En la clase de hoy explicaremos cómo calcular el volumen de una esfera con distintos ejemplos resueltos.

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¿Cómo se calcula el volumen de una esfera?

El volumen de una esfera es igual a 4/3 por PI por el radio al cubo. Es decir:

¿Para qué nos sirve saber el volumen de una esfera?

Es importante porque gracias al volumen podremos saber la capacidad de un recipiente. En este caso, la de nuestra esfera.

Como vemos en el primero de los ejemplos resueltos, tenemos una esfera de radio = 5 cm.

Recuerden, si nos dan el diámetro ( línea recta que une dos puntos de nuestra esfera pasando por su centro) tenemos que saber que el radio es la mitad de este.

¡Importante! Recuerden las unidades de medida. Cuando hablamos de volumen tenemos que expresarlas al cubo, es decir, elevadas a tres.

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El segundo ejemplo que presentamos resuelto es una esfera cuyo radio es 10 cm.

Una vez aplicada la fórmula con un valor aproximado de PI nos da nuestro resultado que expresamos junto a las unidades de mediada elevadas al cubo.

Si tienes cualquier duda, puedes dejar un comentario en el foro de esta misma entrada. De esta manera, otras personas podrán ver la consulta y la solución correspondiente y así contribuimos a compartir juntos.

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Nos vemos en la siguiente clase.

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Calculadora del área y volumen de una esfera

Definimos esfera y proporcionamos 3 calculadoras para calcular el área y el volumen de una esfera a partir de su radio y viceversa. También, se incluyen problemas resueltos.

Índice:

1. Calculadoras
2. Superficie/sólido de revolución
3. Problemas resueltos

Una esfera de radio (R) y centro (P) es el conjunto de puntos del espacio que distan (R) del punto (P).

1. Calculadoras

Disponemos de tres calculadoras. Todas ellas utilizan las siguientes fórmulas del área y volumen:

Los resultados se aproximan con 2 decimales.

Calculadora del área y volumen de la esfera a partir del radio:

Radio (R =) 

Calculadora del radio y volumen a paritr del área:

Área (A =) 

Calculadora del radio y área a paritr del volumen:

Volumen (V =) 

2. Superficie/sólido de revolución

Una esfera es una superficie de revolución: se genera al hacer girar una circunferencia alrededor de un eje que pase por su centro:

También, puede generarse al hacer girar una semicircunferencia.

Una esfera sólida es un sólido de revolución: se genera al hacer girar un círculo alrededor de un eje que pase por su centro:

También, puede generarse al hacer girar un semicírculo.

3. Problemas resueltos

Problema 1

Calcular el área y el volumen de un esfera de radio (R = 3 text{ m}).

Solución

Sólo tenemos que sustituir en las fórmulas.

Calculamos el área:

Calculamos el volumen:

Los resultados coinciden, pero el área es en metros cuadrados y el volumen es en metros cúbicos.

Problema 2

Si el área de una esfera es (A = 16pi text{ cm}^2), ¿cuál es su volumen?

Solución

Usamos la fórmula del área para calcular el radio:

Ahora que conocemos el radio, podemos calcular el volumen:

El volumen es, aproximadamente, (33.51text{ cm}^3).

Problema 3

Si el volumen de una esfera es (V = 4.5pi text{ m}^3), ¿cuál es su área?

Solución

Usamos la fórmula del volumen para calcular el radio:

Calculamos el área:

El área es (9pitext{ m}^2).

Problema 4

¿Cuántos litros de agua caben en un depósito esférico gigante de (6text{ m}) de diámetro?

Solución

El diámetro es el doble del radio, así que el radio de la esfera es (3text{ m}).

Pasamos el radio a decímetros:

Calculamos el volumen de la esfera:

Como (1text{ L}) de agua equivale a (1text{ dm}^3), en el depósito caben, aproximadamente, (113097.34text{ L}).

Problema 5

El radio de la esfera A es el doble que el de la esfera B. ¿El volumen de la esfera A es el doble que el de la esfera B?

Solución

Si (R) es el radio de la esfera B, su volumen es

Como el radio de la esfera A es el doble que el de B, su volumen es

Por tanto, el volumen de la esfera A es (8) veces el de la esfera B, no el doble.

Más problemas similares:

Objetivos de aprendizaje

• 5.5.1

  Evaluar una integral triple cambiando a coordenadas cilíndricas.

• 5.5.2

  Evaluar una integral triple cambiando a coordenadas esféricas.

Anteriormente en este capítulo mostramos cómo convertir una integral doble en coordenadas rectangulares en una integral doble en coordenadas polares para tratar más convenientemente los problemas que implican simetría circular. Una situación similar ocurre con las integrales triples, pero aquí hay que distinguir entre simetría cilíndrica y simetría esférica. En esta sección convertimos integrales triples en coordenadas rectangulares en una integral triple en coordenadas cilíndricas o esféricas.

Recuerde también el inicio del capítulo, que mostraba el teatro de la ópera l’Hemisphèric en Valencia, España. Tiene cuatro secciones, una de las cuales es un teatro en una esfera (bola) de cinco pisos de altura bajo un techo ovalado tan largo como un campo de fútbol. En el interior hay una pantalla IMAX que convierte la esfera en un planetario con un cielo lleno de 9.0009.000 estrellas parpadeantes. Utilizando integrales triples en coordenadas esféricas, podemos hallar los volúmenes de diferentes formas geométricas como estas.

Repaso de coordenadas cilíndricas

Como hemos visto antes, en el espacio bidimensional ℝ2 ,ℝ2 , un punto con coordenadas rectangulares (x,y)(x,y) se puede identificar con (r,θ)(r,θ) en coordenadas polares y viceversa, donde x=rcosθ,x=rcosθ, y=rsenθ,y=rsenθ, r2 =x2 +y2 r2 =x2 +y2 y tanθ=(yx)tanθ=(yx) son las relaciones entre las variables.

En el espacio tridimensional ℝ3,ℝ3, un punto con coordenadas rectangulares (x,y,z)(x,y,z) se puede identificar con coordenadas cilíndricas (r,θ,z)(r,θ,z) y viceversa. Podemos utilizar estas mismas relaciones de conversión, añadiendo zz como la distancia vertical al punto desde el plano xyxy como se muestra en la siguiente figura.

Figura

5.50

Las coordenadas cilíndricas son similares a las coordenadas polares con una coordenada vertical zz añadida.

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas, utilizamos la conversión x=rcosθx=rcosθ y y=rsenθ.y=rsenθ. Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, utilizamos r2 =x2 +y2 r2 =x2 +y2 y θ=tan–1(yx).θ=tan–1(yx). La coordenada zz sigue siendo la misma en ambos casos.

En el plano bidimensional con un sistema de coordenadas rectangulares, cuando decimos x=kx=k (constante) nos referimos a una línea vertical no delimitada paralela al eje yy y cuando y=ly=l (constante) nos referimos a una línea horizontal no delimitada paralela al eje xx. Con el sistema de coordenadas polares, cuando decimos r=cr=c (constante), nos referimos a un círculo de radio cc unidades y cuando θ=αθ=α (constante) nos referimos a un rayo infinito que hace un ángulo αα con el eje xx positivo.

Del mismo modo, en el espacio tridimensional con coordenadas rectangulares (x,y,z),(x,y,z), las ecuaciones x=k,y=l,x=k,y=l, y z=m,z=m, donde k,l,k,l, y mm son constantes, representan planos no delimitados paralelos al plano yzyz, al plano xzxz y al plano xyxy, respectivamente. Con las coordenadas cilíndricas (r,θ,z),(r,θ,z), entre r=c,θ=α,r=c,θ=α, y z=m,z=m, donde c,α,c,α, y mm son constantes, nos referimos a un cilindro vertical no delimitado con el eje zz como su eje radial; un plano que forma un ángulo constante αα con el plano xyxy, y un plano horizontal no delimitado paralelo al plano xyxy, respectivamente. Esto significa que el cilindro circular x2 +y2 =c2 x2 +y2 =c2 se puede representar en coordenadas rectangulares simplemente como r=cr=c en coordenadas cilíndricas (consulte Coordenadas cilíndricas y esféricas para ver más repaso).

Integración en coordenadas cilíndricas

Las integrales triples, a menudo, se pueden evaluar más fácilmente utilizando coordenadas cilíndricas en vez de coordenadas rectangulares. Algunas ecuaciones comunes de las superficies en coordenadas rectangulares junto con las ecuaciones correspondientes en coordenadas cilíndricas se enumeran en la Tabla 5.1. Estas ecuaciones serán muy útiles a medida que avancemos en resolver problemas mediante integrales triples.

