Caras, vértices y aristas, en una pirámide.

Hay varios tipos de pirámide, la pirámide triangular tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices, la pirámide cuadrangular tiene 5 caras, 8 aristas y 5 vértices, la pirámide hexagonal tiene 7 caras, 12 aristas y 7 vértices y la pirámide pentagonal tiene 6 caras, 10 aristas y 6 vértices.

Recordemos que, en una figura geométrica, las caras son los polígonos que forman su superficie, las aristas son las líneas que la conforman y los vértices son los puntos que unen las aristas.

Ejemplo de caras, aristas y vértices en una pirámide cuadrangular.

Por supuesto, no es lo mismo que si en lugar de ser una pirámide cuadrangular, fuera una hexagonal, porque en ese caso, tendríamos más caras, más vértices y más aristas.

Ejemplo de caras, aristas y vértices en una pirámide hexagonal.

Con estos ejemplos podemos ver lo sencillo que es encontrar las caras, vértices y aristas, en una pirámide del tipo que sea ésta, basta contar sus partes (caras), líneas (aristas) y cuantas veces las aristas se unen en un punto(vértices)

Características básicas de las caras, aristas y vértices de una pirámide.

• Caras: Son las «partes» que forman las piramides

• Aristas: Son los lados o las «líneas» que delimitan las partes de las piramides

• Vértices: Son los puntos donde se juntan las aristas en las piramides

Ejemplo de Actividades imprimibles

Ejemplos de Caras, vértices y aristas, en una pirámide

• Una pirámide triangular, tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices

• Una pirámide cuadrangular, tiene 5 caras, 8 aristas y 5 vértices

• Pirámide pentagonal, tiene 6 caras, 10 aristas y 6 vértices

Ejemplo de Actividades imprimibles

En geometría, una pirámide cuadrada o pirámide cuadrangular es una pirámide de base cuadrada, a diferencia del tetraedro, cuya base es triangular. Si la cúspide está situada exactamente sobre el centro del cuadrado (pirámide recta),.

Sólido de Johnson (J1)

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Derecha: Pirámide con volumen máximo para una superficie dada

Izquierda: Pirámide de JohnsonDerecha: Pirámide con volumen máximo para una superficie dada

Modelo 3D del sólido de Johnson J₁

Si todas las caras son triángulos equiláteros, entonces la pirámide es uno de los sólidos de Johnson (J1). En este caso, todas las aristas tienen la misma longitud.[1]​

La pirámide cuadrada de Johnson se puede caracterizar por un solo parámetro, que es la longitud de una de sus aristas a. La altura H (del punto central del cuadrado a la cúspide), el área total A y el volumen V de la pirámide son [2]​

H = 1 2 a {displaystyle H={frac {1}{sqrt {2}}}a}

A = ( 1 + 3 ) a 2 {displaystyle A=(1+{sqrt {3}})a^{2}}

V = 2 6 a 3 {displaystyle V={frac {sqrt {2}}{6}}a^{3}}

Volumen máximo para una superficie dada

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Entre todas las pirámides cuadradas con una superficie dada O {displaystyle O} (que incluye las cuatro caras laterales y el área de la base), la que contiene el mayor volumen mide:

a = O 2 , h = O 2 {displaystyle a={frac {sqrt {O}}{2}},quad h={sqrt {frac {O}{2}}}quad }

h = a ⋅ 2 {displaystyle quad h=acdot {sqrt {2}}quad }

Su volumen es entonces V = 1 3 ⋅ a 3 ⋅ 2 = O O 12 2 {displaystyle V={frac {1}{3}}cdot a^{3}cdot {sqrt {2}}={frac {O{sqrt {O}}}{12{sqrt {2}}}}} .

La altura de esta pirámide es el doble de la altura de la pirámide de Jhonson cuadrada.

