Un teselado regular o teselado con polígonos regulares es un teselado del plano que emplea un solo tipo de polígonos regulares.[1]​ Estos patrones geométricos han sido ampliamente utilizados con fines decorativos desde la antigüedad. Solo son posibles teselados regulares empleando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. El primer tratamiento matemático sistemático del tema fue el de Kepler.

Teselados Perfectos

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Según Branko Grünbaum y Shephard (sección 1.2), se dice que un teselado esta hecho a la perfección si el grupo de simetría del teselado opera transitivamente sobre los elementos del teselado, donde un elemento consiste de un vértice mutuamente incidente, una arista y una tesela. Esto significa que por cada par de elementos hay una operación de simetría que los asocia entre sí.

Esto es equivalente a un teselado arista con arista de polígonos regulares congruentes. Debe haber seis triángulos, cuatro cuadrados o tres hexágonos regulares en cada vértice, produciendo las tres teselaciones regulares.

Teselados de Arquímedes, uniformes o semirregulares

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Artículo principal:

Teselado de Arquímedes

La transitividad de vértice significa que por cada par de vértices existe una operación de simetría que asocia el primer vértice con el segundo.

Si el requisito de la transitividad de elemento se relaja a transitividad de vértice, mientras que se mantiene la condición de la teselación arista con arista, aparecen ocho teselaciones adicionales posibles, conocidas como teselados de Arquímedes, uniformes o teselados semirregulares. Téngase en cuenta que hay dos formas especulares (enantiomorfas o quirales) del teselado 34.6 (hexagonal romo), las cuales se muestran en la siguiente tabla. Todos los otros teselados regulares y semirregulares son aquirales.

Grünbaum y Shephard distinguen la descripción de estos teselados como de Arquímedes refiriéndose únicamente a la propiedad local de que la disposición de las teselas alrededor de cada vértice es la misma, y el término uniforme se refiere a la propiedad global de la transitividad de vértice. Aunque estos producen el mismo conjunto de teselados en el plano, en otros espacios existen teselados de Arquímedes que no son uniformes.

Combinaciones de polígonos regulares que pueden reunirse en un vértice

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Los ángulos internos de los polígonos que confluyen en un vértice deben sumar 360 grados. Un n {displaystyle n,!} -gono regular tiene un ángulo interno de ( 1 − 2 n ) 180 {displaystyle (1-{frac {2}{n}})180} grados. Hay diecisiete combinaciones de polígonos regulares cuyos ángulos interiores suman 360 grados, cada uno referido a una especie de vértice, y en cuatro casos hay dos órdenes distintos cíclicos de polígonos, produciendo veintiún tipos de vértice. Solo once de estos pueden presentarse en un teselado uniforme de polígonos regulares. En particular, si hay tres polígonos que se encuentran en un vértice y uno tiene un número impar de lados, los otros dos polígonos deben ser del mismo tamaño. Si no es así, tendrían que alternarse alrededor del primer polígono, lo cual es imposible si su número de lados es impar.

Con tres polígonos en un vértice:

• 7.3.42 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)
• 8.3.24 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)
• 9.3.18 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)
• 3.10.15 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)
• 3.122 – semi-regular, teselado hexagonal truncado
• 4.5.20 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)
• 4.6.12 – semi-regular, teselado trihexagonal truncado
• 4.82 – semirregular, teselado cuadrado truncado
• 52.10 (no puede aparecer en ningún teselado de polígonos regulares)
• 63 – regular, teselado hexagonal

A continuación se presentan los diagramas de vértices como:

Con cuatro polígonos en un vértice:

• 32.4.12 – no uniforme, hay dos tipos de vértices: 32.4.12 y 36
• 3.4.3.12 – no es uniforme, tiene dos tipos diferentes de vértices: 3.4.3.12 y 3.3.4.3.4
• 32.62 – no es uniforme, se presenta en dos modelos con vértices: 32.62/36 and 32.62/3.6.3.6.
• 3.6.3.6 – semirregular, teselado trihexagonal
• 44 – regular, teselado cuadrado
• 3.42.6 – no es uniforme, tiene vértices 3.42.6 y 3.6.3.6.
• 3.4.6.4 – semi-regular, teselado rombitrihexagonal

A continuación se presentan los diagramas de vértices como:

Con 5 polígonos en un vértice:

A continuación se presentan los diagramas de vértices como:

Con 6 polígonos en un vértice:

• 36 – regular, Teselado triangular

Debajo figura su diagrama:

Otros teselados arista con arista

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Se puede dibujar cualquier número de teselados no-uniformes de polígonos regulares con aristas compartidas (arista con arista). He aquí cuatro ejemplos:

32.62 y 36
32.62 y 3.6.3.6
32.4.12 y 36
3.42.6 y 3.6.3.6

Tales teselados periódicos se pueden clasificar por el número de órbitas de los vértices, aristas y teselas. Si hay n {displaystyle n} órbitas de vértices, el teselado se conoce como n {displaystyle n} -uniforme o n {displaystyle n} -isogonal; si hay n {displaystyle n} órbitas de teselas, es llamado n {displaystyle n} -isoédrico, si hay n {displaystyle n} órbitas de aristas, es llamado n {displaystyle n} -isotoxal. Los ejemplos anteriores son cuatro de los veinte teselados 2-uniformes. Chavey clasifica todos los teselados de polígonos regulares con aristas compartidas que son al menos 3-uniformes, 3-isoédricos o 3-isotoxales.

