Teselado en el pavimento de una calle
Teselado hexagonal decorando un suelo (Roma)
Ejemplo de pavimento teselado natural en la península de Tasman, Tasmania , Australia.
Los términos teselaciones y teselado[1] hacen referencia a una regularidad o patrón de figuras que recubren o pavimentan completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:
- Que no queden espacios.
- Que no se superpongan las figuras.
Los teselados se crean usando copias isométricas de una figura inicial, es decir, copias idénticas de una o diversas piezas o teselas con las cuales se componen figuras para recubrir enteramente una superficie.
Distintas culturas a lo largo de la historia han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.
Teselados regulares
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Artículo principal:
Teselado regular
Teselado a base de triángulos equiláteros
Un teselado regular o teselado con polígonos regulares es un teselado del plano que emplea un solo tipo de polígonos regulares. Estos patrones geométricos han sido ampliamente utilizados con fines decorativos desde la antigüedad.
Triángulos equiláteros
Cuadrados
Hexágonos
Ejemplo: Los cuadrados, al tener ángulos de 90°, pueden encajar cuatro por vértice y teselar localmente el entorno de dicho vértice.
Teselados semirregulares
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Son aquellos que contienen dos o más polígonos regulares en su formación.
Un teselado semirregular tiene las siguientes propiedades:
- Está formado solo por polígonos regulares.
- La distribución de polígonos es idéntica en cada vértice.
- Solo existen ocho teselados semirregulares.
4 8 8
3 3 3 4 4
3 3 4 3 4
3 3 3 3 6
3 12 12
3 4 6 4
3 6 3 6
4 6 12
Teselados con figuras semirregulares
4 8 8
3 3 4 3 4
3 3 3 3 6
3 12 12
3 4 6 4
3 6 3 6
4 6 12
Teselados irregulares
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Son aquellos formados por polígonos no regulares, pero nunca dejan espacios o fisuras.
Cuadriláteros
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Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo deben prolongarse sus lados paralelos y construirse los nuevos paralelogramos congruentes al primero.
Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso cóncavo es fácil de demostrar, con el teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego tesela. Este método se llama método de la malla invisible.
Triángulos
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Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente. En general, cualquier triángulo tesela el plano al construir un paralelogramo de la misma manera.
Hexágonos
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Además de los hexágonos regulares, los hexágonos no regulares con simetría central también teselan el plano. Otros hexágonos no regulares no teselan el plano.
Teselado de El Cairo
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Este teselado aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto, y en el arte islámico; de ahí su nombre. Este pentágono posee dos ángulos rectos, un ángulo de 144° y dos ángulos de 108°. Al igual que para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.
Polígonos cóncavos
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Flecha derecha
Cruz griega
Ángulo himterk
Flecha de pestaña
Construcción de teselados
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Método “Resta, suma y rota en 180°”
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Consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen en veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utilizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría)
Isometría
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A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.
Notación
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La notación comúnmente empleada para identificar los distintos tipos de teselados se debe a A. P. Rollett y Henry Martyn Cundy. En su libro Modelos matemáticos (1951), los autores proponen una nomenclatura consistente en enumerar en el sentido de las agujas del reloj y, separados mediante puntos, los lados de los polígonos que rodean cada vértice. De esta forma, la nomenclatura de los teselados regulares sería 3.3.3.3.3.3 en el caso de triángulos equiláteros, 4.4.4.4 en el caso de un teselado formado mediante cuadrados y, finalmente, para un teselado compuesto de hexágonos regulares, 6.6.6. Con el objetivo de acortar la notación, se acepta que, cuando el mismo polígono rodea en varias ocasiones el mismo vértice, se indica mediante un superíndice el número de veces que esto sucede. Es decir, la nomenclatura previamente descrita de los teselados regulares pasará a ser 36, 44 y 63, respectivamente.
Originalmente, la notación fue concebida únicamente para describir teselados regulares pero, en la actualidad, su uso se ha extendido igualmente a teselados semi-regulares. La nomenclatura de los ocho teselados semi-regulares existentes es la que aparece en el apartado correspondiente. Del mismo modo, también se acepta el uso de esta notación para teselados compuestos por polígonos regulares en los que no todos los vértices están rodeados por los mismos polígonos.[2]
Mallas de doble capa
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Las mallas de doble capa son mallas espaciales en la que los nudos se disponen en dos capas o superficies, generalmente paralelas entre sí, y se unen mediante barras situadas bien en uno de los dos planos anteriormente mencionados o en el espacio situado entre ellos. Así, se distingue entre cordón inferior, cordón superior y cordón diagonal.
Cada uno de los cordones anteriormente mencionados, que compone una malla de doble capa, puede representarse como un teselado, de forma que toda malla de doble capa resulta de la combinación de tres teselados (inferior, superior, diagonal).[3]
Véase también
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Notas y referencias
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Enlaces externos
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Desde el papel tapiz hasta los mosaicos decorativos, los teselados (o teselaciones) están por todas partes. El arte matemático de crear patrones repetitivos se remonta al año 4,000 a.C., cuando los sumerios utilizaban azulejos de arcilla para decorar sus casas y templos. Desde entonces, prácticamente todas las demás civilizaciones de la historia adoptaron el uso de teselados tanto en el arte como en la arquitectura.
Sigue leyendo para descubrir la historia de los teselados y cómo se sigue utilizando esta compleja teoría en la actualidad.