Cilindro circularCono circularEsferaParaboloideRectangularx2 +y2 =c2 x2 +y2 =c2 z2 =c2 (x2 +y2 )z2 =c2 (x2 +y2 ) grandes.x2 +y2 +z2 =c2 x2 +y2 +z2 =c2 z=c(x2 +y2 )z=c(x2 +y2 )Cilíndricar=cr=cz=crz=crr2 +z2 =c2 r2 +z2 =c2 z=cr2 z=cr2

Tabla

5.1

Ecuaciones de algunas formas comunes

Como antes, empezamos con la región delimitada más sencilla BB en ℝ3,ℝ3, para describir en coordenadas cilíndricas, en forma de una caja cilíndrica, B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d}B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d} (Figura 5.51). Supongamos que dividimos cada intervalo en l,mynl,myn subdivisiones de manera que Δr=b–al,Δθ=β−αm,Δr=b–al,Δθ=β−αm, y Δz=d−cn.Δz=d−cn. Luego podemos enunciar la siguiente definición para una integral triple en coordenadas cilíndricas.

Figura

5.51

Una caja cilíndrica BB descrita por coordenadas cilíndricas.

Definición

Consideremos la caja cilíndrica (expresada en coordenadas cilíndricas)

B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d}.B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d}.

Si se grafica la función f(r,θ,z)f(r,θ,z) es continuo en BB y si (rijk*,θijk*,zijk*)(rijk*,θijk*,zijk*) es cualquier punto de muestra en la subcaja cilíndrica Bijk=[ri−1,ri]×[θj−1,θj]×[zk−1,zk]Bijk=[ri−1,ri]×[θj−1,θj]×[zk−1,zk] (Figura 5.51), entonces podemos definir la integral triple en coordenadas cilíndricas como el límite de una triple suma de Riemann, siempre que exista el siguiente límite:

líml,m,n→∞∑i=1l∑j=1m∑k=1nf(rijk*,θijk*,zijk*)rijk*ΔrΔθΔz.líml,m,n→∞∑i=1l∑j=1m∑k=1nf(rijk*,θijk*,zijk*)rijk*ΔrΔθΔz.

Observe que si g(x,y,z)g(x,y,z) es la función en coordenadas rectangulares y la caja BB se expresa en coordenadas rectangulares, entonces la integral triple ∭Bg(x,y,z)dV∭Bg(x,y,z)dV es igual a la integral triple ∭Bg(rcosθ,rsenθ,z)rdrdθdz∭Bg(rcosθ,rsenθ,z)rdrdθdz y tenemos

∭Bg(x,y,z)dV=∭Bg(rcosθ,rsenθ,z)rdrdθdz=∭Bf(r,θ,z)rdrdθdz.∭Bg(x,y,z)dV=∭Bg(rcosθ,rsenθ,z)rdrdθdz=∭Bf(r,θ,z)rdrdθdz.

(5.11)

Como se ha mencionado en la sección anterior, todas las propiedades de una integral doble funcionan bien en las integrales triples, ya sea en coordenadas rectangulares o cilíndricas. También son válidas para las integrales iteradas. Para reiterar, en coordenadas cilíndricas, el teorema de Fubini toma la siguiente forma:

Teorema

5.12

Teorema de Fubini en coordenadas cilíndricas

Supongamos que g(x,y,z)g(x,y,z) es continua en una caja rectangular B,B, que, descrita en coordenadas cilíndricas, tiene el siguiente aspecto B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d}.B={(r,θ,z)|a≤r≤b,α≤θ≤β,c≤z≤d}.

Luego g(x,y,z)=g(rcosθ,rsenθ,z)=f(r,θ,z)g(x,y,z)=g(rcosθ,rsenθ,z)=f(r,θ,z) y

∭Bg(x,y,z)dV=∫cd∫αβ∫abf(r,θ,z)rdrdθdz.∭Bg(x,y,z)dV=∫cd∫αβ∫abf(r,θ,z)rdrdθdz.

La integral iterada puede sustituirse de forma equivalente por cualquiera de las otras cinco integrales iteradas que se obtienen integrando con respecto a las tres variables en otros órdenes.

Los sistemas de coordenadas cilíndricas funcionan bien para los sólidos que son simétricos alrededor de un eje, como los cilindros y los conos. Veamos algunos ejemplos antes de definir la integral triple en coordenadas cilíndricas sobre regiones cilíndricas generales.

Ejemplo

5.43

Evaluar una integral triple sobre una caja cilíndrica

Evalúe la integral triple ∭B(zrsenθ)rdrdθdz∭B(zrsenθ)rdrdθdz donde la caja cilíndrica BB es B={(r,θ,z)|0≤r≤2 ,0≤θ≤π/2 ,0≤z≤4}.B={(r,θ,z)|0≤r≤2 ,0≤θ≤π/2 ,0≤z≤4}.

Solución

Como se indica en el teorema de Fubini, podemos escribir la integral triple como la integral iterada

∭ B ( z r sen θ ) r d r d θ d z = ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ r = 0 r = 2 ∫ z = 0 z = 4 ( z r sen θ ) r d z d r d θ . ∭ B ( z r sen θ ) r d r d θ d z = ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ r = 0 r = 2 ∫ z = 0 z = 4 ( z r sen θ ) r d z d r d θ .

La evaluación de la integral iterada es sencilla. Cada variable de la integral es independiente de las demás, por lo que podemos integrar cada variable por separado y multiplicar los resultados entre sí. Esto facilita mucho el cálculo:

∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ r = 0 r = 2 ∫ z = 0 z = 4 ( z r sen θ ) r d z d r d θ = ( ∫ 0 π / 2 sen θ d θ ) ( ∫ 0 2 r 2 d r ) ( ∫ 0 4 z d z ) = ( − cos θ | 0 π / 2 ) ( r 3 3 | 0 2 ) ( z 2 2 | 0 4 ) = 64 3 . ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ r = 0 r = 2 ∫ z = 0 z = 4 ( z r sen θ ) r d z d r d θ = ( ∫ 0 π / 2 sen θ d θ ) ( ∫ 0 2 r 2 d r ) ( ∫ 0 4 z d z ) = ( − cos θ | 0 π / 2 ) ( r 3 3 | 0 2 ) ( z 2 2 | 0 4 ) = 64 3 .

Punto de control

5.27

Evalúe la integral triple ∫θ=0θ=π∫r=0r=1∫z=0z=4rzsenθrdzdrdθ.∫θ=0θ=π∫r=0r=1∫z=0z=4rzsenθrdzdrdθ.

Si la región cilíndrica sobre la que tenemos que integrar es un sólido general, miramos las proyecciones sobre los planos de coordenadas. Por lo tanto, la integral triple de una función continua f(r,θ,z)f(r,θ,z) sobre una región sólida general E={(r,θ,z)|(r,θ)∈D,u1(r,θ)≤z≤u2 (r,θ)}E={(r,θ,z)|(r,θ)∈D,u1(r,θ)≤z≤u2 (r,θ)} en ℝ3,ℝ3, donde DD es la proyección de EE en el plano rθrθ, es

∭Ef(r,θ,z)rdrdθdz=∬D[∫u1(r,θ)u2 (r,θ)f(r,θ,z)dz]rdrdθ.∭Ef(r,θ,z)rdrdθdz=∬D[∫u1(r,θ)u2 (r,θ)f(r,θ,z)dz]rdrdθ.

En particular, si D={(r,θ)|g1(θ)≤r≤g2 (θ),α≤θ≤β},D={(r,θ)|g1(θ)≤r≤g2 (θ),α≤θ≤β}, entonces tenemos

∭Ef(r,θ,z)rdrdθ=∫θ=αθ=β∫r=g1(θ)r=g2 (θ)∫z=u1(r,θ)z=u2 (r,θ)f(r,θ,z)rdzdrdθ.∭Ef(r,θ,z)rdrdθ=∫θ=αθ=β∫r=g1(θ)r=g2 (θ)∫z=u1(r,θ)z=u2 (r,θ)f(r,θ,z)rdzdrdθ.

Existen fórmulas similares para las proyecciones sobre los demás planos de coordenadas. Podemos utilizar coordenadas polares en esos planos si es necesario.

Ejemplo

5.44

Establecer una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región general

Considere la región EE dentro del cilindro circular recto con ecuación r=2 senθ,r=2 senθ, delimitada abajo por el plano rθrθ y delimitada por encima por la esfera de radio 44 centrada en el origen (Figura 5.52). Establezca una integral triple sobre esta región con una función f(r,θ,z)f(r,θ,z) en coordenadas cilíndricas.

Figura

5.52

Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región cilíndrica.

Solución

Primero, identifique que la ecuación de la esfera es r2 +z2 =16.r2 +z2 =16. Podemos ver que los límites de zz son de 00 al z=16−r2 .z=16−r2 . Entonces los límites de rr son de 00 a r=2 senθ.r=2 senθ. Por último, los límites de θθ son de 00 a π.π. De ahí que la región sea

E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 2 sen θ , 0 ≤ z ≤ 16 − r 2 } . E = { ( r , θ , z ) | 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 2 sen θ , 0 ≤ z ≤ 16 − r 2 } .