El plano hiperbólico

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Teselados uniformes en el plano hiperbólico

Estos teselados están también relacionados con los poliedros regulares y semirregulares y los teselados del plano hiperbólico. Los poliedros semirregulares se hacen a partir de caras que son polígonos regulares, pero sus ángulos en un punto suman menos de 360 grados. Los polígonos regulares en la geometría hiperbólica tienen ángulos más pequeños que el que poseen en el plano. En ambos casos, que la disposición de polígonos sea la misma en cada vértice, no significa que el poliedro o el teselado sea vértice-transitivo.

Algunos teselados regulares del plano hiperbólico (usando la proyección del modelo de disco de Poincaré) son:

Véase también

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Referencias

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Enlaces externos

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Enlaces a teselados generales y euclídeos:

Enlaces a teselados hiperbólicos:

Teselado en el pavimento de una calle

Teselado hexagonal decorando un suelo (Roma)

Ejemplo de pavimento teselado natural en la península de Tasman, Tasmania , Australia.

Los términos teselaciones y teselado[1]​ hacen referencia a una regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. Que no queden espacios.
2. Que no se superpongan las figuras.

Los teselados se crean usando copias isométricas de una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir enteramente una superficie.

Distintas culturas a lo largo de la historia han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

Teselados regulares

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Artículo principal:

Teselado regular

Teselado a base de triángulos equiláteros

Un teselado regular o teselado con polígonos regulares es un teselado del plano que emplea un solo tipo de polígonos regulares. Estos patrones geométricos han sido ampliamente utilizados con fines decorativos desde la antigüedad.

• 

  Triángulos equiláteros

• 

  Cuadrados

• 

  Hexágonos

Ejemplo: Los cuadrados, al tener ángulos de 90°, pueden encajar cuatro por vértice y teselar localmente el entorno de dicho vértice.

Teselados semirregulares

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Son aquellos que contienen dos o más polígonos regulares en su formación.

Un teselado semirregular tiene las siguientes propiedades:

1. Está formado solo por polígonos regulares.
2. La distribución de polígonos es idéntica en cada vértice.
3. Solo existen ocho teselados semirregulares.

• 

  4 8 8

• 

  3 3 3 4 4

• 

  3 3 4 3 4

• 

  3 3 3 3 6

• 

  3 12 12

• 

  3 4 6 4

• 

  3 6 3 6

• 

  4 6 12

Teselados con figuras semirregulares

• 

  4 8 8

• 

  3 3 4 3 4

• 

  3 3 3 3 6

• 

  3 12 12

• 

  3 4 6 4

• 

  3 6 3 6

• 

  4 6 12

Teselados irregulares

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Son aquellos formados por polígonos no regulares, pero nunca dejan espacios o fisuras.

Cuadriláteros

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Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo deben prolongarse sus lados paralelos y construirse los nuevos paralelogramos congruentes al primero.

Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo es fácil de demostrar, con el teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego tesela. Este método se llama método de la malla invisible.

Triángulos

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Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente. En general, cualquier triángulo tesela el plano al construir un paralelogramo de la misma manera.

Hexágonos

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Además de los hexágonos regulares, los hexágonos no regulares con simetría central también teselan el plano. Otros hexágonos no regulares no teselan el plano.

Teselado de El Cairo

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Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto, y en el arte islámico; de ahí su nombre. Este pentágono posee dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°. Al igual que para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.

Polígonos cóncavos

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• 

  Flecha derecha

• 

  Cruz griega

• 

  Ángulo himterk

• 

  Flecha de pestaña

Construcción de teselados

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Método “Resta, suma y rota en 180°”

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Consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen en veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utilizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría)

Isometría

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A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.

Notación

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La notación comúnmente empleada para identificar los distintos tipos de teselados se debe a A. P. Rollett y Henry Martyn Cundy. En su libro Modelos matemáticos (1951), los autores proponen una nomenclatura consistente en enumerar en el sentido de las agujas del reloj y, separados mediante puntos, los lados de los polígonos que rodean cada vértice. De esta forma, la nomenclatura de los teselados regulares sería 3.3.3.3.3.3 en el caso de triángulos equiláteros, 4.4.4.4 en el caso de un teselado formado mediante cuadrados y, finalmente, para un teselado compuesto de hexágonos regulares, 6.6.6. Con el objetivo de acortar la notación, se acepta que, cuando el mismo polígono rodea en varias ocasiones el mismo vértice, se indica mediante un superíndice el número de veces que esto sucede. Es decir, la nomenclatura previamente descrita de los teselados regulares pasará a ser 36, 44 y 63, respectivamente.

Originalmente, la notación fue concebida únicamente para describir teselados regulares pero, en la actualidad, su uso se ha extendido igualmente a teselados semi-regulares. La nomenclatura de los ocho teselados semi-regulares existentes es la que aparece en el apartado correspondiente. Del mismo modo, también se acepta el uso de esta notación para teselados compuestos por polígonos regulares en los que no todos los vértices están rodeados por los mismos polígonos.[2]​

Mallas de doble capa

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Las mallas de doble capa son mallas espaciales en la que los nudos se disponen en dos capas o superficies, generalmente paralelas entre sí, y se unen mediante barras situadas bien en uno de los dos planos anteriormente mencionados o en el espacio situado entre ellos. Así, se distingue entre cordón inferior, cordón superior y cordón diagonal.

Cada uno de los cordones anteriormente mencionados, que compone una malla de doble capa, puede representarse como un teselado, de forma que toda malla de doble capa resulta de la combinación de tres teselados (inferior, superior, diagonal).[3]​

Véase también

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Notas y referencias

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Enlaces externos

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