Una matriz simétrica es una matriz de orden n con el mismo número de filas y columnas donde su matriz traspuesta es igual a la matriz original.

En otras palabras, una matriz simétrica es una matriz cuadrada y es idéntica a la matriz de después de haber cambiado las filas por columnas y las columnas por filas. 

Requisitos

Para que una matriz cualquiera sea una matriz simétrica debe cumplir las siguientes restricciones:

Dada una matriz simétrica P de orden n, 

• Ser una matriz cuadrada. 

El número de filas (n) tiene que ser el mismo que el número de columnas (m). Es decir, el orden de la matriz tiene que ser n dado que n=m.

• La matriz original tiene que ser igual a su matriz traspuesta. 

La matriz original tiene que ser igual a su matriz traspuesta.

Demostración:

La matriz traspuesta de una matriz simétrica es igual a la matriz simétrica original.

Propiedades

• La matriz adjunta de una matriz simétrica también es una matriz simétrica.

La matriz adjunta de una matriz simétrica también es una matriz simétrica.

Demostración:

La matriz adjunta de una matriz simétrica también es una matriz simétrica.

• La suma o resta de dos matrices simétricas resulta en otra matriz simétrica. 

Demostración:

Dadas dos matrices simétricas P y T de orden 3, obtenemos otra matriz simétrica S a partir de la suma.

La suma de dos matrices simétricas resulta en otra matriz simétrica.

¿Por qué se llama matriz simétrica? 

La propiedad de simetría viene dada por los elementos que hay alrededor de la diagonal principal. Dado que una matriz cuadrada es una matriz simétrica, siempre tendrá el mismo número de elementos por encima y por debajo de la diagonal principal. Estos elementos son iguales de forma simétrica. Es decir, la diagonal principal actúa como un espejo.

Demostración de simetría y asimetría de una matriz 

Matriz simétrica

Matriz simétrica de orden 3.

La letra d representa los elementos de la diagonal principal. Las otras letras representan cualquier número real. Podemos ver que la diagonal principal actúa como un espejo: refleja los elementos de ambos lados. En otras palabras, cuando los elementos de ambos lados de la diagonal son iguales simétricamente decimos que la matriz P es una matriz simétrica. 

Matriz no simétrica

Matriz no simétrica de dimensión 2×3.

La matriz X no es una matriz simétrica dado que no es una matriz cuadrada y su matriz traspuesta es distinta a la matriz original. Además, tampoco tiene diagonal principal.

Demostración gráfica de transposición de una matriz. Una matriz cuadrada será simétrica si es igual a su transpuesta

Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta.Una matriz de n × m {displaystyle ntimes m} elementos:

A = [ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 m a 21 a 22 a 23 ⋯ a 2 m a 31 a 32 a 33 ⋯ a 3 m ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 a n 3 ⋯ a n m ] {displaystyle A=left[{begin{array}{ccccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&cdots &a_{1m}\a_{21}&a_{22}&a_{23}&cdots &a_{2m}\a_{31}&a_{32}&a_{33}&cdots &a_{3m}\vdots &vdots &vdots &ddots &vdots \a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&cdots &a_{nm}\end{array}}right]}

es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y a i j = a j i {displaystyle a_{ij}=a_{ji}} para todo i, j con i, j =1,2,3,4,…,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.

Ejemplo para n = 3:

[ − 8 1 3 1 7 4 3 4 9 ] {displaystyle left[{begin{array}{rrr}-8&1&3\1&7&4\3&4&9\end{array}}right]}

A es también la matriz traspuesta de sí misma: A t = A {displaystyle A^{t}=A} . Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica. Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas.

Propiedades

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1. La suma de dos matrices simétricas es una matriz simétrica.
2. El producto de dos matrices simétricas no siempre es simétrico.
3. Si A es una matriz simétrica pxp y B es una matriz pxq, entonces BTAB es simétrica.

   [

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   ]

   ​

Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En particular, es diagonalizable mediante una matriz ortogonal.

Autovalores

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Como las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas, todos sus autovalores son reales.

