Segmentos rectilíneos que son posibles en todo polígono.

Ahora vamos a profundizar un poco más en el estudio de los segmentos. En esta lección vamos a encontrar algunas características de los segmentos y las rectas que nos ayudarán a estudiar con mayor provecho los siguientes temas.

Tabla de contenidos

Cuando consideramos un segmento rectilíneo en un sistema de coordenadas, no siempre encontraremos segmentos paralelos a alguno de los ejes.

La mayoría de las veces encontraremos segmentos con cierta inclinación. El siguiente segmento es un ejemplo de esos casos:

Este segmento, sin embargo, puede estudiarse de una manera más sencilla si lo descomponemos en proyecciones sobre los ejes coordenados, de la siguiente manera:

De hecho, para deducir las fórmulas que ya hemos utilizado (punto medio, distancia entre dos puntos, etc.) se deducen a partir de la descomposición que se mostró anteriormente. Por ejemplo, para deducir la fórmula de distancia entre dos puntos, dibujamos un triángulo rectángulo, siendo las proyecciones paralelas a los ejes los catetos del triángulo y la hipotenusa el segmento inclinado, como se muestra a continuación:

Fácilmente podemos notar que la dice{componente} del segmento que es paralela al eje $x$ $x$ mide $7 - 1 = 6$ $7 - 1 = 6$ unidades, mientras que la dice{componente} paralela aleje $y$ $y$ mide $5 - 1 = 4$ $5 - 1 = 4$ unidades de longitud. Para encontrar la longitud del segmento, podemos utilizar el teorema de Pitágoras, que estudiamos el semestre pasado. Recuerda que este teorema se aplica solamente a triángulos rectángulos y en este caso, nuestro triángulo es rectángulo. Para encontrar la longitud del segmento hacemos:

$begin{eqnarray*} c^2 &=& 6^2 + 4^2\ c &=& sqrt{6^2 + 4^2}\ end{eqnarray*}$ $begin{eqnarray*} c^2 &=& 6^2 + 4^2\ c &=& sqrt{6^2 + 4^2}\ end{eqnarray*}$

Observa que para calcular las dice{componentes} del segmento paralelas a cada eje, calculamos la diferencia de las coordenadas:

$begin{eqnarray*} Delta x &=& x_2 - x_1\ Delta y &=& y_2 - y_1 end{eqnarray*}$ $begin{eqnarray*} Delta x &=& x_2 - x_1\ Delta y &=& y_2 - y_1 end{eqnarray*}$

Y estos valores son las medidas de los catetos horizontal y vertical, en nuestro caso, del triángulo rectángulo, mientras que la diagonal es la hipotenusa.

Al aplicar el teorema de Pitágoras, obtenemos:

$begin{eqnarray*} c^2 &=& (Delta x)^2 + (Delta y)^2\ c &=& sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}\ &=& sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} end{eqnarray*}$ $begin{eqnarray*} c^2 &=& (Delta x)^2 + (Delta y)^2\ c &=& sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2}\ &=& sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} end{eqnarray*}$

que es la fórmula que utilizamos para encontrar la distancia entre los puntos $P(x_1, y_1)$ $P(x_1, y_1)$ y $Q(x_2, y_2)$ $Q(x_2, y_2)$ . Observa que $c$ $c$ representa la longitud de la hipotenusa, que en este caso es la longitud del segmento $overline{PQ}$ $overline{PQ}$ . Entonces, si tenemos dos puntos en un segmento dirigido, podemos encontrar la distancia entre ellos calculando la diferencia entre sus coordenadas. Al valor que está más a la izquierda (o más arriba) le restamos el valor que esté más a la derecha (o abajo). Para la diferencia de las coordenadas sobre el eje $x$ $x$ lo denotamos por $Delta x$ $Delta x$ y a la diferencia de las coordenadas sobre el eje $y$ $y$ se denotan por $Delta y$ $Delta y$ :

Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas:

a partir de su ecuación,
a partir de dos de sus puntos
a partir del ángulo que forma con uno de los ejes y su distancia al origen, etc.

Para poder desarrollar todas estas formas, primero debemos definir algunos conceptos relacionados.

Inclinación

La inclinación de una recta es el menor ángulo positivo (medido en el sentido positivo) que ésta forma con el eje de las abscisas ( $x$ $x$ ).

El siguiente diagrama muestra la inclinación $alpha$ $alpha$ de la recta $ell$ $ell$ .

Algunas veces conoceremos dos de los puntos por donde pasa la recta. A partir de estos dos puntos siempre podremos calcular $Delta x$ $Delta x$ y $Delta y$ $Delta y$ . Con estos dos valores podemos calcular otro valor que nos ayude a caracterizar la inclinación de la recta.