Por lo tanto, la integral triple es

∭ E f ( r , θ , z ) r d z d r d θ = ∫ θ = 0 θ = π ∫ r = 0 r = 2 sen θ ∫ z = 0 z = 16 − r 2 f ( r , θ , z ) r d z d r d θ . ∭ E f ( r , θ , z ) r d z d r d θ = ∫ θ = 0 θ = π ∫ r = 0 r = 2 sen θ ∫ z = 0 z = 16 − r 2 f ( r , θ , z ) r d z d r d θ .

Punto de control

5.28

Considere la región EE dentro del cilindro circular recto con ecuación r=2 senθ,r=2 senθ, delimitada abajo por el plano rθrθ y delimitada por encima por z=4−y.z=4−y. Establezca una integral triple con una función f(r,θ,z)f(r,θ,z) en coordenadas cilíndricas.

Ejemplo

5.45

Establecer una integral triple de dos maneras

Supongamos que EE es la región delimitada por debajo por el cono z=x2 +y2 z=x2 +y2 y por encima por el paraboloide z=2 −x2 −y2 .z=2 −x2 −y2 . (Figura 5.53). Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región, utilizando los siguientes órdenes de integración:

1. dzdrdθdzdrdθ
2. drdzdθ.drdzdθ.

   

   Figura

   5.53

   Establecer una integral triple en coordenadas cilíndricas sobre una región cónica.

Solución

1. El cono es de radio 1 donde se encuentra con el paraboloide. Dado que z=2 −x2 −y2 =2 –r2 z=2 −x2 −y2 =2 –r2 y z=x2 +y2 =rz=x2 +y2 =r (si suponemos que rr no es negativo), tenemos 2 –r2 =r.2 –r2 =r. Resolviendo, tenemos r2 +r−2 =(r+2 )(r−1)=0.r2 +r−2 =(r+2 )(r−1)=0. Dado que r≥0,r≥0, tenemos r=1.r=1. Por lo tanto z=1.z=1. Así que la intersección de estas dos superficies es un círculo de radio 11 en el plano z=1.z=1. El cono es el límite inferior de zz y el paraboloide es el límite superior. La proyección de la región sobre el plano xyxy es el círculo de radio 11 centrado en el origen.

   Por lo tanto, podemos describir la región como

   E={(r,θ,z)|0≤θ≤2 π,0≤r≤1,r≤z≤2 –r2 }.E={(r,θ,z)|0≤θ≤2 π,0≤r≤1,r≤z≤2 –r2 }.

   Por lo tanto, la integral del volumen es

   V=∫θ=0θ=2 π∫r=0r=1∫z=rz=2 –r2 rdzdrdθ.V=∫θ=0θ=2 π∫r=0r=1∫z=rz=2 –r2 rdzdrdθ.

2. También podemos escribir la superficie del cono como r=zr=z y el paraboloide como r2 =2 −z.r2 =2 −z. El límite inferior de rr es cero, pero el límite superior es, a veces, el cono y otras veces es el paraboloide. El plano z=1z=1 divide la región en dos regiones. Entonces la región se puede describir como

   E={(r,θ,z)|0≤θ≤2 π,0≤z≤1,0≤r≤z}∪{(r,θ,z)|0≤θ≤2 π,1≤z≤2 ,0≤r≤2 −z}.E={(r,θ,z)|0≤θ≤2 π,0≤z≤1,0≤r≤z}∪{(r,θ,z)|0≤θ≤2 π,1≤z≤2 ,0≤r≤2 −z}.

   Ahora la integral del volumen se convierte en

   V=∫θ=0θ=2 π∫z=0z=1∫r=0r=zrdrdzdθ+∫θ=0θ=2 π∫z=1z=2 ∫r=0r=2 −zrdrdzdθ.V=∫θ=0θ=2 π∫z=0z=1∫r=0r=zrdrdzdθ+∫θ=0θ=2 π∫z=1z=2 ∫r=0r=2 −zrdrdzdθ.

Punto de control

5.29

Vuelva a hacer el ejemplo anterior con el orden de integración dθdzdr.dθdzdr.

Ejemplo

5.46

Hallar un volumen con integrales triples de dos maneras

Supongamos que E es la región delimitada por debajo por el plano rθrθ, por arriba por la esfera x2 +y2 +z2 =4,×2 +y2 +z2 =4, y en los laterales por el cilindro x2 +y2 =1×2 +y2 =1 (Figura 5.54). Establezca una integral triple en coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región utilizando los siguientes órdenes de integración, y en cada caso halle el volumen y compruebe que las respuestas son las mismas:

1. dzdrdθdzdrdθ
2. drdzdθ.drdzdθ.

   

   Figura

   5.54

   Hallar un volumen cilíndrico con una integral triple en coordenadas cilíndricas.

Solución

1. Observe que la ecuación de la esfera es

   x2 +y2 +z2 =4or2 +z2 =4×2 +y2 +z2 =4or2 +z2 =4

   y la ecuación del cilindro es

   x2 +y2 =1or2 =1.x2 +y2 =1or2 =1.

   Por lo tanto, tenemos para la región EE

   E={(r,θ,z)|0≤z≤4−r2 ,0≤r≤1,0≤θ≤2 π}E={(r,θ,z)|0≤z≤4−r2 ,0≤r≤1,0≤θ≤2 π}

   Por lo tanto, la integral del volumen es

   V(E)=∫θ=0θ=2 π∫r=0r=1∫z=0z=4−r2 rdzdrdθ=∫θ=0θ=2 π∫r=0r=1[rz|z=0z=4−r2 ]drdθ=∫θ=0θ=2 π∫r=0r=1(r4−r2 )drdθ=∫02 π(83−3)dθ=2 π(83−3)unidades cúbicas.V(E)=∫θ=0θ=2 π∫r=0r=1∫z=0z=4−r2 rdzdrdθ=∫θ=0θ=2 π∫r=0r=1[rz|z=0z=4−r2 ]drdθ=∫θ=0θ=2 π∫r=0r=1(r4−r2 )drdθ=∫02 π(83−3)dθ=2 π(83−3)unidades cúbicas.

2. Dado que la esfera es x2 +y2 +z2 =4,x2 +y2 +z2 =4, que es r2 +z2 =4,r2 +z2 =4, y el cilindro es x2 +y2 =1,x2 +y2 =1, que es r2 =1,r2 =1, tenemos 1+z2 =4,1+z2 =4, es decir, z2 =3.z2 =3. Por lo tanto, tenemos dos regiones, ya que la esfera y el cilindro se intersecan en (1,3)(1,3) en el plano rzrz

   E1={(r,θ,z)|0≤r≤4−r2 ,3≤z≤2 ,0≤θ≤2 π}E1={(r,θ,z)|0≤r≤4−r2 ,3≤z≤2 ,0≤θ≤2 π}

   y

   E2 ={(r,θ,z)|0≤r≤1,0≤z≤3,0≤θ≤2 π}.E2 ={(r,θ,z)|0≤r≤1,0≤z≤3,0≤θ≤2 π}.

   Por lo tanto, la integral del volumen es

   V(E)=∫θ=0θ=2 π∫z=3z=2 ∫r=0r=4−r2 rdrdzdθ+∫θ=0θ=2 π∫z=0z=3∫r=0r=1rdrdzdθ=3π+(163−33)π=2 π(83−3)unidades cúbicas.V(E)=∫θ=0θ=2 π∫z=3z=2 ∫r=0r=4−r2 rdrdzdθ+∫θ=0θ=2 π∫z=0z=3∫r=0r=1rdrdzdθ=3π+(163−33)π=2 π(83−3)unidades cúbicas.

Punto de control

5.30

Vuelva a hacer el ejemplo anterior con el orden de integración dθdzdr.dθdzdr.

Repaso de coordenadas esféricas

En el espacio tridimensional ℝ3ℝ3 en el sistema de coordenadas esféricas, especificamos un punto PP por su distancia ρρ desde el origen, el ángulo polar θθ del eje positivo de la x x (igual que en el sistema de coordenadas cilíndricas), y el ángulo φφ del eje positivo de la z z y la línea OPOP (Figura 5.55). Observe que ρ≥0ρ≥0 y 0≤φ≤π.0≤φ≤π. (Consulte Coordenadas cilíndricas y esféricas para ver un repaso). Las coordenadas esféricas son útiles para las integrales triples sobre regiones que son simétricas con respecto al origen.

Figura

5.55

El sistema de coordenadas esféricas localiza puntos con dos ángulos y una distancia desde el origen.

Recuerde las relaciones que conectan las coordenadas rectangulares con las coordenadas esféricas.

De coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares:

x=ρsenφcosθ,y=ρsenφsenθ,yz=ρcosφ.x=ρsenφcosθ,y=ρsenφsenθ,yz=ρcosφ.

De coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas:

ρ2 =x2 +y2 +z2 ,tanθ=yx,φ=arccos(zx2 +y2 +z2 ).ρ2 =x2 +y2 +z2 ,tanθ=yx,φ=arccos(zx2 +y2 +z2 ).

Otras relaciones que es importante conocer para las conversiones son

•r=ρsenφ•θ=θEstas ecuaciones se utilizan para convertir decoordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas•z=ρcosφ•r=ρsenφ•θ=θEstas ecuaciones se utilizan para convertir decoordenadas esféricas a coordenadas cilíndricas•z=ρcosφ

y

•ρ=r2 +z2 •θ=θEstas ecuaciones se utilizan para convertir decoordenadas cilíndricas a coordenadasesféricas.•φ=arccos(zr2 +z2 )•ρ=r2 +z2 •θ=θEstas ecuaciones se utilizan para convertir decoordenadas cilíndricas a coordenadasesféricas.•φ=arccos(zr2 +z2 )

La siguiente figura muestra algunas regiones sólidas que es conveniente expresar en coordenadas esféricas.

Figura

5.56

Las coordenadas esféricas son especialmente convenientes para trabajar con sólidos limitados por este tipo de superficies. (La letra cc indica una constante).

Integración en coordenadas esféricas

Ahora establecemos una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, como hicimos antes en el sistema de coordenadas cilíndricas. Supongamos que la función f(ρ,θ,φ)f(ρ,θ,φ) sea continua en una caja esférica delimitada, B={(ρ,θ,φ)|a≤ρ≤b,α≤θ≤β,γ≤φ≤ψ}.B={(ρ,θ,φ)|a≤ρ≤b,α≤θ≤β,γ≤φ≤ψ}. Luego, dividimos cada intervalo en subdivisiones l,mynl,myn subdivisiones de manera que Δρ=b–al,Δθ=β−αm,Δφ=ψ−γn.Δρ=b–al,Δθ=β−αm,Δφ=ψ−γn.

Ahora podemos ilustrar el siguiente teorema para integrales triples en coordenadas esféricas con (ρijk*,θijk*,φijk*)(ρijk*,θijk*,φijk*) que sería cualquier punto de muestra en la subcaja esférica Bijk.Bijk. Para el elemento de volumen de la subcaja ΔVΔV en coordenadas esféricas, tenemos ΔV=(Δρ)(ρΔφ)(ρsenφΔθ),,ΔV=(Δρ)(ρΔφ)(ρsenφΔθ),, como se muestra en la siguiente figura.

Figura

5.57

El elemento de volumen de una caja en coordenadas esféricas.

Definición

La integral triple en coordenadas esféricas es el límite de una triple suma de Riemann,

líml,m,n→∞∑i=1l∑j=1m∑k=1nf(ρijk*,θijk*,φijk*)(ρijk*)2 senφΔρΔθΔφlíml,m,n→∞∑i=1l∑j=1m∑k=1nf(ρijk*,θijk*,φijk*)(ρijk*)2 senφΔρΔθΔφ

siempre que exista el límite.

Al igual que con las otras integrales múltiples que hemos examinado, todas las propiedades funcionan de forma similar para una integral triple en el sistema de coordenadas esféricas, y lo mismo ocurre con las integrales iteradas. El teorema de Fubini tiene la siguiente forma.

Teorema

5.13

Teorema de Fubini para coordenadas esféricas

Si los valores de f(ρ,θ,φ)f(ρ,θ,φ) es continua en una caja sólida esférica B=[a,b]×[α,β]×[γ,ψ],B=[a,b]×[α,β]×[γ,ψ], entonces

∭Bf(ρ,θ,φ)ρ2 senφdρdφdθ=∫φ=γφ=ψ∫θ=αθ=β∫ρ=aρ=bf(ρ,θ,φ)ρ2 senφdρdφdθ.∭Bf(ρ,θ,φ)ρ2 senφdρdφdθ=∫φ=γφ=ψ∫θ=αθ=β∫ρ=aρ=bf(ρ,θ,φ)ρ2 senφdρdφdθ.

(5.12)

Esta integral iterada puede sustituirse por otras integrales iteradas al integrar con respecto a las tres variables en otros órdenes.

Como ya se ha dicho, los sistemas de coordenadas esféricas funcionan bien para los sólidos que son simétricos alrededor de un punto, como las esferas y los conos. Veamos algunos ejemplos antes de considerar las integrales triples en coordenadas esféricas sobre regiones esféricas generales.

Ejemplo

5.47

Evaluar una integral triple en coordenadas esféricas

Evalúe la integral triple iterada ∫θ=0θ=2 π∫φ=0φ=π/2 ∫p=0ρ=1ρ2 senφdρdφdθ.∫θ=0θ=2 π∫φ=0φ=π/2 ∫p=0ρ=1ρ2 senφdρdφdθ.

Solución

Como antes, en este caso las variables de la integral iterada son en realidad independientes entre sí y, por tanto, podemos integrar cada trozo y multiplicar:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 2 sen φ d ρ d φ d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 sen φ d φ ∫ 0 1 ρ 2 d ρ = ( 2 π ) ( 1 ) ( 1 3 ) = 2 π 3 . ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ρ 2 sen φ d ρ d φ d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π / 2 sen φ d φ ∫ 0 1 ρ 2 d ρ = ( 2 π ) ( 1 ) ( 1 3 ) = 2 π 3 .

El concepto de integración triple en coordenadas esféricas puede extenderse a la integración sobre un sólido general, utilizando las proyecciones sobre los planos de coordenadas. Observe que dVdV y dAdA significan incrementos de volumen y área, respectivamente. Las variables VV y AA se utilizan como variables de integración para expresar las integrales.

La integral triple de una función continua f(ρ,θ,φ)f(ρ,θ,φ) sobre una región sólida general

E={(ρ,θ,φ)|(ρ,θ)∈D,u1(ρ,θ)≤φ≤u2 (ρ,θ)}E={(ρ,θ,φ)|(ρ,θ)∈D,u1(ρ,θ)≤φ≤u2 (ρ,θ)}

en ℝ3,ℝ3, donde DD es la proyección de EE en el plano ρθρθ, es

∭Ef(ρ,θ,φ)dV=∬D[∫u1(ρ,θ)u2 (ρ,θ)f(ρ,θ,φ)dφ]dA.∭Ef(ρ,θ,φ)dV=∬D[∫u1(ρ,θ)u2 (ρ,θ)f(ρ,θ,φ)dφ]dA.

En particular, si D={(ρ,θ)|g1(θ)≤ρ≤g2 (θ),α≤θ≤β},D={(ρ,θ)|g1(θ)≤ρ≤g2 (θ),α≤θ≤β}, entonces tenemos

∭Ef(ρ,θ,φ)dV=∫αβ∫g1(θ)g2 (θ)∫u1(ρ,θ)u2 (ρ,θ)f(ρ,θ,φ)ρ2 senφdφdρdθ.∭Ef(ρ,θ,φ)dV=∫αβ∫g1(θ)g2 (θ)∫u1(ρ,θ)u2 (ρ,θ)f(ρ,θ,φ)ρ2 senφdφdρdθ.

Fórmulas similares surgen para proyecciones sobre los otros planos de coordenadas.

Ejemplo

5.48

Establecer una integral triple en coordenadas esféricas

Establezca una integral para el volumen de la región delimitada por el cono z=3(x2 +y2 )z=3(x2 +y2 ) y la semiesfera z=4−x2 −y2 z=4−x2 −y2 (vea la siguiente figura).

Figura

5.58

Una región delimitada por debajo por un cono y por encima por una semiesfera.

Solución

Utilizando las fórmulas de conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas, tenemos:

Para el cono: z=3(x2 +y2 )z=3(x2 +y2 ) o ρcosφ=3ρsenφρcosφ=3ρsenφ o tanφ=13tanφ=13 o φ=π6.φ=π6.

Para la esfera: z=4−x2 −y2 z=4−x2 −y2 o z2 +x2 +y2 =4z2 +x2 +y2 =4 o ρ2 =4ρ2 =4 o ρ=2 .ρ=2 .

Por lo tanto, la integral triple para el volumen es V(E)=∫θ=0θ=2 π∫ϕ=0φ=π/6∫ρ=0ρ=2 ρ2 senφdρdφdθ.V(E)=∫θ=0θ=2 π∫ϕ=0φ=π/6∫ρ=0ρ=2 ρ2 senφdρdφdθ.

Punto de control

5.31

Establezca una integral triple para el volumen de la región sólida delimitada por encima por la esfera ρ=2 ρ=2 y delimitada por debajo por el cono φ=π/3.φ=π/3.

Ejemplo

5.49

Intercambiar el orden de integración en coordenadas esféricas

Supongamos que EE es la región delimitada por debajo por el cono z=x2 +y2 z=x2 +y2 y por encima por la esfera z=x2 +y2 +z2 z=x2 +y2 +z2 (Figura 5.59). Establezca una integral triple en coordenadas esféricas y halle el volumen de la región utilizando los siguientes órdenes de integración:

1. dρdϕdθ,dρdϕdθ,
2. dφdρdθ.dφdρdθ.

