El trapecio escaleno es aquel que tiene sus cuatro lados desiguales, siendo sus ángulos interiores, también, diferentes entre sí.
Un trapecio es un cuadrilátero (polígono de cuatro lados) que se caracteriza por tener dos lados paralelos (que no se cruzan al ser prolongados), llamados bases. Mientras que los otros dos lados no lo son.
El trapecio escaleno es un tipo de trapecio, junto con el trapecio rectángulo y el trapecio isósceles.
Características del triángulo escaleno
Entre las características del triángulo escaleno destacan las siguientes:
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- Sus ángulos interiores suman 360º.
- Tiene dos diagonales con diferente longitud.
- Este tipo de trapecio no puede inscribirse en una circunferencia. Es decir, no puede dibujarse dentro de un círculo, de manera que todos sus vértices sean tangentes (corten en un punto) a al perímetro de ese círculo (la circunferencia).
Perímetro y área de un trapecio escaleno
Para conocer mejor las características de un trapecio escaleno, podemos calcular las siguientes medidas (guiándonos por la figura de abajo):
- Perímetro: Se suman los cuatro lados del cuadrilátero: P=AB+BC+CD+AD
- Área: Para hallar el área podemos recurrir a la fórmula siguiente. Donde h es la altura (segmento AE en la figura), es decir, la línea perpendicular que une ambas bases.
Cabe mencionar que la altura es perpendicular, porque forma un ángulo de 90º con la base.
Otra forma de hallar el área de un trapecio escaleno es, como en todo cuadrilátero, multiplicando las diagonales, dividiendo entre dos y multiplicado por el seno del ángulo que se forma en el cruce de las diagonales. Como vemos en la fórmula que se muestra a continuación:
Debemos tener en cuenta que, en la intersección de las diagonales, los ángulos que son opuestos tienen la misma medida. Mientras que aquellos que son adyacentes son suplementarios. Es decir, forman un ángulo llano (suman 180º).
En la figura de arriba se cumple entonces que:
a=c
b=d
a+b=d+c=a+d=b+c=180º
Por lo tanto, si sabemos que el seno de un ángulo es igual al seno de su ángulo suplementario, se puede elegir cualquiera de los ángulos que se forman en el cruce de las diagonales.
Ejemplo de trapecio escaleno
Supongamos que tenemos un trapecio escaleno cuyas bases miden 11 y 4 metros, mientras que sus lados no paralelos miden 3 y 7 metros. Además, se sabe que la altura es de 3 metros.
Por tanto, ¿cuál es el perímetro y área de la figura?
ANUNCIOS
Un trapecio escaleno es un trapecio con bases a y b y sus cuatro ángulos desiguales.
Un trapecio es un cuadrilátero convexo con dos de sus lados paralelos y desiguales.
Hay tres tipos de trapecio: trapecio rectángulo, trapecio isósceles y trapecio escaleno.
Elementos y propiedades del trapecio escaleno
- Lados: el trapecio escaleno tiene cuatro lados (a, b, c y d), siendo dos paralelos (a y b) y dos oblicuos (c y d).
- Bases: las bases son los dos lados paralelos (a y b).
- Ángulos: tiene cuatro ángulos desiguales (α1, α2, α3 y α4). Los ángulos interiores, como en todo cuadrilátero, suman 360º (¿por qué suman 360º?), es decir, α1+α2+α3+α4=360º.
- Altura (h): es la distancia entre las dos bases (a y b).
- Diagonales: las diagonales son segmentos que unen dos vértices no consecutivos. Tiene dos diagonales desiguales (D1 y D2).
- Mediana (M): es un segmento paralelo a las bases (a y b) e intermedio a éstas. Su longitud se calcula como la media de la longitud de las bases, es decir:
Área del trapecio escaleno
ANUNCIOS
El área del trapecio escaleno se calcula por la fórmula general del área del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) por la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M=(a+b)/2.
También se puede hallar el área del trapecio conociendo sus cuatro lados:
El área del trapecio se puede obtener con las longitudes de sus diagonales y el ángulo que forman.