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Pendiente

La pendiente de la recta que pasa por los puntos $P(x_1,y_1)$ $P(x_1,y_1)$ y $Q(x_2,y_2)$ $Q(x_2,y_2)$ se denota por la letra $m$ $m$ y se calcula con la siguiente fórmula:

$begin{equation*} m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} end{equation*}$ $begin{equation*} m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} end{equation*}$

La pendiente de una recta es igual a la tangente de su inclinación.

Para reconocer cómo caracteriza a una recta su pendiente nos ayudará mucho la siguiente gráfica:

Ya sabemos que la pendiente $m$ $m$ de una recta se define así:

$begin{equation*} m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = frac{Delta y}{Delta x} = frac{mbox{Incremento en }y}{mbox{Incremento en }x} end{equation*}$ $begin{equation*} m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = frac{Delta y}{Delta x} = frac{mbox{Incremento en }y}{mbox{Incremento en }x} end{equation*}$

¿Qué nos dice esto en palabras? Dice: «La pendiente de una recta es igual al incremento de $y$ $y$ entre el incremento de $x$ $x$ «. Ahora la pregunta importante: «… ¿y cómo debo interpretar eso?» Bien, empezamos primero recordando una interpretación para la división: cuando dividimos diez entre cinco obtenemos como resultado dos; esto lo podemos interpretar de varias maneras.

Por ejemplo, una interpretación correcta del resultado de la división es que $2times 5=10$ $2times 5=10$ . Otra interpretación correcta, equivalente a la anterior consiste en decir que el número diez es dos veces más grande que el número cinco. Pero la interpretación que más nos ayudará para el resto del curso es la siguiente: «por cada uno que hay en el denominador de la fracción $displaystylefrac{10}{5}$ $displaystylefrac{10}{5}$ , hay dos en el numerador«; o dicho de otra manera: para tener una fracción equivalente, o el mismo valor, por cada uno que aumentemos en el denominador, tenemos que aumentar dos en el numerador.

Esto mismo podemos generalizarlo y aplicarlo a la fórmula para calcular la pendiente. En este caso, la interpretación dice: «por cada uno que incrementamos en $x$ $x$ , hay que incrementar $m$ $m$ en $y$ $y$ . Así, la pendiente nos dice cuánto debemos subir (en la dirección del eje $y$ $y$ ) por cada unidad que avancemos hacia la derecha (en la dirección del eje $x$ $x$ ). En otras palabras, la pendiente $m$ $m$ de una recta es igual a la razón de los incrementos de las ordenadas $Delta y$ $Delta y$ respecto de las abscisas $Delta x$ $Delta x$ de dos puntos $P(x_1,y_1)$ $P(x_1,y_1)$ y $Q(x_2,y_2)$ $Q(x_2,y_2)$ que se encuentren sobre la recta.

Es importante notar que no podemos definir la pendiente de una recta para la cual $x_2 = x_1$ $x_2 = x_1$ independientemente de los puntos que elijamos. Es decir, no está definida la pendiente de una recta vertical. Esto es así porque en ese caso, $x_2 - x_1 = 0$ $x_2 - x_1 = 0$ y tendremos división por cero. Algo que no está definido. Sin embargo, sí es posible definir la pendiente de la recta para la cual $y_2 - y_1 = 0$ $y_2 - y_1 = 0$ para cualesquiera dos puntos que elijamos sobre la recta. En este caso, $m = 0$ $m = 0$ .

A partir de la definición de pendiente podemos darnos cuenta de manera intuitiva que dos rectas con la misma inclinación, es decir, paralelas, deben tener la misma pendiente. Esto es así porque para que las rectas no se corten por cada unidad que se avance en el eje $x$ $x$ en ambas rectas deben subir la misma cantidad. De otra manera se cortaría en algún punto.

Teorema

Si dos rectas son paralelas sus pendientes son iguales y recíprocamente, si dos rectas tienen sus pendientes iguales son paralelas.

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Si dos rectas son tienen la misma pendiente, debemos subir en el sentido del eje $y$ $y$ la misma cantidad por cada unidad en el sentido del eje $x$ $x$ que avancemos. Por eso son paralelas.

Condición de paralelismo:

Si $m_1$ $m_1$ y $m_2$ $m_2$ son las pendientes de las rectas $ell_1$ $ell_1$ y $ell_2$ $ell_2$ , entonces, $m_1 = m_2$ $m_1 = m_2$ implica que $ell_1parallelell_2$ $ell_1parallelell_2$ .