   

   Figura

   5.59

   Una región delimitada por debajo por un cono y por encima por una esfera.

Solución

1. Utilice las fórmulas de conversión para escribir las ecuaciones de la esfera y el cono en coordenadas esféricas.

   Para la esfera:

   x2 +y2 +z2 =zρ2 =ρcosφρ=cosφ.x2 +y2 +z2 =zρ2 =ρcosφρ=cosφ.

   Para el cono:

   z=x2 +y2 ρcosφ=ρ2 sen2 φcos2 ϕ+ρ2 sen2 φsen2 ϕρcosφ=ρ2 sen2 φ(cos2 ϕ+sen2 ϕ)ρcosφ=ρsenφcosφ=senφφ=π/4.z=x2 +y2 ρcosφ=ρ2 sen2 φcos2 ϕ+ρ2 sen2 φsen2 ϕρcosφ=ρ2 sen2 φ(cos2 ϕ+sen2 ϕ)ρcosφ=ρsenφcosφ=senφφ=π/4.

   Por lo tanto, la integral para el volumen de la región sólida EE se convierte en

   V(E)=∫θ=0θ=2 π∫φ=0φ=π/4∫ρ=0ρ=cosφρ2 senφdρdφdθ.V(E)=∫θ=0θ=2 π∫φ=0φ=π/4∫ρ=0ρ=cosφρ2 senφdρdφdθ.

2. Considere el plano φρφρ. Observe que los rangos de φφ y ρρ (de la parte a.) son

   0≤φ≤π/40≤ρ≤cosφ.0≤φ≤π/40≤ρ≤cosφ.

   La curva ρ=cosφρ=cosφ se encuentra con la línea φ=π/4φ=π/4 en el punto (π/4,2 /2 ).(π/4,2 /2 ). Por lo tanto, para cambiar el orden de integración, necesitamos utilizar dos piezas:

   0≤ρ≤2 /2 0≤φ≤π/4y2 /2 ≤ρ≤10≤φ≤cos−1ρ.0≤ρ≤2 /2 0≤φ≤π/4y2 /2 ≤ρ≤10≤φ≤cos−1ρ.

   Por lo tanto, la integral para el volumen de la región sólida EE se convierte en

   V(E)=∫θ=0θ=2 π∫ρ=0ρ=2 /2 ∫φ=0φ=π/4ρ2 senφdφdρdθ+∫θ=0θ=2 π∫ρ=2 /2 ρ=1∫φ=0φ=cos−1ρρ2 senφdφdρdθ.V(E)=∫θ=0θ=2 π∫ρ=0ρ=2 /2 ∫φ=0φ=π/4ρ2 senφdφdρdθ+∫θ=0θ=2 π∫ρ=2 /2 ρ=1∫φ=0φ=cos−1ρρ2 senφdφdρdθ.

   En cada caso, la integración da como resultado V(E)=π8.V(E)=π8.

Antes de terminar esta sección, presentamos un par de ejemplos que pueden ilustrar la conversión de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas y de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

Ejemplo

5.50

Convertir coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas

Convierta la siguiente integral en coordenadas cilíndricas:

∫y=−1y=1∫x=0x=1−y2 ∫z=x2 +y2 z=x2 +y2 xyzdzdxdy.∫y=−1y=1∫x=0x=1−y2 ∫z=x2 +y2 z=x2 +y2 xyzdzdxdy.

Solución

Los rangos de las variables son

− 1 ≤ y ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 − y 2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 . − 1 ≤ y ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 − y 2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ x 2 + y 2 .

Las dos primeras inecuaciones describen la mitad derecha de un círculo de radio 1.1. Por lo tanto, los rangos de θθ y rr son

− π 2 ≤ θ ≤ π 2 y 0 ≤ r ≤ 1 . − π 2 ≤ θ ≤ π 2 y 0 ≤ r ≤ 1 .

Los límites de zz son r2 ≤z≤r,r2 ≤z≤r, por lo tanto

∫ y = −1 y = 1 ∫ x = 0 x = 1 − y 2 ∫ z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 x y z d z d x d y = ∫ θ = − π / 2 θ = π / 2 ∫ r = 0 r = 1 ∫ z = r 2 z = r r ( r cos θ ) ( r sen θ ) z d z d r d θ . ∫ y = −1 y = 1 ∫ x = 0 x = 1 − y 2 ∫ z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 x y z d z d x d y = ∫ θ = − π / 2 θ = π / 2 ∫ r = 0 r = 1 ∫ z = r 2 z = r r ( r cos θ ) ( r sen θ ) z d z d r d θ .

Ejemplo

5.51

Convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

Convierta la siguiente integral en coordenadas esféricas:

∫y=0y=3∫x=0x=9−y2 ∫z=x2 +y2 z=18−x2 −y2 (x2 +y2 +z2 )dzdxdy.∫y=0y=3∫x=0x=9−y2 ∫z=x2 +y2 z=18−x2 −y2 (x2 +y2 +z2 )dzdxdy.

Solución

Los rangos de las variables son

0 ≤ y ≤ 3 0 ≤ x ≤ 9 − y 2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 18 − x 2 − y 2 . 0 ≤ y ≤ 3 0 ≤ x ≤ 9 − y 2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 18 − x 2 − y 2 .

Los dos primeros rangos de variables describen un cuarto de disco en el primer cuadrante del plano xyxy. Por lo tanto, el rango para θθ es 0≤θ≤π2 .0≤θ≤π2 .

El límite inferior z=x2 +y2 z=x2 +y2 es la mitad superior de un cono y el límite superior z=18−x2 −y2 z=18−x2 −y2 es la mitad superior de una esfera. Por lo tanto, tenemos 0≤ρ≤18,0≤ρ≤18, que es 0≤ρ≤32 .0≤ρ≤32 .

Para los rangos de φ,φ, necesitamos calcular el punto de intersección entre el cono y la esfera, por lo que hay que despejar la ecuación

r 2 + z 2 = 18 ( x 2 + y 2 ) 2 + z 2 = 18 z 2 + z 2 = 18 2 z 2 = 18 z 2 = 9 z = 3. r 2 + z 2 = 18 ( x 2 + y 2 ) 2 + z 2 = 18 z 2 + z 2 = 18 2 z 2 = 18 z 2 = 9 z = 3.

Esto da

3 2 cos φ = 3 cos φ = 1 2 φ = π 4 . 3 2 cos φ = 3 cos φ = 1 2 φ = π 4 .

Uniendo todo esto, obtenemos

∫ y = 0 y = 3 ∫ x = 0 x = 9 − y 2 ∫ z = x 2 + y 2 z = 18 − x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) d z d x d y = ∫ φ = 0 φ = π / 4 ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ ρ = 0 ρ = 3 2 ρ 4 sen φ d ρ d θ d φ . ∫ y = 0 y = 3 ∫ x = 0 x = 9 − y 2 ∫ z = x 2 + y 2 z = 18 − x 2 − y 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) d z d x d y = ∫ φ = 0 φ = π / 4 ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ ρ = 0 ρ = 3 2 ρ 4 sen φ d ρ d θ d φ .

Punto de control

5.32

Utilice las coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas para establecer integrales triples para hallar el volumen de la región dentro de la esfera x2 +y2 +z2 =4×2 +y2 +z2 =4 pero fuera del cilindro x2 +y2 =1.×2 +y2 =1.

Ahora que estamos familiarizados con el sistema de coordenadas esféricas, vamos a hallar el volumen de algunas figuras geométricas conocidas, como las esferas y los elipsoides.

Ejemplo

5.52

Inicio del capítulo: Hallar el volumen de l’Hemisphèric

Hallar el volumen del planetario esférico de l’Hemisphèric de Valencia, España, que tiene cinco pisos de altura y un radio de aproximadamente 5050 ft, utilizando la ecuación x2 +y2 +z2 =r2 .x2 +y2 +z2 =r2 .

Figura

5.60

(créditos: modificación del trabajo de Javier Yaya Tur, Wikimedia Commons).

Solución

Calculamos el volumen de la bola en el primer octante, donde x≥0,y≥0,x≥0,y≥0, y z≥0,z≥0, utilizando coordenadas esféricas, y luego multiplicamos el resultado por 88 para la simetría. Dado que consideramos la región DD como el primer octante de la integral, los rangos de las variables son

0 ≤ φ ≤ π 2 , 0 ≤ ρ ≤ r , 0 ≤ θ ≤ π 2 . 0 ≤ φ ≤ π 2 , 0 ≤ ρ ≤ r , 0 ≤ θ ≤ π 2 .