Así, la formula es:
Donde los senos de los ángulos ε y θ son iguales por ser ángulos suplementarios.
Un caso particular es cuando el ángulo que forman las diagonales del trapecio es un ángulo recto (de seno igual a 1):
Y la fórmula del área queda simplificada a la de todo cuadrilátero cuyas diagonales sean perpendiculares:
Perímetro del trapecio escaleno
El trapecio escaleno puede tener sus cuatro lados desiguales, por lo que su perímetro es la suma de los cuatro lados.
Trapecio escaleno inscrito a una circunferencia
No pueden inscribirse los trapecios escalenos a una circunferencia. Solamente pueden hacerlo los trapecios isósceles.
Trapecio escaleno circunscrito a una circunferencia
Para que un trapecio en general y un trapecio escaleno en particular pueda circunscribirse a una circunferencia debe cumplirse la condición de que la suma de las longitudes de los lados paralelos (o bases) debe ser igual a la suma de las longitudes de los lados oblicuos:
El radio de la circunferencia inscrita es la mitad de la altura del trapecio:
Diagonales del trapecio escaleno
La longitud de las diagonales del trapecio escaleno se pueden calcular mediante esta fórmula (válida para cualquier tipo de trapecio), a partir de la longitud de los cuatro lados:
Construcción de un trapecio
Construcción geométrica de un trapecio escaleno cualquiera, a partir de sus cuatro lados.
- Trazar el segmento de la base mayor a (QN).
- Sobre ella, marcar la longitud de la base menor b (QM).
- Con centro en M trazar un arco de radio c.
- Con centro en N trazar un arco de radio d.
- Estos dos arcos se cortan en el punto O.
- Con centro en Q trazar un arco de radio c.
- Con centro en O trazar un arco de radio b.
- Estos dos arcos se cortan en el punto P.
- Uniendo Q,N,O,P,Q queda construido el trapecio.
Obsérvese que Q, M, O, P, Q es un paralelogramo, con cuatro lados, siendo iguales y paralelos dos a dos. Por lo tanto las bases a y b son paralelas. En consecuencia, hemos construido un trapecio.
Ejercicios
Ejercicio 1
Hallar el área de un trapecio escaleno de 7 cm y 3 cm de bases y 4 cm de altura.
Solución:
Aplicamos la fórmula general del área del trapecio:
Ejercicio 2
Hallar el área de un trapecio cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm. Calcular la longitud de sus diagonales:
Solución:
Se aplica, en primer lugar, la ecuación del área del trapecio, cuando se conocen sus cuatro lados:
Ahora vamos a averiguar las diagonales.
Mediante las fórmulas que dependen también de los lados:
Y aplicamos los valores de los cuatro lados.
En primer lugar se halla la diagonal D1:
Después calcularemos la longitud de la diagonal D2:
Ejercicio 3
Determinar si se puede circunscribir o inscribir una circunferencia al trapecio escaleno de los ejercicios 1 y 2, cuyas bases miden 7 cm y 3 cm y sus lados oblicuos 5 cm y 4,12 cm :
Solución:
A la primera cuestión: como no es un trapecio isósceles, la respuesta es que no se le puede circunscribir una circunferencia.
Ahora contestamos a la segunda pregunta. Debemos comprobar la condición de los trapecios inscritos a una circunferencia, o, lo que es lo mismo, circunscribir una circunferencia a un trapecio. La suma de las bases debe de ser igual a la suma de los lados oblícuos:
Si le aplicamos los valores de los lados a la condición:
Vemos que tampoco se puede inscribir una circunferencia a este trapecio:
Ejercicio 4
Hallar el área de un trapecio escaleno cuyas diagonales miden 6,71 cm y 4,24 cm. Las diagonales forman entre sí un ángulo de 75,57°.
Solución:
Mediante la fórmula del área por las diagonales y su ángulo, se le aplican los valores y:
Con lo que el área tendrá 13,5 cm2.
