¿Qué es la tasa de variación media?
La tasa de variación media (T. V. M.) de una función en un intervalo cerrado mide el aumento o disminución de esa función en el mismo intervalo. En otras palabras, estamos viendo qué tan inclinada o «hundida» es la pendiente en un tramo de la función. Medimos qué tanto incrementa la y dividido entre lo que varía la x en una parte específica de la función.
Cómo calcular la T.V.M de una función f(x) en un intervalo [a, b] (versión fácil)
Como ya vimos, la tasa de variación media es lo que incrementa o disminuye la f(x) o «y» respecto a la «x». Es decir, un cociente. Su fórmula es la siguiente:
T.V.M. [a, b] = (f(b) – f(a)) / (b – a)
Truco para memorizar la fórmula: Piensa en la palabra «baba» o «Alibaba». Así sabrás que la b va primero que la a en el numerador y denominador.
Ahora supongamos que se nos pide calcular la T.V.M. de la función f(x)= x^2-x+3 en el intervalo [2, 3]. Se resolvería tal que así:
- Identificar qué es a y qué es b.
- Hallar el valor de f(b).
- Hallar el valor de f(a) (no importa si haces primero el paso 2 y luego el 3).
- Insertar los valores en la fórmula y resolver.
Paso 1: Si nos piden calcularla en un intervalo [a, b], el valor de la izquierda es a y el valor de la derecha es b. Por lo tanto, a equivale a 2, y b equivale a 3.
Paso 2: Hallamos el valor de f(b) insertando el valor de b en la función y resolviendo:
- f(3) = 3^2 – 3 + 3 = 9 – 3 + 3 =
9
Paso 3: Hacemos lo mismo con f(a):
- f(2) = 2^2 – 2 + 3 = 4 – 2 + 3 =
5
Paso 4: Insertamos resultados en nuestra fórmula y operamos:
- (f(b) – f(a)) / (b – a) = (9 – 5) / (3 – 2) = 4 / 1 =
4
La T.V.M. de la función f(x) = x^2 – x + 3 en el intervalo [2, 3] es 4.
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Demostración gráfica
Podemos observar el incremento de la función desde los puntos (2, 5) y (3, 9). La línea roja es la función y la línea azul es la pendiente que pasa por los dos puntos del intervalo (recta tangente), que equivale a la pendiente de la función. Esta recta es la función f(x) = 4x – 3, por lo que tiene un incremento de 4 respecto a la x.
Se ve como por cada unidad que la función avanza en el eje x, la función asciende 4 unidades en el eje y. Es como si por cada gol que marcaras te regalaran cuatro pastelillos.
Nuestra función se desplazó una unidad en horizontal (de 2 a 3) y cuatro unidades en vertical (de 5 a 9). Todo en el intervalo cerrado de [2, 3].
La T.V.M. de una función f(x) en un intervalo [a, a + h] (versión difícil)
Ahora que ya vimos cómo es la T.V.M. con un intervalo cerrado [a, b], veamos cómo se hace con un intervalo [a, a + h].
Hay dos principales diferencias.
La primera es que estamos manejando una incógnita/variable, h, por lo que el resultado de la T.V.M. también contendrá la variable h. Esto puede resultar confuso, pero es así. Como h es variable, el resultado en el que aparece h también lo será.
La segunda implica que tendremos que insertar no solo un número, sino una suma de una letra y un número (a + h) en la operación. Aquí tendremos que ser cuidadosos a la hora de insertar los valores, ya que si lo hacemos muy de prisa o nos despistamos podemos saltarnos signos negativos o potencias. Errores como estos te pueden costar el ejercicio entero en un examen.
Esta vez la fórmula es casi la misma. Solo se cambia f(b) por f(a + h):
T.V.M. ([a, a + h]) = (f(a + h) – f(a)) / (f(a + h) – f(a))
Dicho esto, calculemos la T.V.M. de la función f(x) = x^2 – x + 3 en el intervalo [2, 3]. Los mismos del ejercicio anterior. Seguiremos las mismas instrucciones:
- Diferenciar a de a + h. Esto ya te lo dice el intervalo, por lo que me salto este paso.
- Hallar el valor de f(a).
- Hallar el valor de f(a + h). Por precaución, siempre insertar «a + h» entre paréntesis.
- Sustituir las funciones por los resultados que obtuvimos y operar.
Paso 2: Sustituimos en f(x) el valor de a por el de x y operamos:
f(2) = 2^2 – 2 + 3 = 4 – 2 + 3 = 5
Paso 3: Sustituimos en f(x) el valor de a + h por el de x y operamos. Poner a + h entre paréntesis:
f(2 + h) = (2 + h)^2 – (2 + h) + 3 = (4 + 4h + h^2) – 2 – h + 3 = h^2 + 3h + 5
Paso 4: Ponemos nuestros resultados en la fórmula y operamos:
(f(a + h) – f(a)) / ((a + h) – a)) = (h^2 + 3h + 5) – 5) / (2 + h) – 2 = (h^2 + 3h) / h = (h + 3) / 1 = h + 3
La T.V.M. es h + 3. Este es el resultado final; ya no hay más pasos. El resultado aplica para cualquier valor que tenga h.
Si te resulta confuso, supón que h equivale a 1. Ve a la demostración gráfica de antes y verás que si h equivale a 1. h sería la distancia entre el 2 y el 3. Entonces sería el MISMO ejemplo de antes:
f(2 + h) = f(3) -> h^2 + 3h + 5 = (1)^2 + 3(1) + 5 = 9
h + 3 = 4
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Cuestiones finales
¿Por qué se le llama intervalo «cerrado»?