Por lo tanto,

V = ∭ D d x d y d z = 8 ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ ρ = 0 ρ = π ∫ φ = 0 φ = π / 2 ρ 2 sen θ d φ d ρ d θ = 8 ∫ φ = 0 φ = π / 2 d φ ∫ ρ = 0 ρ = r ρ 2 d ρ ∫ θ = 0 θ = π / 2 sen θ d θ = 8 ( π 2 ) ( r 3 3 ) ( 1 ) = 4 3 π r 3 . V = ∭ D d x d y d z = 8 ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ ρ = 0 ρ = π ∫ φ = 0 φ = π / 2 ρ 2 sen θ d φ d ρ d θ = 8 ∫ φ = 0 φ = π / 2 d φ ∫ ρ = 0 ρ = r ρ 2 d ρ ∫ θ = 0 θ = π / 2 sen θ d θ = 8 ( π 2 ) ( r 3 3 ) ( 1 ) = 4 3 π r 3 .

Esto coincide exactamente con lo que sabíamos. Así, para una esfera con un radio de aproximadamente 5050 ft, el volumen es 43π(50)3≈523.600pies3.43π(50)3≈523.600pies3.

Para el siguiente ejemplo hallaremos el volumen de un elipsoide.

Ejemplo

5.53

Hallar el volumen de un elipsoide

Halle el volumen del elipsoide x2 a2 +y2 b2 +z2 c2 =1.x2 a2 +y2 b2 +z2 c2 =1.

Solución

Volvemos a utilizar la simetría y evaluamos el volumen del elipsoide utilizando coordenadas esféricas. Como antes, utilizamos el primer octante x≥0,y≥0,x≥0,y≥0, y z≥0z≥0 y luego multiplicamos el resultado por 8.8.

En este caso los rangos de las variables son

0 ≤ φ ≤ π 2 , 0 ≤ ρ ≤ π 2 , 0 ≤ ρ ≤ 1 , y 0 ≤ θ ≤ π 2 . 0 ≤ φ ≤ π 2 , 0 ≤ ρ ≤ π 2 , 0 ≤ ρ ≤ 1 , y 0 ≤ θ ≤ π 2 .

Además, tenemos que cambiar las coordenadas rectangulares a esféricas de esta manera:

x = a ρ cos φ sen θ , y = b ρ sen φ sen θ , y z = c ρ cos θ . x = a ρ cos φ sen θ , y = b ρ sen φ sen θ , y z = c ρ cos θ .

Entonces el volumen del elipsoide se convierte en

V = ∭ D d x d y d z = 8 ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ ρ = 0 ρ = 1 ∫ φ = 0 φ = π / 2 a b c ρ 2 sen θ d φ d ρ d θ = 8 a b c ∫ φ = 0 φ = π / 2 d φ ∫ ρ = 0 ρ = 1 ρ 2 d ρ ∫ θ = 0 θ = π / 2 sen θ d θ = 8 a b c ( π 2 ) ( 1 3 ) ( 1 ) = 4 3 π a b c . V = ∭ D d x d y d z = 8 ∫ θ = 0 θ = π / 2 ∫ ρ = 0 ρ = 1 ∫ φ = 0 φ = π / 2 a b c ρ 2 sen θ d φ d ρ d θ = 8 a b c ∫ φ = 0 φ = π / 2 d φ ∫ ρ = 0 ρ = 1 ρ 2 d ρ ∫ θ = 0 θ = π / 2 sen θ d θ = 8 a b c ( π 2 ) ( 1 3 ) ( 1 ) = 4 3 π a b c .

Ejemplo

5.54

Hallar el volumen del espacio dentro de un elipsoide y fuera de una esfera

Halle el volumen del espacio dentro del elipsoide x2 752 +y2 802 +z2 902 =1×2 752 +y2 802 +z2 902 =1 y fuera de la esfera x2 +y2 +z2 =502 .x2 +y2 +z2 =502 .

Solución

Este problema está directamente relacionado con la estructura del l’Hemisphèric. El volumen del espacio dentro del elipsoide y fuera de la esfera podría ser útil para hallar el gasto de calefacción o refrigeración de ese espacio. Podemos utilizar los dos ejemplos anteriores para el volumen de la esfera y el elipsoide y luego restar.

Primero hallamos el volumen del elipsoide utilizando a=75pies,a=75pies, b=80pies,b=80pies, y c=90piesc=90pies en el resultado del Ejemplo 5.53. Por lo tanto, el volumen del elipsoide es

V elipsoide = 4 3 π ( 75 ) ( 80 ) ( 90 ) ≈ 2262000 pies 3 . V elipsoide = 4 3 π ( 75 ) ( 80 ) ( 90 ) ≈ 2262000 pies 3 .

A partir del Ejemplo 5.52, el volumen de la esfera es

V esfera ≈ 523.600 pies 3 . V esfera ≈ 523.600 pies 3 .

Por lo tanto, el volumen del espacio dentro del elipsoide x2 752 +y2 802 +z2 902 =1×2 752 +y2 802 +z2 902 =1 y fuera de la esfera x2 +y2 +z2 =502 x2 +y2 +z2 =502 es aproximadamente

V Semiesférico = V elipsoide − V esfera = 1738400 pies 3 . V Semiesférico = V elipsoide − V esfera = 1738400 pies 3 .

Proyecto de estudiante

Globos aerostáticos

El vuelo en globo aerostático es un pasatiempo relajante y tranquilo que gusta a mucha gente. En todo el mundo se celebran numerosos encuentros de globeros, como la Fiesta Internacional del Globo de Albuquerque. El evento de Albuquerque es el mayor festival de globos aerostáticos del mundo, con más de 500500 globos que participan cada año.

Figura

5.61

Globos despegando en la Fiesta Internacional del Globo de AlbuquerqueFiesta Internacional del Globo de Albuquerque de 2001 (créditos: David Herrera, Flickr).

Como su nombre indica, los globos aerostáticos utilizan aire caliente para generar sustentación (el aire caliente es menos denso que el aire frío, por lo que el globo flota mientras el aire caliente se mantenga caliente). El calor lo genera un quemador de propano suspendido bajo la abertura de la cesta. Una vez que el globo despega, el piloto controla la altitud del globo, ya sea utilizando el quemador para calentar el aire y ascender o utilizando un respiradero cerca de la parte superior del globo para liberar el aire calentado y descender. Sin embargo, el piloto tiene muy poco control sobre el rumbo del globo, que está a merced de los vientos. La incertidumbre sobre dónde acabaremos es una de las razones por las que los globeros se sienten atraídos por este deporte.

En este proyecto utilizamos las integrales triples para aprender más sobre los globos aerostáticos. Modelamos el globo en dos piezas. La parte superior del globo está modelada por una media esfera de radio de 2828 pies. La parte inferior del globo está modelada por un tronco de un cono (piense en un cono de helado con el extremo puntiagudo cortado). El radio del extremo grande del tronco es de 2828 pies y el radio del extremo pequeño del tronco es de 66 pies. En la siguiente figura se muestra un gráfico de nuestro modelo de globo y un diagrama transversal que muestra las dimensiones.

Figura

5.62

(a) Utilice una media esfera para modelar la parte superior del globo y un tronco de un cono para modelar la parte inferior del globo. (b) Una sección transversal del globo mostrando sus dimensiones.

Primero, queremos hallar el volumen del globo. Si observamos la parte superior y la parte inferior del globo por separado, vemos que son sólidos geométricos con fórmulas de volumen conocidas. Sin embargo, sigue siendo conveniente establecer y evaluar las integrales que necesitaríamos para hallar el volumen. Si calculamos el volumen mediante integración, podemos utilizar las fórmulas de volumen conocidas para comprobar nuestras respuestas. Esto ayudará a asegurar que tenemos las integrales correctamente configuradas para las etapas posteriores y más complicadas del proyecto.

1. Halle el volumen del globo de dos maneras.
   1. Utilice las integrales triples para calcular el volumen. Considere cada parte del globo por separado (considere la posibilidad de utilizar coordenadas esféricas para la parte superior y coordenadas cilíndricas para la parte inferior).
   2. Compruebe la respuesta utilizando las fórmulas para el volumen de una esfera, V=43πr3,V=43πr3, y para el volumen de un cono, V=13πr2 h.V=13πr2 h.

   En realidad, calcular la temperatura en un punto del interior del globo es una tarea tremendamente complicada. De hecho, toda una rama de la física (la termodinámica) se dedica a estudiar el calor y la temperatura. Sin embargo, para los fines de este proyecto, haremos algunas suposiciones simplificadoras sobre cómo varía la temperatura de un punto a otro dentro del globo. Supongamos que justo antes del despegue, la temperatura (en grados Fahrenheit) del aire dentro del globo varía según la función

   T0(r,θ,z)=z−r10+210.T0(r,θ,z)=z−r10+210.

2. ¿Cuál es la temperatura media del aire en el globo justo antes del despegue? (De nuevo, mire cada parte del globo por separado, y no olvide convertir la función en coordenadas esféricas cuando mire la parte superior del globo).

