Para el tratamiento matemático formal, véase Serie matemática

Letra sigma mayúscula, notación del sumatorio.

El sumatorio[1]​[2]​ o sumatoria (también conocido como operación de suma, notación sigma o símbolo suma) es una notación matemática que permite representar sumas de varios sumandos, n o incluso infinitos sumandos, evitando el empleo de los puntos suspensivos o de una explícita notación de paso al límite.[3]​ Se expresa con la letra griega sigma mayúscula ( Σ {displaystyle Sigma } , Σ). Aunque se necesita aclarar que la palabra sumatoria o sumatorio no es aceptada entre varios matemáticos ya que la forma correcta de decirlo es suma.

Notación

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Notación de sigma mayúscula

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La notación se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ de la siguiente manera:

∑ i = m n a i = a m + a m + 1 + a m + 2 + ⋯ + a n {displaystyle sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n}}

Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de a sub-i». La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:

m ≤ n {displaystyle mleq n}

Pudiendo ver además que si m = n entonces:

m = n , ∑ i = m n a i = ∑ i = m m a i = a m {displaystyle m=n;,quad sum _{i=m}^{n}a_{i}=sum _{i=m}^{m}a_{i}=a_{m}}

Si m es mayor que n, el resultado es cero, el elemento neutro de la suma:

m > n , ∑ i = m n a i = 0 {displaystyle m>n;,quad sum _{i=m}^{n}a_{i}=0}

Como el conjunto de índices es un intervalo de enteros, es corriente indicar el primer índice debajo del símbolo de sumatoria, y el último por encima del mismo. Las siguientes notaciones son equivalentes

∑ i ∈ [ m , n ] a i = ∑ i = m i = n a i = ∑ i = m n a i . {displaystyle sum _{iin [m,n]}{a_{i}}=sum _{i=m}^{i=n}{a_{i}}=sum _{i=m}^{n}{a_{i}}.}

El número de términos a sumar es entonces n − m + 1 {displaystyle n-m+1} , ya que el primer sumando es a m {displaystyle a_{m}} y el último sumando es a n {displaystyle a_{n}} .

La suma de los cuadrados de los seis primeros enteros estrictamente positivos se escribe por ejemplo

∑ i = 1 6 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 91. {displaystyle sum _{i=1}^{6}{i^{2}}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=91.}

La conmutatividad y la asociatividad de la adición, hacen que el resultado de una serie (finita) de adiciones, no dependa del orden en el cual los términos son considerados. La suma de una familia finita de elementos ( a i ) {displaystyle (a_{i})} indexada por un conjunto I {displaystyle I} (no necesariamente ordenado) se indica entonces ∑ i ∈ I a i {displaystyle sum _{iin I}{a_{i}}} .

Cuando la familia considerada es un conjunto finito A {displaystyle A} , la correspondiente suma también puede escribirse

∑ x ∈ A x = ∑ A , {displaystyle sum _{xin A}{x}=sum A,}

La suma vacía convencionalmente es considerada igual a cero, entre otras cosas a fin de satisfacer la igualdad

∑ A ∪ B = ∑ A + ∑ B − ∑ A ∩ B . {displaystyle sum {Acup B}=sum A+sum B-sum {Acap B}.}

La notación de Einstein simplemente omite la escritura del símbolo de suma, ya que si un índice aparece sin definición, se sobreentiende que lo que se representa es la suma de los elementos al variar el índice.

Nótese que, aunque el término sumatorio se refiere a un operador matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no sustituye este término a la palabra suma, por lo que con esta intención es un fantónimo. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio de dos y tres es cinco».

Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:

x ¯ = ∑ i = 1 n x i n {displaystyle {overline {x}}={frac {displaystyle sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}}

Suma de una serie

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Si ( a n ) {displaystyle (a_{n})} es un elemento de una serie, la suma total de los elementos de esta, es el límite de las sumas parciales (si es que este límite existe) ∑ n = 0 ∞ a n = lim N → + ∞ ∑ n = 0 N a n {displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}=lim _{Nrightarrow +infty }sum _{n=0}^{N}a_{n}} .

