La bisectriz de un ángulo es aquella semirrecta que, partiendo del respectivo vértice, divide un ángulo en dos partes iguales.
Es decir, la bisectriz es la línea que divide el ángulo en dos porciones de idéntica medida. Es decir, en la imagen inferior, si α es 70º, quedará divido en dos ángulos de 35º.
En este punto, debemos recordar primero que la definición de ángulo es el arco que se forma a partir de la unión de dos rectas, semirrectas o segmentos.
Asimismo, señalamos que una semirrecta, como la bisectriz, se define como la porción de recta que tiene un punto de origen y se extiende hasta el infinito. Es decir, a diferencia de un segmento, no tiene dos, sino solo un extremo.
Cómo dibujar una bisectriz
Para dibujar un bisectriz, primero trazamos una circunferencia de cualquier amplitud, tomando como centro el vértice desde donde se forma el ángulo.
Luego, observaremos que las semirrectas que forman el ángulo cortan la circunferencia en dos puntos. Tomando como centro cada uno de ellos, se dibujan dos circunferencias con el mismo radio.
Luego, la semirrecta que atraviese la intersección entre las dos últimas circunferencias dibujadas, será la bisectriz del ángulo.
Cabe señalar que al trazar las bisectrices de los tres ángulos del triángulo, estas se cruzarán en el incentro de la figura que es el centro de la circunferencia inscrita (dentro) del triángulo.
Como vemos en la figura de abajo, I es el incentro del triángulo ABC. Cabe resaltar que el incentro equidista de los lados del triángulo, es decir, observando la imagen, el segmento ID es igual al segmento IE y, a su vez, igual al segmento IF.
Vale precisar que en nuestro artículo de bisectriz de un triángulo lo definimos como recta, aunque su característica esencial es la misma y divide el ángulo interno de la figura en dos partes iguales.,
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida.[1] Es una recta si se considera como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan, es decir, están a la misma distancia de los lados del ángulo bisecado.
Propiedades
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- La bisectriz es el eje de simetría del ángulo
- Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo
Observación
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- Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos .
En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (z’), y la del ángulo x’Oy es (w’). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx’ = 180º, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90º.
Bisectrices en el triángulo
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- En un triángulo isósceles el eje de simetría contiene una bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
- En un triángulo equilátero cada eje de simetría contiene un bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
Bisectriz como lugar geométrico de los centro de las circunferencias tangentes a los lados del ángulo.
- Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.
Relación métrica
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- ab = mn + d2, siendo m, n los segmentos que determina la bisectriz interna d, sobre el lado c = m+n
Longitud
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1. Para bisectriz interior l A = 2 b + c b c p ( p − a ) {displaystyle l_{A}={frac {2}{b+c}}{sqrt {bcp(p-a)}}} 
2. Bisectriz interior del ángulo A: l A = b c [ ( b + c ) 2 − a 2 ] b + c {displaystyle l_{A}={frac {sqrt {bc[(b+c)^{2}-a^{2}]}}{b+c}}} ![{displaystyle l_{A}={frac {sqrt {bc[(b+c)^{2}-a^{2}]}}{b+c}}}](https://i1.wp.com/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5bffd21c8abbbb882b31225e9c5e0492247fb0)
3. Para la bisectriz exterior l A e = 2 b − c b c ( p − b ) ( p − c ) {displaystyle l_{A}^{e}={frac {2}{b-c}}{sqrt {bc(p-b)(p-c)}}} 
Para la bisectriz de los otros ángulos se sigue el patrón del caso dado, contraponiendo los otros elementos, de manera cíclica.
Ecuaciones de las bisectrices
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En el plano cartesiano
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Sean la rectas
- R_1 cuya ecuación normal es xcosμ + y senμ = p
- R_2 siendo su ecuación normal xcosω + y senω = q
En tal caso la ecuación cartesiana en el plano de las rectas bisectrices, se hallan sumando y restando las ecuaciones de L_1 y L_2
Ejemplo
Sean
R_1: 4x+3y -8 = 0; normalizando
4 5 x + 3 5 y = 8 5 {displaystyle {frac {4}{5}}x+{frac {3}{5}}y={frac {8}{5}}}
3 5 x − 4 5 y = − 12 5 {displaystyle {frac {3}{5}}x-{frac {4}{5}}y=-{frac {12}{5}}}
7 5 x − 1 5 y = − 4 5 {displaystyle {frac {7}{5}}x-{frac {1}{5}}y=-{frac {4}{5}}}
1 5 x + 7 5 y = 20 5 {displaystyle {frac {1}{5}}x+{frac {7}{5}}y={frac {20}{5}}}
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En el espacio En
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Sean las ecuaciones vectoriales.