   Ahora el piloto activa el quemador durante 1010 segundos. Esta acción afecta a la temperatura en una columna de 1212 pies de ancho y 2020 pies de altura, directamente sobre el quemador. En la siguiente figura se muestra una sección transversal del globo que representa esta columna.

   

   Figura

   5.63

   La activación del quemador calienta el aire en una columna de 2020 pies de altura y 1212 de ancho directamente sobre el quemador.

   Supongamos que después de que el piloto active el quemador por 1010 segundos, la temperatura del aire en la columna descrita aumenta según la fórmula

   H(r,θ,z)=−2z−48.H(r,θ,z)=−2z−48.

   Entonces la temperatura del aire en la columna está dada por

   T1(r,θ,z)=z−r10+210+(−2z−48),T1(r,θ,z)=z−r10+210+(−2z−48),

   mientras que la temperatura en el resto del globo sigue estando dada por

   T0(r,θ,z)=z−r10+210.T0(r,θ,z)=z−r10+210.

3. Calcule la temperatura media del aire en el globo después de que el piloto haya activado el quemador durante 1010 segundos.

Sección 5.5 ejercicios

En los siguientes ejercicios, evalúe las integrales triples ∭Ef(x,y,z)dV∭Ef(x,y,z)dV sobre el sólido B.B.

241

.

f(x,y,z)=z,f(x,y,z)=z, B={(x,y,z)|x2 +y2 ≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤1}B={(x,y,z)|x2 +y2 ≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤1}

242

.

f(x,y,z)=xz2 ,f(x,y,z)=xz2 , B={(x,y,z)|x2 +y2 ≤16,x≥0,y≤0,−1≤z≤1}B={(x,y,z)|x2 +y2 ≤16,x≥0,y≤0,−1≤z≤1}

243

.

f(x,y,z)=xy,f(x,y,z)=xy, B={(x,y,z)|x2 +y2 ≤1,x≥0,x≥y,−1≤z≤1}B={(x,y,z)|x2 +y2 ≤1,x≥0,x≥y,−1≤z≤1}

244

.

f(x,y,z)=x2 +y2 ,f(x,y,z)=x2 +y2 , B={(x,y,z)|x2 +y2 ≤4,x≥0,x≤y,0≤z≤3}B={(x,y,z)|x2 +y2 ≤4,x≥0,x≤y,0≤z≤3}

245

.

f(x,y,z)=ex2 +y2 ,f(x,y,z)=ex2 +y2 , B={(x,y,z)|1≤x2 +y2 ≤4,y≤0,x≤y3,2 ≤z≤3}B={(x,y,z)|1≤x2 +y2 ≤4,y≤0,x≤y3,2 ≤z≤3}

246

.

f(x,y,z)=x2 +y2 ,f(x,y,z)=x2 +y2 , B={(x,y,z)|1≤x2 +y2 ≤9,y≤0,0≤z≤1}B={(x,y,z)|1≤x2 +y2 ≤9,y≤0,0≤z≤1}

247

.

1. Supongamos que BB es una capa cilíndrica con radio interior a,a, radio exterior b,b, y altura c,c, donde 0<a<b0<a<b y c>0.c>0. Supongamos que una función FF definida en BB puede expresarse en coordenadas cilíndricas como F(x,y,z)=f(r)+h(z),F(x,y,z)=f(r)+h(z), donde ff y hh son funciones diferenciables. Si los valores de ∫abf˜(r)dr=0∫abf˜(r)dr=0 y h˜(0)=0,h˜(0)=0, donde f˜f˜ y h˜h˜ son antiderivadas de ff y h,h, respectivamente, demuestre que

   ∭BF(x,y,z)dV=2 πc(bf˜(b)−af˜(a))+π(b2 −a2 )h˜(c).∭BF(x,y,z)dV=2 πc(bf˜(b)−af˜(a))+π(b2 −a2 )h˜(c).

2. Utilice el resultado anterior para demostrar que ∭B(z+senx2 +y2 )dxdydz=6π2 (π−2 ),∭B(z+senx2 +y2 )dxdydz=6π2 (π−2 ), donde BB es una capa cilíndrica con radio interior π,π, radio exterior 2 π,2 π, y altura 2 .2 .

248

.

1. Supongamos que BB es una capa cilíndrica con radio interior a,a, radio exterior b,b, y altura c,c, donde 0<a<b0<a<b y c>0.c>0. Supongamos que una función FF definida en BB puede expresarse en coordenadas cilíndricas como F(x,y,z)=f(r)g(θ)h(z),F(x,y,z)=f(r)g(θ)h(z), donde f,g,yhf,g,yh son funciones diferenciables. Si los valores de ∫abf˜(r)dr=0,∫abf˜(r)dr=0, donde f˜f˜ es una antiderivada de f,f, demuestre que

   ∭BF(x,y,z)dV=[bf˜(b)−af˜(a)][g˜(2 π)−g˜(0)][h˜(c)−h˜(0)],∭BF(x,y,z)dV=[bf˜(b)−af˜(a)][g˜(2 π)−g˜(0)][h˜(c)−h˜(0)],

   donde g˜g˜ y h˜h˜ son antiderivadas de gg y h,h, respectivamente.

2. Utilice el resultado anterior para demostrar que ∭Bzsenx2 +y2 dxdydz=–12π2 ,∭Bzsenx2 +y2 dxdydz=–12π2 , donde BB es una capa cilíndrica con radio interior π,π, radio exterior 2 π,2 π, y altura 2 .2 .

En los siguientes ejercicios, los límites del sólido EE se dan en coordenadas cilíndricas.

1. Exprese la región EE en coordenadas cilíndricas.
2. Convierta la integral ∭Ef(x,y,z)dV∭Ef(x,y,z)dV a coordenadas cilíndricas.

249

.

EE está delimitado por el cilindro circular derecho r=4senθ,r=4senθ, el plano rθrθ, y la esfera r2 +z2 =16.r2 +z2 =16.

250

.

EE está fuera del cilindro circular derecho r=cosθ,r=cosθ, por encima del plano x–yx–y y al interior de la esfera r2 +z2 =9.r2 +z2 =9.

251

.

EE se encuentra en el primer octante y está delimitado por el paraboloide circular z=9−3r2 ,z=9−3r2 , el cilindro r=3,r=3, y el plano r(cosθ+senθ)=20−z.r(cosθ+senθ)=20−z.

252

.

EE se encuentra en el primer octante fuera del paraboloide circular z=10−2 r2 z=10−2 r2 y en el interior del cilindro r=5r=5 y está delimitado también por los planos z=20z=20 y θ=π4.θ=π4.

En los siguientes ejercicios, la función ff y la región EE están dados.

1. Exprese la región EE y la función ff en coordenadas cilíndricas.
2. Convierta la integral ∭Bf(x,y,z)dV∭Bf(x,y,z)dV en coordenadas cilíndricas y evalúela.

253

.

f(x,y,z)=1x+3,f(x,y,z)=1x+3, E={(x,y,z)|0≤x2 +y2 ≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤x+3}E={(x,y,z)|0≤x2 +y2 ≤9,x≥0,y≥0,0≤z≤x+3}

254

.

f(x,y,z)=x2 +y2 ,f(x,y,z)=x2 +y2 , E={(x,y,z)|0≤x2 +y2 ≤4,y≥0,0≤z≤3−x}E={(x,y,z)|0≤x2 +y2 ≤4,y≥0,0≤z≤3−x}

255

.

f(x,y,z)=x,f(x,y,z)=x, E={(x,y,z)|1≤y2 +z2 ≤9,0≤x≤1−y2 −z2 }E={(x,y,z)|1≤y2 +z2 ≤9,0≤x≤1−y2 −z2 }

256

.

f(x,y,z)=y,f(x,y,z)=y, E={(x,y,z)|1≤x2 +z2 ≤9,0≤y≤1−x2 −z2 }E={(x,y,z)|1≤x2 +z2 ≤9,0≤y≤1−x2 −z2 }

En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido EE cuyos límites están dados en coordenadas rectangulares.

257

.

EE está por encima del plano xyxy, dentro del cilindro x2 +y2 =1,x2 +y2 =1, y por debajo del plano z=1.z=1.

258

.

EE está por debajo del plano z=1z=1 y dentro del paraboloide z=x2 +y2 .z=x2 +y2 .

259

.

EE está delimitado por el cono circular z=x2 +y2 z=x2 +y2 y z=1.z=1.

260

.

EE se encuentra por encima del plano xyxy, debajo de z=1,z=1, fuera de la hiperboloide de una hoja x2 +y2 −z2 =1,x2 +y2 −z2 =1, y en el interior del cilindro x2 +y2 =2 .x2 +y2 =2 .

261

.

EE se encuentra en el interior del cilindro x2 +y2 =1×2 +y2 =1 y entre los paraboloides circulares z=1−x2 −y2 z=1−x2 −y2 y z=x2 +y2 .z=x2 +y2 .