Con base en las propiedades de los autovalores de una matriz simétrica, se pueden clasificar en los siguientes tipos:

• definida positiva: si y solo si todos sus autovalores son estrictamente positivos.
• definida negativa: si y solo si todos sus autovalores son estrictamente negativos.
• semidefinida positiva: si y solo si todos sus autovalores son mayores o iguales a cero.
• semidefinida negativa: si y solo si todos sus autovalores son menores o iguales a cero.
• indefinida: si y solo si tiene dos autovalores con distinto signo

James Joseph Sylvester, un matemático del siglo XIX, estableció un criterio para definir el signo de una matriz simétrica basándose en los signos de la serie de determinantes de los menores principales de la misma.

Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica

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Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:

A = 1 2 ( A + A T ) + 1 2 ( A − A T ) {displaystyle A={frac {1}{2}}left(A+A^{T}right)+{frac {1}{2}}left(A-A^{T}right)}

donde la parte simétrica es

1 2 ( A + A T ) {displaystyle {frac {1}{2}}left(A+A^{T}right)}

DemostraciónSe utilizan las propiedades de la transposición.

( 1 2 ( A + A T ) ) T = 1 2 ( A + A T ) T = 1 2 ( A T + ( A T ) T ) = 1 2 ( A T + A ) = 1 2 ( A + A T ) {displaystyle {begin{array}{rcl}left({frac {1}{2}}left(A+A^{T}right)right)^{T}&=&{frac {1}{2}}left(A+A^{T}right)^{T}={frac {1}{2}}left(A^{T}+left(A^{T}right)^{T}right)\&=&{frac {1}{2}}left(A^{T}+Aright)={frac {1}{2}}left(A+A^{T}right)end{array}}}

Queda entonces demostrado por definición que 1 2 ( A + A T ) {displaystyle {frac {1}{2}}left(A+A^{T}right)} es simétrica.

Véase también

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Referencias

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1. ↑

   Ben Noble/ James W. Daniel: Álgebra lineal aplicada

Enlaces externos

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Sí, en las matrices hay simetría, pero cómo puedo ver si una matriz es simétrica o no, mira muy fácil, si la matriz cuadrada de orden n, A es igual a su traspuesta, At tendremos una matriz simétrica, solo hay que comprobarlo. Una definición más matemática es la siguiente: es una matriz cuadrada donde los elementos son simétricos respecto de la diagonal principal, es decir, aij = aji

Vídeo explicativo sobre matriz simétrica

Aunque aparezca la matriz inversa también habla sobre las matrices simétricas

Simetría de matrices de forma visual

Esta pregunta te la voy a contestar de forma visual, tienes que ver que el elemento de la fila i y la columna j tiene que ser idéntico al elemento de la fila j y columna i. Y los valores de la diagonal principal de la matriz pueden ser cualesquiera.

¿Cuándo una matriz es simétrica?

Si te fijas bien la diagonal principal de la matriz cuadrada actúa de eje de simetría, si doblas la matriz por este eje encontrarás que todos los elementos que están por encima de la diagonal principal coinciden con los que están por debajo como si fueran imágenes especulares.

Matrices simétricas ejemplos

De orden 2 o de dimensión 2×2

De orden 3, también llamadas de dimensión 3×3

Inversa de una matriz simétrica

Recuerda

• Si la matriz tiene inversa es una matriz regular
• Si no es así es una matriz singular.
• Entonces quiero demostrarte que si A es una matriz cuadrada de orden n, simétrica y que tiene inversa, se cumple que A-1 también es simétrica.

Consideramos una matriz A que es simétrica, es decir, que A=At , ahora bien, si tiene inversa se cumple que A·A-1 = A-1 · A=I; por lo tanto, si A-1 · A= (A-1 )t ·At porque tanto A como su inversa hemos dicho que son simétricas.

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Sustituimos A por su traspuesta, al ser A simétrica, y multiplicamos ambos miembros por A-1 y nos queda A-1 · A · A-1 = (A-1 )t ·A· A-1 ; A-1 ·I= (A-1 )t · I y se cumple que A-1=(A-1 )t , es decir, que la inversa de la matriz A también es simétrica.