R_1 M + αu, donde u es vector unitario director, α recorre ℝ, M punto de Rn está de la recta L_1R_2 N+ βv, siendo v un vector director unitario, β cualquier número real, N punto de Rn está de la recta L_2
Entonces las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices de las rectas L_1 y L_2, que se cortan en el punto H son:
L_1:
H + 1 2 ( u + v ) {displaystyle H+{frac {1}{2}}(u+v)}
H + 1 2 ( u − v ) {displaystyle H+{frac {1}{2}}(u-v)}
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Véase también
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Notas y referencias
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- ↑Diccionario de la lengua española (23.ª edición).
Real Academia Española. «Bisectriz» (23.ª edición).
- ↑
Bronstein y otro: Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes
- ↑
Alencar. Exercícios de geometria
- ↑
Pastor-Santaló-Balanzat: Geometría analítica, Edición Revolucionaria, La Habana /1968
- ↑
Haaser y otros. Análisis matemático II, Trillas México
Enlaces externos
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La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos ángulos iguales.
Dibujo de la bisectriz
1º
Se traza un arco correspondiente al ángulo
2º
Desde los dos extremos del arco trazado se trazan, con cualquier abertura del compás, dos arcos que han de cortarse en un punto.
3º
La bisectriz se obtiene dibujando la recta que une ese punto con el vértice.
Otra forma de trazar la bisectriz de un ángulo
1.
Con centro en el vértice del ángulo se traza una circunferencia de cualquier amplitud.
2.
Desde los puntos de corte de la circunferencia con los lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio.
3.
La recta que pasa por el vértice del ángulo y uno de los puntos de corte de las circunferencias es la bisectriz.
Bisectrices de un triángulo
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a cada ángulo, de los ángulos del triángulo, en dos ángulos iguales.
El incentro es el punto de corte de las tres bisectrices.
El incentro se expresa con la letra I.
El incentro es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Ecuaciones de las bisectrices
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman el ángulo.
Ejercicio
Hallar las ecuaciones de las bisectrices y el incentro del triángulo de vértices: A(2, 0), B(0, 1) y C(-3, -2).
En primer lugar hallamos las ecuaciones de los lados del triángulo.
Cálculo de la bisectriz que pasa por A.
Cálculo de la bisectriz que pasa por B.
Cálculo de la bisectriz que pasa por C.
Incentro
El Incentro es el punto de corte de las tres bisectrices interiores. Para calcularlo, se resuelve el sistema formado por dos de las ecuaciones.
Qué es la bisectriz
Bisectriz es la semirrecta que divide un ángulo desde su vértice en dos partes iguales. En matemáticas, la bisectriz tiene la propiedad de dividir un ángulo en dos ángulos con el mismo grado.
La manera más fácil de trazar una bisectriz es usando un compás. Para ello, se debe poner una de las puntas de compás en el vértice del ángulo y cruzar los dos lados que componen el ángulo creando un punto en cada lado.
Luego, se debe volver a colocar una punta del compás en los puntos de cada lado con la misma abertura en el compás. El encuentro de ambos trazos creados a partir de los puntos de los lados servirá para crear la bisectriz con una regla desde el vértice del ángulo.
La bisectriz en un triángulo sigue la misma lógica pero comprende los ángulos internos o los ángulos externos del triángulo.
Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo crearán una intersección que se llama incentro y tiene la característica de ser el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Vea también Ángulo y tipos de triángulos.
Bisectriz y mediatriz
La mediatriz tiene las mismas propiedades que una bisectriz pero divide una recta. Además, la mediatriz se caracteriza por estar perpendicular a la recta de la cual se quiere trazar.
Para trazar una mediatriz, se debe usar un compás colocando uno de sus puntas en los extremos de la recta, con la misma abertura, trazando una circunferencia. De esta forma se obtendrá dos puntos que se interceptan y que serán los puntos que marcarán el paso de la mediatriz por medio de la recta. La mediatriz marcará el punto que se encontrará a la misma distancia a ambos lados de la recta.