Para probarlo, basta plantaer la ecuación O = a 2 + a 4 h 2 + a 2 {displaystyle ;O=a^{2}+a{sqrt {4h^{2}+a^{2}}};} para h 2 {displaystyle h^{2}} teniendo en cuenta que U = 9 V 2 = a 4 h 2 {displaystyle U=9V^{2}=a^{4}h^{2}} y determinar el máximo local de U ( a ) {displaystyle U(a)} .

Otras pirámides cuadradas

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Otras pirámides cuadradas tienen caras que son triángulos isósceles. Un ejemplo es la Gran Pirámide de Guiza, cuyos triángulos tienen una longitud de base de 230 metros y una altura inclinada de 219 metros. Dicha pirámide tiene la curiosa propiedad de que la proporción entre la altura inclinada (a lo largo de la bisectriz de la cara) y la altura se aproxima muy bien a la razón áurea, por lo que el área de cada una de las caras triangulares es igual al cuadrado de la altura de la pirámide

En las pirámides cuadradas rectas en general, si el lado de base mide l {displaystyle l} y su altura es h {displaystyle h} , el área y el volumen se calculan según las expresiones siguientes:[3]​

A = l ( l + l 2 + 4 h 2 ) {displaystyle A=l(l+{sqrt {l^{2}+4h^{2}}})}

V = 1 3 l 2 h . {displaystyle V={frac {1}{3}}l^{2}h.}

La fórmula anterior del volumen es también válida para el caso de las pirámides oblicuas, por el principio de Cavalieri.

Poliedros relacionados

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Un octaedro regular se puede considerar una bipirámide cuadrada que se compone de dos Johnson pirámides cuadradas conectadas base a base.El tetraquis hexaedro se puede considerar un cubo a cada una de cuyas caras se añaden pirámides cuadradas chatas.

Topología

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Al igual que cualquier pirámide, la pirámide cuadrada es autodual, al contener el mismo número de vértices y caras.

Una pirámide cuadrada puede representarse por el grafo de rueda W5.

Véase también

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• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.
• Portal:Geometría. Contenido relacionado con Geometría.

Referencias

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Enlaces externos

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Ejemplos resueltos

Pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

Recordemos  los elementos de una pirámide

Para calcular el área total de una pirámide es necesario conocer:

1. El

   área de la base

   (áb ), que es el polígono donde se apoya la pirámide.

2. El

   perímetro de la base

   (pb ), que es la longitud de todas las caras.

3. La

   apotema de la base

   (ap), que es la distancia del centro de la base a cualquier lado.

4. La

   apotema de la pirámide

   (Ap), que es la altura de una cara lateral.

5. La

   altura del poliedro

   (

   h

   ), que es la distancia que hay del centro de la base al vértice de la pirámide.

Si deseas el formulario para obtener el volumen haz clic aquí

Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de una pirámide son las siguientes:

Ejemplos de ejercicios de área y volumen de una pirámide.

1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema

indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas:

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular.  Es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un cuadrado).

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m;  y el apotema de la base 0.60m

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide pentagonal con las siguientes medidas.

Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono regular, ya que la base es pentágono.  Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide pentagonal especificada.

 

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide pentagonal  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.

3.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular  cuyas medidas son las siguientes:

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base), coloreadas en la figura de abajo.

Recuerda que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triángulos laterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap), es igual a la altura del triángulo lateral.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero.  Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide regular triangular especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide triangular con la siguiente fórmula:

Observa que se desconoce la medida de la altura (h) de la pirámide.

Ésta se obtiene a través del Teorema de Pitágoras = C²  = A² + B², donde C es igual a Ap (12 cm) y B es igual a la mitad de la altura de la base (la mitad de 5.19 = 2.595). El valor que busco es A, que es la altura de la pirámide y la encuentro restando B² = C² –  A²;.

Veamos en la siguiente imagen:

Ahora que ya tenemos el valor de la altura de la pirámide (h = 11.7160 cm), obtenemos el volumen de la pirámide:

 

Otros ejemplos relacionados. Ejercicio 1