Propiedades de las matrices simétricas

Sea A una matriz cuadrada de orden n y además simétrica, se cumple que:

• La matriz adjunta de A también es simétrica.
• Si A y B son dos matrices cuadradas de orden n y además simétricas, su suma también es simétrica, es decir, A=At y B=Bt entonces A+B= At + Bt= (A+B)t , lo mismo ocurre con la resta, es decir, A-B=(A-B)t
• Toda matriz simétrica que sea multiplicada por un escalar es otra matriz simétrica del mismo orden.
• Para que el producto de dos matrices simétricas nos proporcione otra matriz simétrica del mismo orden se debe cumplir que las dos matrices deben conmutar. Esta condición se puede demostrar con la propiedad de la multiplicación de la matriz traspuesta: debo de demostrar que A·B=(A·B)t para ello tenemos que (A·B)t = Bt · At , al ser simétricas ambas matrices esta expresión sería igual a B·A= A·B se cumple sí y solo sí las dos matrices cumplen la propiedad conmutativa.

• La potencia de una matriz simétrica da lugar a otra matriz simétrica, siempre y cuando el exponente sea un número entero.
• La matriz unidad y la matriz nula son matrices simétricas.
• Si una matriz simétrica es regular o invertible, entonces su matriz inversa también es simétrica.

Matrices antisimétricas

Sí, pero cómo puedo ver si una matriz es antisimétrica o no, mira muy fácil, si la matriz cuadrada de orden n, A es igual a la opuesta de su traspuesta, -At tendremos una matriz antisimétrica, solo hay que comprobarlo.

Una definición más matemática es la siguiente: es una matriz cuadrada donde los elementos aij = -aji siendo i distinta a j y además implica que los elementos de la diagonal principal sean todos 0.

Matriz antisimétrica de orden n

Sea A una matriz cuadrada de orden n que cumple que todos los elementos de la diagonal principal son 0, es decir, aii =0; y además que aij = -aji para cualquier i=1,2,…,n y j=1,2,…,n, así la matriz quedará

Propiedades de las matrices antisimétricas

• Son matrices cuadradas.
• Los elementos de la diagonal principal son todos iguales a 0.
• Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica (lo demostraré más adelante).

• La suma (o resta) de matrices antisimétricas da otra matriz antisimétrica.

• Cualquier matriz antisimétrica multiplicada por un escalar da otra matriz antisimétrica.
• La potencia de una matriz antisimétrica es equivalente a una matriz antisimétrica o una matriz simétrica. Si el exponente es un número par el resultado de la potencia es una matriz simétrica, pero si el exponente es un número impar el resultado de la potenciación es una matriz antisimétrica.
• La traza de una matriz antisimétrica siempre es igual a cero, es normal porque todos los elementos de la diagonal principal son ceros. Hablando de traza, aquí te dejo un artículo para que tengas más información.

• Toda matriz cuadrada A cumple que A – AT es antisimétrica.

Determinante de una matriz antisimétrica

El determinante de una matriz antisimétrica está condicionado por el orden de la matriz:

|A|=|At |= |-A|= (-1)n |A|

Si n es impar su determinante será igual a 0 porque

|A|=(-1)n |A|=-|A|; |A|+|A|=0; 2|A|=0; |A|=0

En cambio, si la matriz antisimétrica tiene orden par el determinante puede tomar cualquier valor.

Por lo tanto, una matriz antisimétrica de orden impar es una matriz singular y una matriz antisimétrica de orden par es una matriz regular.

Cómo descomponer una matriz cuadrada en una matriz simétrica más una antisimétrica

Las matrices cuadradas se pueden descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. Pero ¿se puede descomponer todas las matrices cuadradas? pues sí. Y ¿cómo? te lo explico ahora mismo:

Se hace de la siguiente manera:

Consideramos la matriz cuadrada C que se va a transformar en la suma de una matriz simétrica S y otra matriz antisimétrica A; C=S+A, tomamos la traspuesta de C

Ct = (S+A)t ; Ct = St+At ; como S=St y -A=At tenemos que Ct = S+A; así tendremos el siguiente sistema de ecuaciones matriciales

C=S+A

Ct=S-A

Si resolvemos el sistema matricial por reducción, sumando ambas ecuaciones matriciales, nos queda que C+Ct = 2S, así la matriz simétrica S=1/2(C+Ct); si ahora restamos las dos ecuaciones nos da que

C-Ct = 2A, así la matriz antisimétrica A=1/2(C-Ct);

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