Si recuerdas, la tangente de un ángulo que se mide en un triángulo rectángulo se calcula con la razón del cateto opuesto entre el cateto adyacente. En el caso de la notación que hemos estado utilizando, tenemos:

$begin{equation*} tan alpha = frac{Delta y}{Delta x} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} end{equation*}$ $begin{equation*} tan alpha = frac{Delta y}{Delta x} = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} end{equation*}$

Utilizando esta definición y algunas propiedades de las funciones trigonométricas, podemos mostrar todavía más propiedades de las rectas.

Si aprovechamos el hecho de que $m = tan alpha$ $m = tan alpha$ , podemos demostrar propiedades que sería difícil demostrar solamente con el uso de las coordenadas.

Por ejemplo, el siguiente teorema, que no es para nada evidente.

Teorema

Si dos rectas son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es el recíproco con signo contrario de la pendiente de la otra recta y recíprocamente.

Demostración

Si ninguna de las rectas es vertical, y $alpha_1$ $alpha_1$ es la inclinación de una, se sigue que $alpha_2 = alpha_1 + 90$ $alpha_2 = alpha_1 + 90$ es la inclinación de la otra, y se tiene que, \

$begin{eqnarray*} setlength{arraycolsep}{.1111em} m_2 &=& tan alpha_2 = tan (alpha_1 + 90)\ &=& -displaystylefrac{1}{tan{alpha_1}} = -displaystylefrac{1}{m_1} end{eqnarray*}$ $begin{eqnarray*} setlength{arraycolsep}{.1111em} m_2 &=& tan alpha_2 = tan (alpha_1 + 90)\ &=& -displaystylefrac{1}{tan{alpha_1}} = -displaystylefrac{1}{m_1} end{eqnarray*}$

La demostración de este teorema requiere del uso de las funciones trigonométricas, así que si no recuerdas bien las definiciones posiblemente te ocasione confusión.

Igual es una buena idea repasar los conceptos del semestre pasado, las definiciones de las funciones trigonométricas y sus propiedades.

Condición de perpendicularidad

Si $m_1$ $m_1$ y $m_2$ $m_2$ son las pendientes de las rectas $ell_1$ $ell_1$ y $ell_2$ $ell_2$ , entonces,

$begin{equation*} m_1 = -frac{1}{m_2} end{equation*}$ $begin{equation*} m_1 = -frac{1}{m_2} end{equation*}$

implica que $ell_1perpell_2$ $ell_1perpell_2$ .

Observa que en caso de que $m_1 = 0$ $m_1 = 0$ , tenemos que la pendiente de la recta $ell_2$ $ell_2$ no está definida, dado que es vertical. Lo mismo ocurre en el caso de que $m_2 = 0$ $m_2 = 0$ . Entonces, $m_1$ $m_1$ no estará definida. En cualquier otro caso, podemos utilizar esta fórmula para calcular la pendiente $m_2$ $m_2$ de la recta $ell_2$ $ell_2$ a partir de la pendiente $m_1$ $m_1$ de la recta $ell_1$ $ell_1$ sabiendo que $ell_1perpell_2$ $ell_1perpell_2$ .

Igualmente, podemos encontrar una fórmula para calcular el menor ángulo que se forma entre dos rectas que se cortan.

Teorema

Si $phi$ $phi$ es el ángulo (medido en contra de las manecillas del reloj) formado entre dos rectas $ell_1, ell_2$ $ell_1, ell_2$ , cuyas pendientes son $m_1$ $m_1$ y $m_2$ $m_2$ , respectivamente, entonces,

$begin{equation*} tanphi = frac{m_2 - m_1}{1 + m_1cdot m_2} end{equation*}$ $begin{equation*} tanphi = frac{m_2 - m_1}{1 + m_1cdot m_2} end{equation*}$

donde $m_1$ $m_1$ es la pendiente de la recta que sirve de lado inicial del ángulo y $m_2$ $m_2$ es la pendiente de la recta que sirve de lado terminal del ángulo.

Demostración

Considerando la siguiente figura:

vemos que: $phi + alpha_1 = alpha_2$ $phi + alpha_1 = alpha_2$ , o bien, $phi = alpha_2 - alpha_1$ $phi = alpha_2 - alpha_1$ .

