Problemas Resueltos
Problema 1
Calcular los siguientes productos de monomios:
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( 2xcdot 3x)
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(-5cdot 4x)
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( -3cdot (-2x))
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(x^7cdot (-x^2))
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(-x^2cdot (-x^3))
Ver solución
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( 2xcdot 3x)
Se multiplican los coeficientes (2 y 3) y se suman los exponentes de la (x) (1 y 1):
Como los dos monomios tienen signo positivo, el resultado es un monomio con signo positivo.
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(-5cdot 4x)
El resultado es un monomio con signo negativo:
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( -3cdot (-2x))
Como los dos coeficientes son negativos, el resultado es positivo (regla de los signos):
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(x^7cdot (-x^2))
Como el coeficiente de monomio de la izquierda es 1 y el de la derecha es -1, el resultado es negativo:
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(-x^2cdot (-x^3))
El signo del monomio resultante es positivo:
Problema 2
Calcular los siguientes productos de un monomio por un binomio:
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( 3xcdot (1+x^2))
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( (2x-5)cdot x^3)
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( (5x-2)cdot (-x^2))
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((2-5x)cdot (-x^3))
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( (-2x)cdot (-x^2-1))
Ver solución
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( 3xcdot (1+x^2))
Multiplicamos el monomio (3x) por los dos monomios del otro factor del producto:
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( (2x-5)cdot x^3)
Multiplicamos los dos monomios del factor de la izquierda por el monomio (x^3) (cuidado con el signo negativo):
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( (5x-2)cdot (-x^2))
Escribiremos paréntesis porque hay que multiplicar por un monomio negativo:
Nota: el segundo sumando tiene signo positivo como resultado de multiplicar dos números negativos.
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((2-5x)cdot (-x^3))
Procedemos como en el apartado anterior:
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( (-2x)cdot (-x^2-1))
Tenemos que escribir paréntesis porque todos los factores de los productos tienen signo negativo:
Problema 3
Calcular los siguientes productos de un monomio por un trinomio:
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( 3xcdot (1+2x+3x^2))
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( 2x^2 cdot (1-2x+2x^3))
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( -5x^3 cdot (x^2-x^3+2))
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( (5x^4 -3x^2-1)cdot x)
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( (x^2-x^5-x)cdot (-3x^5))
Ver solución
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( 3xcdot (1+2x+3x^2))
Multiplicamos (3x) por los tres monomios del trinomio:
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( 2x^2 cdot (1-2x+2x^3))
Procedemos del mismo modo:
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( -5x^3 cdot (x^2-x^3+2))
Tenemos que tener cuidado con los signos negativos:
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( (5x^4 -3x^2-1)cdot x)
Multiplicamos todos los monomios del factor de la izquierda por el de la derecha:
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( (x^2-x^5-x)cdot (-3x^5))
Utilizamos los paréntesis para los factores negativos:
Problema 4
Sin calcular el producto, ¿cuál es el grado del polinomio resultado de los siguientes productos?
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( (2+x)cdot (x^2-1))
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( (x^2-x^4)cdot (2x-x^2))
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( (x^2-x^6+4)cdot (5x-6x^3+2))
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( (3+x^2)cdot (x-3x^8-x^2))
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( (3x^2+x^3)cdot (x^3-2x^2)cdot (1-x^7))
Ver solución
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( (2+x)cdot (x^2-1))
El grado del polinomio de la izquierda es 1 y el de la derecha es 2. El resultado es un polinomio de grado (1+2=3).
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( (x^2-x^4)cdot (2x-x^2))
El grado del polinomio de la izquierda es 4 y el de la derecha es 2. El resultado es un polinomio de grado (4+2=6).
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( (x^2-x^6+4)cdot (5x-6x^3+2))
El grado del polinomio de la izquierda es 6 y el de la derecha es 3. El resultado es un polinomio de grado (6+3=9).