¿Qué es un teselado?
Una teselación es cuando una forma geométrica (o baldosa) se repite una y otra vez, cubriendo una superficie 2D o 3D sin huecos ni solapamientos. Hay diferentes estilos de teselación en función de las formas que se utilicen.
La palabra “teselado” viene del término latino tessera, que se refería a una piedra pequeña parecida a un azulejo. estas piedras se utilizaba para hacer tessellata, es decir, los mosaicos y azulejos que decoran los antiguos edificios romanos.
Tipos de teselados
Hay muchos tipos de teselaciones, que pueden clasificarse como las que se repiten, las no periódicas, las cuasiperiódicas y las que son fractales. Las configuraciones más comunes son los teselados regulares y semirregulares.
Los mosaicos periódicos regulares consisten en crear un patrón repetitivo a partir de formas poligonales, cada una de las cuales se encuentra de vértice a vértice (el punto de intersección de tres o más mosaicos limítrofes). Un tablero de ajedrez es el ejemplo más sencillo: Está formado por baldosas cuadradas de dos colores contrastados (normalmente blanco y negro) que podrían repetirse eternamente.
Los teselados semirregulares se producen cuando dos o más tipos de polígonos regulares se disponen de forma que cada punto de vértice es idéntico. Cada vértice está rodeado por los mismos polígonos dispuestos en el mismo orden recurrente (ve el ejemplo de la imagen anterior).
Ahora que hemos hablado de los elementos básicas de los teselados, sigue leyendo para saber cómo se han utilizado a lo largo de la historia.
El teselado en el arte y la arquitectura islámica de la antigüedad
Mientras que los sumerios de los siglos V y VI a.C. utilizaron azulejos para decorar sus casas y templos, otras civilizaciones de diferentes partes del mundo adaptaron el teselado a su cultura y tradiciones; los egipcios, persas, romanos, griegos, árabes, japoneses, chinos y moros adoptaron patrones repetitivos en sus artes decorativas.
Quizá el estilo más célebre de teselado se encuentre en el arte y la arquitectura islámica. El arte religioso islámico se caracteriza por la ausencia de figuras y otros seres vivos. Esto se debe a que muchos musulmanes creen que la creación de formas vivas debe dejarse exclusivamente a Dios. Por ello, adoptaron las características abstractas del teselado y utilizaron azulejos geométricos de colores para crear patrones no representativos.
Uno de los ejemplos más famosos del arte del teselado islámico se encuentra en la Alhambra, un enorme palacio situado en Granada (España). Fue construido por los moros musulmanes en el siglo XIV y se convirtió en la residencia real y la corte de Muhámmad ibn Yúsuf ibn Nasr. En el interior de la fortaleza, los muros están adornados con innumerables azulejos de colores dispuestos en formaciones geométricas.
En el Islam, el uso de teselados para decorar superficies se denomina zillij. Este estilo de mosaico se realiza con piezas cinceladas a mano y colocadas en una base de yeso. Todavía se pueden encontrar instalaciones de zillij en Marruecos y otros países predominantemente islámicos, en las paredes y suelos de mezquitas, casas, plazas públicas y tumbas.
El teselado en la historia del arte
Cuando comparamos las teorías metódicas de las matemáticas y la ciencia con el proceso de pensamiento libre de hacer arte, es fácil olvidar que las tres disciplinas suelen estar entrelazadas. Muchos artistas se han centrado en crear arte que siga ciertas reglas matemáticas.
M. C. Escher: el padre del teselado moderno
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La teoría matemática de las teselaciones también ha influido en el mundo del arte. Uno de los artistas más famosos que utilizaron retículas geométricas en su obra es M. C. Escher. Este artista holandés, también conocido como el “padre del teselado moderno”, creó azulejos irregulares y entrelazados, con forma de animales y otros objetos naturales.
A pesar de no tener una formación matemática, Escher tenía un ojo para la precisión y una comprensión natural de la geometría. En sus grabados en madera, litografías y dibujos, el artista simplemente buscaba alcanzar el equilibrio, la armonía y la perfección. En una ocasión dijo: “El orden es la repetición de unidades. El caos es la multiplicidad sin ritmo”.
Aunque la obra de Escher se asocia a menudo con el movimiento Op Art, otros artistas utilizaron las teselaciones matemáticas de forma más práctica y decorativa.
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Los patrones de Koloman Moser
El artista austriaco Koloman Moser es conocido por sus diseños de estilo art nouveau que siguen los principios del teselado. Sus influyentes diseños—a menudo con motivos naturales y formas geométricas—se utilizaron como textiles para ropa e interiores, papel tapiz, carteles, muebles, joyas e incluso estampillas de correos.
Junto con Gustav Klimt, Moser fue uno de los fundadores de la Secesión de Viena. Este movimiento vanguardista se opuso a las instituciones artísticas conservadoras de la capital austriaca a finales del siglo XIX. Los artistas promovieron un enfoque contemporáneo del arte, y cada uno de ellos desarrolló sus propios estilos, que siguen siendo muy celebrados hoy en día.
Aquí tienes algunos ejemplos de cómo los artistas contemporáneos siguen utilizando los teselados en su arte.
Esculturas de papel de Matthew Chilean
Dibujos de paisajes surrealistas en teselados de Tim Stokes
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Patrones impresos a mano de JeongSu
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Teselaciones de papel de Ekaterina Lukasheva
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