Existen dos tipos de intervalos: los abiertos y los cerrados. Los intervalos abiertos incluyen lo que hay dentro de ellos, pero no sus dos puntos extremos. Al contrario, los intervalos cerrados sí incluyen sus dos puntos extremos.
Ejemplo: el intervalo abierto (2,3) incluye a números desde el 2,0000..1 hasta el 2,9999..9. El intervalo cerrado [2, 3] incluye números desde el 2 al 3.
¿Por qué «b – a» y no «a – b»?
Porque medimos la variación entre dos puntos (intervalo) midiendo el valor del segundo punto (o sea, b) con respecto al punto anterior (punto a). Si hacemos la operación haciendo «a-b» nos saldrá la T.V.M. con el signo opuesto.
¡Muchas gracias por leer mi artículo! Espero que te haya gustado y que hayas aprendido algo nuevo. Si quieres que tu hij@ o tú empiecen el instituto con apoyo escolar con un profesor particular de matemáticas, no dudes en contactarme a mi o a otro de la plataforma.
La tasa de variación media de una función en un intervalo nos permite estudiar el cambio que experimenta dicha función en el intervalo. En este apartado la vamos a estudiar a través de los siguientes puntos:
La tasa de variación media es el primer paso para que puedas empezar a entender qué es una derivada.
¿Empezamos?
Concepto
Observa la siguiente imagen:
Tasa de variación de una función
La tasa de variación de una función en un intervalo [a,b] nos dice cuánto cambia la función en dicho intervalo. En 1, la tasa de variación de la función en el intervalo [1,5] es 2, porque f(b)-f(a)=f(5)-f(1)=3-1=2. En 2, la tasa de variación en el intervalo [1,3] también es 2: f(b)-f(a)=f(3)-f(1)=3-1=2.
Como ves, ambas funciones crecen lo mismo, pero el intervalo que le lleva a la primera alcanzar esa variación es de 4 unidades (pues el intervalo [1,5] «mide» 4 unidades), mientras que la segunda alcanza esa variación en tan solo 2 (pues el intervalo [1,3] «mide» 2 unidades). Así pues, para caracterizar el comportamiento de la función en el intervalo podemos hacer uso de otra expresión más precisa: la tasa de variación media.
Tasa de variación media de una función
La tasa de variación media de una función en un intervalo [a,b] nos dice cuánto cambia la función de media en dicho intervalo. Para obtenerla hay que considerar tanto el cambio que se produce en el eje y, en azul, como el cambio que se produce en el eje x, en verde.
Expresión
Como puedes suponer, para obtener la tasa de variación media (T.V.M.) en un intervalo [a, b] dividimos la variación de la función (es decir, su tasa de variación) entre la variación de x:
óóT.V.M a, b = Variación de yVariación de x=∆y∆x
La variación que se produce en y es, como ya hemos visto, f(b)-f(a). La variación que se produce en x es directamente b-a. Más formalmente:
Definimos la tasa de variación media de una función f(x) en un intervalo [a, b] como:
T.V.M a, b = fb-fab-a
La expresión anterior está dada en función de los extremos del intervalo (a y b). En ocasiones es habitual expresar un intervalo como [a, a+h], siendo h la longitud del mismo. En este caso:
La tasa de variación media también puede ser expresada como:
T.V.M a, a+h = fa+h-fah
Comprobación
Si consideramos b=a+h nos queda:
T.V.M a, b =fb-fab-a=fa+h-faa+h-a= fa+h-fah
Cuando la tasa de variación media en un intervalo es positiva, significa que la función crece en dicho intervalo. Si es negativa, la función decrece.
Representación e Interpretación geométrica
Geométricamente, la tasa de variación media es la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b, f(b)).
Representación gráfica de la tasa de variación media
En rojo, la recta que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b, f(b)). Se denomina recta secante (recta que corta). El valor de su pendiente, m, es, precisamente, la tasa de variación media. Observa que, en 1, la función es creciente y la T.V.M. > 0, pues f(b)>f(a). En cambio, en 2, la función es decreciente y la T.V.M. < 0 pues f(b)<f(a). Observa que, en este último caso, hay subintervalos de [a,b] en los que la función es creciente, aunque globalmente es decreciente, de ahí que la tasa de variación media sea negativa.
Justificación
Conocida la ecuación de una recta en forma explícita, y=m·x+y0, que pasa por los puntos (x,y) = (a,f(a)) y (x,y) = (b,f(b)), podemos escribir:
1 a, fa⇒fa=a·m+y02 b, fb⇒fb=b·m+y0⇒-1·1-fa=-a·m-y0fb=+b·m+y0fb-fa=m·b-a⇒m=fb-fab-a
Como ves, calculando m, la pendiente de la recta que pasa por los puntos considerados, obtenemos el mismo valor de la T.V.M.
Ejemplos en física
La tasa de variación media es una magnitud muy utilizada en ciencias para estudiar como cambian ciertas magnitudes respecto a otras. Por ejemplo, para estudiar como varía la velocidad en un intervalo de tiempo estudiamos su velocidad media, que no es más que la tasa de variación media de la posición respecto al tiempo. Cuando la velocidad media es grande, la posición varía mucho para una variación de tiempo dada.
Otro ejemplo sería la segunda ley de Newton. Así, para estudiar la fuerza aplicada a un cuerpo en un intervalo de tiempo estudiamos la tasa de variación media del momento lineal respecto al tiempo en ese intervalo. Cuando la fuerza aplicada en el intervalo es alta, el momento lineal varía mucho en ese intervalo de tiempo. Cuando la fuerza aplicada es pequeña, la variación del momento lineal también es pequeña. Te invitamos a que navegues los contenidos de la web para encontrar fórmulas que puedas interpretar bajo este punto de vista.