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( (3+x^2)cdot (x-3x^8-x^2))
El grado del polinomio de la izquierda es 2 y el de la derecha es 8. El resultado es un polinomio de grado (2+8=10).
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( (3x^2+x^3)cdot (x^3-2x^2)cdot (1-x^7))
Es un producto de tres polinomios de grados 3, 3 y 7. Por tanto, el polinomio del resultado es de grado (3+3+7 = 13).
Problema 5
Calcular, con o sin fórmula, los siguientes binomios al cuadrado:
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( (1+x)^2 )
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( (x^2+1)^2 )
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( (x-4)^2 )
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( (x^2-2)^2 )
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( (-2-x^2)^2 )
Ver solución
Primero, los calculamos sin aplicar la fórmula; después, aplicándola.
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( (1+x)^2 )
El cuadrado es el producto
Lo calculamos multiplicando todos los monomios uno a uno:
Aplicamos la fórmula:
Identificamos los elementos:
Por tanto,
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( (x^2+1)^2 )
Calculamos el cuadrado como un producto de binomios:
Aplicamos la fórmula:
Identificamos los elementos:
Por tanto,
-
( (x-4)^2 )
Ahora tenemos el cuadrado de una resta. Lo calculamos como un producto:
Aplicamos la fórmula:
Identificamos los elementos:
Por tanto,
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( (x^2-2)^2 )
Calculamos el cuadrado como un producto:
Aplicamos la fórmula:
Identificamos los elementos:
Por tanto,
-
( (-2-x^2)^2 )
Calculamos el cuadrado como un producto:
Aplicamos la fórmula del cuadrado de la suma:
Identificamos los elementos:
Nota: como los dos monomios son negativos, utilizamos la fórmula para la suma considerando los elementos (a) y (b) con el signo negativo.
Por tanto,
Problema 6
Calcular los siguientes productos (suma por diferencia) sin aplicar la fórmula:
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( (1-2x)cdot (1+2x))
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( (x^2-x)cdot (x^2+x))
Ver solución
Multiplicamos los dos monomios del polinomio de la izquierda por los del de la derecha:
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( (1-2x)cdot (1+2x))
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( (x^2-x)cdot (x^2+x))
Problema 7
El producto «suma por diferencia» es un producto notable cuya fórmula es
$$ (a+b)cdot (a-b) = a^2 -b^2$$
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Calcular los productos del problema anterior aplicando la fórmula.
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Obtener la fórmula calculando el producto ((a+b)cdot (a-b)).
Ver solución
Apartado a:
Identificamos los términos del primer producto:
Aplicamos la fórmula:
Identificamos los términos del segundo producto:
Aplicamos la fórmula:
Apartado b:
Para obtener la fórmula solo tenemos que calcular el producto como lo hicimos en el problema anterior (multiplicando todos los términos):
Nota: en la última igualdad hemos simplificado porque el producto es conmutativo, es decir, (acdot b = bcdot a), y por tanto,
$$-acdot b + bcdot a = 0 $$
Problema 8
Calcular el siguiente producto de polinomios con coeficientes racionales (fracciones):
$$ left( frac{2}{3}cdot x right)cdot (1+5x) $$
Ver solución
El procedimiento a seguir es el mismo:
Problema 9
Calcular el siguiente producto de polinomios con coeficientes racionales (fracciones):
$$ left( frac{2}{3}cdot x -2 right)cdot (3-frac{1}{2}cdot x^2 ) $$
$$ left( frac{2}{3}cdot x -2 right)cdot (3-frac{1}{2}cdot x^2 ) $$
Ver solución
Problema 10
Calcular el producto
$$ (x+2)cdot (x+2)cdot (x+2) $$
Comprobar que se obtiene el mismo resultado aplicando la fórmula del cubo de un binomio:
$$ (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3$$
Ver solución
Primero, multiplicamos los dos polinomios de la izquierda. Después, multiplicamos el resultado por el polinomio que queda.
Identificamos los términos para aplicar la fórmula:
Por tanto,
