario: ¿y si… las partículas también se comportasen como ondas? Hace un siglo había preguntas tan atractivas como esa, a las que dedicar una tesis doctoral. Y eso fue lo que hizo él. Tras estudiar a fondo durante varios años las bases de la física cuántica, establecidas por Max Planck y Albert Einstein, presentó su tesis en 1924 con un importante descubrimiento teórico: los electrones se comportan como ondas y, no solo eso, sino que todas las partículas y objetos llevan asociada una onda de materia.

Del apoyo de Einstein a la demostración experimental

Esa es la conocida como hipótesis de De Broglie. Juntando las ecuaciones de Planck (cuantización de la energía: E= hν) y de Einstein (relatividad especial: E=mc2), De Broglie calculó cuál sería de la longitud de esas ondas de materia asociadas a cada partícula, dependiendo de su velocidad y de su masa. Así que, según De Broglie, todo nuestro mundo es cuántico, no solo la luz. Una conclusión tan atrevida que fue rechazada de inmediato por muchos físicos, e ignorada por otros.

Aunque su carrera científica todavía era corta, cuando presentó su tesis doctoral el físico francés había realizado ya otras investigaciones, que le habían enfrentado con algunos de los científicos más influyentes del momento. No así con Einstein, que apoyó con entusiasmo las conclusiones de De Broglie. Pero ni el apoyo de Einstein valía para darle la razón: su hipótesis tenía que ser demostrada experimentalmente.

Si el electrón era una partícula que se comportaba como una onda, entonces tendría que mostrar propiedades típicas de las ondas, como son la difracción y las interferencias. Y entonces sucederían cosas tan extrañas como que un electrón sería capaz de atravesar a la vez dos agujeros diferentes. Algo así fue lo que demostró el experimento de difracción de electrones de Davisson y Germer (1927), confirmando por tanto la hipótesis de De Broglie, quien recibió por ello el premio Nobel de Física en 1929 —solo cinco años después de haber presentado aquella atrevida tesis doctoral.

Primer paso hacia el microscopio electrónico

Pocas carreras tan fulgurantes ha habido en la historia de la ciencia, y que hayan llegado al Nobel con el mismo trabajo que les dio el título de doctor. Otro gran ejemplo es Marie Curie. Y es que Louis de Broglie, con su primera gran investigación científica, logró sentar uno de los pilares de la física cuántica: la dualidad onda-partícula, que establece que las ondas pueden comportarse como partículas y viceversa. De su idea de las ondas de materia nació la mecánica ondulatoria, la nueva formulación de la cuántica que Schrödinger desarrolló para aplicarla a átomos y moléculas. Y admitir las propiedades ondulatorias de los electrones fue la base para inventar el microscopio electrónico (estrenado en 1932), que permite ver cosas mucho más pequeñas que los microscopios ópticos ‘de toda la vida’, porque la longitud de onda del electrón es bastante menor que la de los fotones de luz visible.

Por todo ello recordamos a Louis de Broglie como el ‘príncipe de la cuántica’. Aunque en el mundo macroscópico este aristócrata solo llegó a ser duque, al heredar de su hermano el ducado de De Broglie en 1960. Por entonces ya había recibido multitud de reconocimientos por sus méritos científicos, además del nobel: ocupó el sillón número 1 de la Academia Francesa (1944), recibió las medallas Henri Poincaré (1929) y Max Planck (1938) y además fue el primer galardonado con el premio Kalinga (1942), otorgado por la Unesco para destacar contribuciones excepcionales a la divulgación de la ciencia.

Además, fue el primer científico de renombre mundial que reclamó que los países unieran sus fuerzas para afrontar los grandes retos de la ciencia en laboratorios multinacionales. De esa petición suya nació el CERN (la Organización Europea para la Investigación Nuclear), y su larga vida (falleció a los 94 años) le permitió llegar a ver los excepcionales logros de este laboratorio de física de partículas inspirado en su visión científica.

Francisco Doménech para Ventana al Conocimiento

@fucolin

Príncipe Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie, más conocido como Louis de Broglie, presentó, en 1924, su tesis doctoral “Investigaciones sobre la teoría cuántica”, en la que aseveraba la dualidad onda-partícula de los electrones, sentando las bases de la mecánica ondulatoria. Asimismo, publicó importantes hallazgos teóricos sobre la naturaleza onda-corpúsculo de la materia a escala atómica.

Posteriormente, en 1927, los enunciados de Broglie fueron demostrados experimentalmente por los científicos Clinton Davisson y Lester Germer.

La teoría de onda de los electrones de Broglie se fundamenta en la propuesta de Einstein sobre las propiedades ondulatorias de la luz en longitudes de onda cortas. De Broglie anunció la posibilidad de que la materia tuviese un comportamiento similar al de la luz, y sugirió propiedades similares en partículas subatómicas como los electrones.

De Broglie explicó el movimiento de los electrones alrededor del núcleo atómico teniendo en cuenta que cargas eléctricas y órbitas restringen la amplitud, longitud y frecuencia de la onda descrita por los electrones.

La teoría de onda de los electrones de Broglie justificó el éxito del modelo atómico de Bohr para explicar el comportamiento del electrón único del átomo de hidrógeno.

Análogamente, también dio luces sobre por qué este modelo no se ajustó a sistemas más complejos, es decir, átomos con más de un electrón.

Experimento de Davisson y Germer

Los destacados físicos estadounidenses Clinton J. Davisson y Lester Germer confirmaron de forma experimental la teoría de la mecánica ondulatoria de De Broglie en 1927.

Realizaron pruebas de dispersión de un haz de electrones a través de un cristal de níquel y observaron el fenómeno de difracción a través del medio metálico. Para ello:

1. Colocaron un montaje con haz de electrones que tenía una energía inicial conocida.
2. Instalaron una fuente de voltaje para acelerar el movimiento de electrones incitando una diferencia de potencial.
3. Dirigieron el flujo del haz de electrones hacia un cristal metálico; en este caso, níquel.
4. Midieron el número de electrones que impactó en el cristal de níquel.

Al finalizar el experimento, Davisson y Germer detectaron que los electrones se dispersaban en diferentes direcciones.

Al repetir el experimento empleando cristales metálicos con distintas orientaciones, los científicos observaron lo siguiente:

La dispersión del haz de electrones a través del cristal metálico era comparable con el fenómeno de interferencia y difracción de los rayos luminosos.
La reflexión de los electrones sobre el cristal de impacto describía la trayectoria que, teóricamente, debía describir según la teoría de ondas de electrones de Broglie.

En síntesis, el experimento de Davisson y Germer comprobó experimentalmente la naturaleza dual onda-partícula de los electrones.

Limitaciones

• El modelo atómico de Broglie no predice la ubicación exacta del electrón sobre la órbita en la cual se desplaza.
• En este modelo, los electrones se perciben como ondas que se movilizan en toda la órbita sin una ubicación específica, con lo cual se introduce el concepto de orbital electrónico.
• Además, el modelo atómico de Broglie, análogo al modelo de Schrödinger, no considera la rotación de los electrones sobre su mismo eje (spin).
• Al obviar el momento angular intrínseco de los electrones, se están dejando de lado las variaciones espaciales de estas partículas subatómicas.
• En el mismo orden de ideas, este modelo tampoco toma en cuenta los cambios en el comportamiento de los electrones rápidos como consecuencia de los efectos relativistas.