Identidades

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Hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 {displaystyle sum _{i=1}^{n}i={frac {n(n+1)}{2}}}

∑ i = 1 1000 i = 1000 ( 1000 + 1 ) 2 = 500 500 {displaystyle sum _{i=1}^{1000}i={frac {1000;(1000+1)}{2}}=500;500}

De igual forma, para sumar una serie de números naturales consecutivos cualesquiera, desde m {displaystyle m} hasta n {displaystyle n} , podemos recurrir a esta fórmula:

∑ i = m n i = 1 2 ( n 2 − m 2 + n + m ) {displaystyle sum _{i=m}^{n}i={frac {1}{2}}(n^{2}-m^{2}+n+m)}

∑ i = 100 200 i = 1 2 ( 200 2 − 100 2 + 200 + 100 ) = 15 150 {displaystyle sum _{i=100}^{200}i={frac {1}{2}}(200^{2}-100^{2}+200+100)=15;150} (suma de los naturales desde 100 hasta 200)

Algunas propiedades de la operación de suma

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∑ n = s t C ⋅ f ( n ) = C ⋅ ∑ n = s t f ( n ) {displaystyle sum _{n=s}^{t}Ccdot f(n)=Ccdot sum _{n=s}^{t}f(n)}

C es una constante

∑ n = s t f ( n ) + ∑ n = s t g ( n ) = ∑ n = s t [ f ( n ) + g ( n ) ] {displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)+sum _{n=s}^{t}g(n)=sum _{n=s}^{t}left[f(n)+g(n)right]}

∑ n = s t f ( n ) − ∑ n = s t g ( n ) = ∑ n = s t [ f ( n ) − g ( n ) ] {displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)-sum _{n=s}^{t}g(n)=sum _{n=s}^{t}left[f(n)-g(n)right]}

∑ n = s t f ( n ) = ∑ n = s + p t + p f ( n − p ) {displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)=sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)}

∑ n = s j f ( n ) + ∑ n = j + 1 t f ( n ) = ∑ n = s t f ( n ) {displaystyle sum _{n=s}^{j}f(n)+sum _{n=j+1}^{t}f(n)=sum _{n=s}^{t}f(n)}

∑ n ∈ A f ( n ) = ∑ n ∈ σ ( A ) f ( n ) {displaystyle sum _{nin A}f(n)=sum _{nin sigma (A)}f(n)}

A (Donde σ es una permutación de A).

∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 a i , j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 a i , j {displaystyle sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}}

∑ n = 0 t f ( 2 n ) + ∑ n = 0 t f ( 2 n + 1 ) = ∑ n = 0 2 t + 1 f ( n ) {displaystyle sum _{n=0}^{t}f(2n)+sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=sum _{n=0}^{2t+1}f(n)}

∑ n = 0 t ∑ i = 0 z − 1 f ( z ⋅ n + i ) = ∑ n = 0 z ⋅ t + z − 1 f ( n ) {displaystyle sum _{n=0}^{t}sum _{i=0}^{z-1}f(zcdot n+i)=sum _{n=0}^{zcdot t+z-1}f(n)}

∑ n = s t ln ⁡ f ( n ) = ln ⁡ ∏ n = s t f ( n ) {displaystyle sum _{n=s}^{t}ln f(n)=ln prod _{n=s}^{t}f(n)}

c [ ∑ n = s t f ( n ) ] = ∏ n = s t c f ( n ) {displaystyle c^{left[sum _{n=s}^{t}f(n)right]}=prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}}

Algunas sumas de expresiones polinómicas

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∑ i = m n C = C ⋅ ( n − m + 1 ) {displaystyle sum _{i=m}^{n}C=Ccdot (n-m+1)}

C {displaystyle C}

∑ i = 1 n 1 i = H n {displaystyle sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i}}=H_{n}}

número armónico)

∑ i = 1 n 1 i k = H n k {displaystyle sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}}

número armónico generalizado)

∑ i = m n i = n ( n + 1 ) 2 − m ( m − 1 ) 2 = ( n + 1 − m ) ( n + m ) 2 {displaystyle sum _{i=m}^{n}i={frac {n(n+1)}{2}}-{frac {m(m-1)}{2}}={frac {(n+1-m)(n+m)}{2}}}

progresión aritmética)

∑ i = 0 n i = ∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 {displaystyle sum _{i=0}^{n}i=sum _{i=1}^{n}i={frac {n(n+1)}{2}}}

∑ i = 1 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 = n 3 3 + n 2 2 + n 6 {displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={frac {n^{3}}{3}}+{frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{6}}}

número piramidal cuadrado)

∑ i = 1 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 = n 4 4 + n 3 2 + n 2 4 = [ ∑ i = 1 n i ] 2 {displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{3}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)^{2}={frac {n^{4}}{4}}+{frac {n^{3}}{2}}+{frac {n^{2}}{4}}=left[sum _{i=1}^{n}iright]^{2}}