Podemos utilizar la fórmula de la tangente de la diferencia de dos ángulos:

$begin{equation*} tan(alpha_2 - alpha_1) = frac{tanalpha_2 - tanalpha_1}{1 + tanalpha_1cdottanalpha_2} end{equation*}$ $begin{equation*} tan(alpha_2 - alpha_1) = frac{tanalpha_2 - tanalpha_1}{1 + tanalpha_1cdottanalpha_2} end{equation*}$

Pero, $m_1 = tanalpha_1$ $m_1 = tanalpha_1$ , y $m_2 = tanalpha_2$ $m_2 = tanalpha_2$ . Sustituyendo estos valores en la fórmula anterior, obtenemos:

$begin{equation*} tan(phi) = tan(alpha_2 - alpha_1) = displaystylefrac{m_2 - m_1}{1 + m_1cdot m_2} end{equation*}$ $begin{equation*} tan(phi) = tan(alpha_2 - alpha_1) = displaystylefrac{m_2 - m_1}{1 + m_1cdot m_2} end{equation*}$

vspace{-1ex}

Esta fórmula no puede ser aplicada en el caso de una recta vertical, porque una recta vertical no tiene definida su pendiente. No te preocupes por el momento porque no hemos mostrado ejemplos del uso de estos conceptos y fórmulas. En la siguiente sección tendremos suficientes ejemplos para que logres entender estas ideas.

Los segmentos rectilíneos que son posibles en todo polígono son las diagonales. Una diagonal es un segmento de recta que se traza uniendo dos vértices no adyacentes de un polígono. En otras palabras, las líneas diagonales comienzan en un vértice de la figura y terminan en otro que no esté al lado.

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En la imagen de arriba se muestra, en trazo negro, la diagonal de un cuadrado, que como se aprecia, une dos esquinas opuestas.

Las diagonales del cuadrado miden lo mismo, pero en el rombo, sus dos diagonales son diferentes, hay una mayor, más larga, y otra menor, más corta.

¿Cómo calcular el número de diagonales de un polígono?

Determinar el número de diagonales de un polígono puede ser sencillo cuando se trata de un cuadrado o un rombo, pero a medida que aumenta el número de lados de una figura, se hace más complicado visualizar cuántas diagonales tiene.

Es por esto que en matemática se emplea una sencilla fórmula que hará este proceso mucho más eficiente:

Se debe recordar que n es igual al número de lados del polígono, y n debe ser siempre mayor que 3. ¿Por qué? (sigue leyendo, la respuesta está al final).

Ejemplo 1

Calcular la cantidad de diagonales de un octógono.

El octógono es un polígono regular de ocho lados, esto quiere decir que todos sus lados y ángulos internos son iguales.

Utilizando la fórmula anterior, basta con sustituir n por ocho:

De esta forma se conoce que el número de diagonales que se pueden trazar a partir de los vértices de un polígono octógono es 20.

Sin la fórmula, probablemente sea engorroso tratar de contar todas las diagonales, aun disponiendo de un buen dibujo. Y cuanto mayor sea la cantidad de lados de la figura, más complicado será.

Ejemplo 2

Calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo con el teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras afirma que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo, llamados a y b, es igual al cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto), llamado c.

En notación algebraica sería:

a2 + b2 = c2

La diagonal de un rectángulo forma un triángulo rectángulo, con lo cual podemos usar dicho teorema, donde b es la base y h es la altura.

Si la base es de 12 cm y la altura es de 7 cm, al sustituir resulta:

Por lo tanto, la longitud de la diagonal de dicho rectángulo es de 13,89 centímetros.

Un polígono sin diagonales

¿Es posible que exista un polígono que no tenga líneas diagonales? ¿Cómo sería?

Este acertijo puede utilizarse para disparar la curiosidad en los niños y hacerlos visualizar las diagonales de una figura:

Sí, el triángulo no tiene diagonales.

Explicación

El triángulo es un polígono de tres lados que posee tres ángulos internos. Pero los triángulos son figuras convexas que no tienen líneas diagonales, siendo los polígonos más simples y a la vez más fascinantes de la matemática.

Fijándose bien en la fórmula que permite calcular las diagonales de un polígono:

De inmediato se advierte que al sustituir n = 3, se obtiene como resultado d = 0. Es decir, los triángulos no tienen diagonales, no hay forma de trazar una. Pero los polígonos con n= 4, por ejemplo, tienen todos dos diagonales.

https://www.youtube.com/watch?v=PLEwR-RTQiRPXlEXbIHHBVaM3VMJCehIGc

DP AG

Segmentos rectilíneos que son posibles en todo polígono.

Inclinación

Pendiente

Teorema

Condición de paralelismo:

Teorema

Demostración

Condición de perpendicularidad

Teorema

Demostración

¿Cómo calcular el número de diagonales de un polígono?

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Un polígono sin diagonales

Explicación

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Inclinación

Pendiente

Teorema

Condición de paralelismo:

Teorema

Demostración

Condición de perpendicularidad

Teorema

Demostración

¿Cómo calcular el número de diagonales de un polígono?

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Un polígono sin diagonales

Explicación

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