∑ i = 1 n i 4 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 3 n 2 + 3 n − 1 ) 30 = n 5 5 + n 4 2 + n 3 3 − n 30 {displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{4}={frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={frac {n^{5}}{5}}+{frac {n^{4}}{2}}+{frac {n^{3}}{3}}-{frac {n}{30}}}

∑ i = 1 n i p = n p + 1 p + 1 + ∑ k = 1 p ( p k ) B k p + 1 − k ⋅ n p + 1 − k , {displaystyle sum _{i=1}^{n}i^{p}={frac {n^{p+1}}{p+1}}+sum _{k=1}^{p}{p choose k}{frac {B_{k}}{p+1-k}}cdot n^{p+1-k},,}

B k {displaystyle B_{k}}

número de Bernoulli (ver fórmula de Faulhaber).

Las siguientes fórmulas son manipulaciones de

∑ i = 0 n i 3 = ( ∑ i = 0 n i ) 2 {displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{3}=left(sum _{i=0}^{n}iright)^{2}}

generalizadas para que la serie comience en cualquier número natural (i.e., m ∈ N {displaystyle min mathbb {N} } ):

( ∑ i = m n i ) 2 = ∑ i = m n ( i 3 − i m ( m − 1 ) ) {displaystyle left(sum _{i=m}^{n}iright)^{2}=sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))}

∑ i = m n i 3 = ( ∑ i = m n i ) 2 + m ( m − 1 ) ∑ i = m n i {displaystyle sum _{i=m}^{n}i^{3}=left(sum _{i=m}^{n}iright)^{2}+m(m-1)sum _{i=m}^{n}i}

Algunas sumas que contienen términos exponenciales

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En los sumatorios siguientes a es una constante no igual a 1

∑ i = m n − 1 a i = a m − a n 1 − a {displaystyle sum _{i=m}^{n-1}a^{i}={frac {a^{m}-a^{n}}{1-a}}}

m < n

; ver serie geométrica)

∑ i = 0 n − 1 a i = 1 − a n 1 − a {displaystyle sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={frac {1-a^{n}}{1-a}}}

∑ i = 0 n − 1 i a i = a − n a n + ( n − 1 ) a n + 1 ( 1 − a ) 2 {displaystyle sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}

∑ i = 0 n − 1 i 2 i = 2 + ( n − 2 ) 2 n {displaystyle sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}}

a = 2)

∑ i = 0 n − 1 i 2 i = 2 − n + 1 2 n − 1 {displaystyle sum _{i=0}^{n-1}{frac {i}{2^{i}}}=2-{frac {n+1}{2^{n-1}}}}

a = 1/2)

Algunas sumas que contienen coeficientes binomiales y factoriales

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∑ i = 0 n ( n i ) = 2 n {displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}=2^{n}}

∑ i = 1 n i ( n i ) = n 2 n − 1 {displaystyle sum _{i=1}^{n}i{n choose i}=n2^{n-1}}

∑ i = 0 n i ! ⋅ ( n i ) = ∑ i = 0 n n P i = ⌊ n ! ⋅ e ⌋ {displaystyle sum _{i=0}^{n}i!cdot {n choose i}=sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=lfloor n!cdot erfloor }

∑ i = 0 n − 1 ( i k ) = ( n k + 1 ) {displaystyle sum _{i=0}^{n-1}{i choose k}={n choose k+1}}

∑ i = 0 n ( n i ) a ( n − i ) b i = ( a + b ) n {displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}}

Teorema del binomio

∑ i = 0 n i ⋅ i ! = ( n + 1 ) ! − 1 {displaystyle sum _{i=0}^{n}icdot i!=(n+1)!-1}

∑ i = 1 n i + k P k + 1 = ∑ i = 1 n ∏ j = 0 k ( i + j ) = ( n + k + 1 ) ! ( n − 1 ) ! ( k + 2 ) {displaystyle sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=sum _{i=1}^{n}prod _{j=0}^{k}(i+j)={frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}

∑ i = 0 n ( m + i − 1 i ) = ( m + n n ) {displaystyle sum _{i=0}^{n}{m+i-1 choose i}={m+n choose n}}

Errores comunes

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En español suele llamarse erróneamente «sumatoria» (por calco a la palabra inglesa summatory); sin embargo, según el diccionario de la Real Academia Española, dicha palabra no existe en la lengua española; aunque en la vigésima tercera edición ha sido incorporada la expresión «sumatorio». Aun con ello, la tradición en la lengua española ha sido llamarle «suma» u «operación de suma».

Véase también

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Referencias

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Enlaces externos

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