262

.

EE se encuentra en el interior de la esfera x2 +y2 +z2 =1,x2 +y2 +z2 =1, por encima del plano xyxy y en el interior del cono circular z=x2 +y2 .z=x2 +y2 .

263

.

EE se encuentran en el interior del cono circular x2 +y2 =(z–1)2 x2 +y2 =(z–1)2 y entre los planos z=0z=0 y z=2 .z=2 .

264

.

EE se encuentra fuera del cono circular z=1−x2 +y2 ,z=1−x2 +y2 , por encima del plano xyxy, debajo del paraboloide circular y entre los planos z=0yz=2 .z=0yz=2 .

265

.

[T] Utilice un sistema de álgebra computacional (CAS) para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas ∫−π/2 π/2 ∫01∫r2 rrdzdrdθ.∫−π/2 π/2 ∫01∫r2 rrdzdrdθ. Halle el volumen VV del sólido. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

266

.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas cilíndricas ∫0π/2 ∫01∫r4rrdzdrdθ.∫0π/2 ∫01∫r4rrdzdrdθ. Halle el volumen VV del sólido. Redondee su respuesta a cuatro decimales.

267

.

Convierta la integral ∫01∫−1−y2 1−y2 ∫x2 +y2 x2 +y2 xzdzdxdy∫01∫−1−y2 1−y2 ∫x2 +y2 x2 +y2 xzdzdxdy en una integral en coordenadas cilíndricas.

268

.

Convierta la integral ∫02 ∫0y∫01(xy+z)dzdxdy∫02 ∫0y∫01(xy+z)dzdxdy en una integral en coordenadas cilíndricas.

En los siguientes ejercicios, evalúe la integral triple ∭Bf(x,y,z)dV∭Bf(x,y,z)dV sobre el sólido B.B.

269

.

f(x,y,z)=1,f(x,y,z)=1, B={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 ≤90,z≥0}B={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 ≤90,z≥0}

270

.

f(x,y,z)=1−x2 +y2 +z2 ,f(x,y,z)=1−x2 +y2 +z2 , B={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 ≤9,y≥0,z≥0}B={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 ≤9,y≥0,z≥0}

271

.

f(x,y,z)=x2 +y2 ,f(x,y,z)=x2 +y2 , BB está delimitado por encima por la semiesfera x2 +y2 +z2 =9×2 +y2 +z2 =9 con la z≥0z≥0 y por debajo por el cono 2 z2 =x2 +y2 .2 z2 =x2 +y2 .

272

.

f(x,y,z)=z,f(x,y,z)=z, BB está delimitado por encima por la semiesfera x2 +y2 +z2 =16×2 +y2 +z2 =16 con la z≥0z≥0 y por debajo por el cono 2 z2 =x2 +y2 .2 z2 =x2 +y2 .

273

.

Demuestre que si F(ρ,θ,φ)=f(ρ)g(θ)h(φ)F(ρ,θ,φ)=f(ρ)g(θ)h(φ) es una función continua en la caja esférica B={(ρ,θ,φ)|a≤ρ≤b,α≤θ≤β,γ≤φ≤ψ},B={(ρ,θ,φ)|a≤ρ≤b,α≤θ≤β,γ≤φ≤ψ}, entonces

∭ B F d V = ( ∫ a b ρ 2 f ( ρ ) d r ) ( ∫ α β g ( θ ) d θ ) ( ∫ γ ψ h ( φ ) sen φ d φ ) . ∭ B F d V = ( ∫ a b ρ 2 f ( ρ ) d r ) ( ∫ α β g ( θ ) d θ ) ( ∫ γ ψ h ( φ ) sen φ d φ ) .

274

.

1. Una función FF se dice que tiene simetría esférica si solo depende de la distancia al origen, es decir, se puede expresar en coordenadas esféricas como F(x,y,z)=f(ρ),F(x,y,z)=f(ρ), donde ρ=x2 +y2 +z2 .ρ=x2 +y2 +z2 . Demuestre que

   ∭BF(x,y,z)dV=2 π∫abρ2 f(ρ)dρ,∭BF(x,y,z)dV=2 π∫abρ2 f(ρ)dρ,

   donde BB es la región entre las semiesferas concéntricas superiores de radios aa y bb centrada en el origen, con 0<a<b0<a<b y FF una función esférica definida en B.B.

2. Utilice el resultado anterior para demostrar que ∭B(x2 +y2 +z2 )x2 +y2 +z2 dV=21π,∭B(x2 +y2 +z2 )x2 +y2 +z2 dV=21π, donde

   B={(x,y,z)|1≤x2 +y2 +z2 ≤2 ,z≥0}.B={(x,y,z)|1≤x2 +y2 +z2 ≤2 ,z≥0}.

275

.

1. Supongamos que BB es la región comprendida entre las semiesferas concéntricas superiores de radios a y b centrados en el origen y situados en el primer octante, donde 0<a<b.0<a<b. Considere F una función definida en B cuya forma en coordenadas esféricas (ρ,θ,φ)(ρ,θ,φ) es F(x,y,z)=f(ρ)cosφ.F(x,y,z)=f(ρ)cosφ. Demuestre que si g(a)=g(b)=0g(a)=g(b)=0 y ∫abh(ρ)dρ=0,∫abh(ρ)dρ=0, entonces

   ∭BF(x,y,z)dV=π2 4[ah(a)−bh(b)],∭BF(x,y,z)dV=π2 4[ah(a)−bh(b)],

   donde gg es una antiderivada de ff y hh es una antiderivada de g.g.

2. Utilice el resultado anterior para demostrar que ∭Bzcosx2 +y2 +z2 x2 +y2 +z2 dV=3π2 2 ,∭Bzcosx2 +y2 +z2 x2 +y2 +z2 dV=3π2 2 , donde BB es la región entre las semiesferas concéntricas superiores de radios ππ y 2 π2 π centrada en el origen y situada en el primer octante.

En los siguientes ejercicios, la función ff y la región EE están dados.

1. Exprese la región EE y la función ff en coordenadas esféricas.
2. Convierta la integral ∭Bf(x,y,z)dV∭Bf(x,y,z)dV en coordenadas esféricas y evalúela.

276

.

f(x,y,z)=z;f(x,y,z)=z; E={(x,y,z)|0≤x2 +y2 +z2 ≤1,z≥0}E={(x,y,z)|0≤x2 +y2 +z2 ≤1,z≥0}

277

.

f(x,y,z)=x+y;f(x,y,z)=x+y; E={(x,y,z)|1≤x2 +y2 +z2 ≤2 ,z≥0,y≥0}E={(x,y,z)|1≤x2 +y2 +z2 ≤2 ,z≥0,y≥0}

278

.

f(x,y,z)=2 xy;f(x,y,z)=2 xy; E={(x,y,z)|x2 +y2 ≤z≤1−x2 −y2 ,x≥0,y≥0}E={(x,y,z)|x2 +y2 ≤z≤1−x2 −y2 ,x≥0,y≥0}

279

.

f(x,y,z)=z;f(x,y,z)=z; E={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 −2 z≤0,x2 +y2 ≤z}E={(x,y,z)|x2 +y2 +z2 −2 z≤0,x2 +y2 ≤z}

En los siguientes ejercicios, halle el volumen del sólido EE cuyos límites están dados en coordenadas rectangulares.

280

.

E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 ≤ z ≤ 16 − x 2 − y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 } E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 ≤ z ≤ 16 − x 2 − y 2 , x ≥ 0 , y ≥ 0 }

281

.

E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 − 2 z ≤ 0 , x 2 + y 2 ≤ z } E = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 − 2 z ≤ 0 , x 2 + y 2 ≤ z }

282

.

Utilice las coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido situado fuera de la esfera ρ=1ρ=1 y al interior de la esfera ρ=cosφ,ρ=cosφ, con la φ∈[0,π2 ].φ∈[0,π2 ].

283

.

Utilice las coordenadas esféricas para hallar el volumen de la bola ρ≤3ρ≤3 que se encuentra entre los conos φ=π4yφ=π3.φ=π4yφ=π3.

284

.

Convierta la integral ∫–44∫−16−y2 16−y2 ∫−16−x2 −y2 16−x2 −y2 (x2 +y2 +z2 )dzdxdy∫–44∫−16−y2 16−y2 ∫−16−x2 −y2 16−x2 −y2 (x2 +y2 +z2 )dzdxdy en una integral en coordenadas esféricas.

285

.

Convierta la integral ∫04∫016−x2 ∫−16−x2 −y2 16−x2 −y2 (x2 +y2 +z2 )2 dzdydx∫04∫016−x2 ∫−16−x2 −y2 16−x2 −y2 (x2 +y2 +z2 )2 dzdydx en una integral en coordenadas esféricas.

286

.

Convierta la integral ∫−22 ∫−4−x2 4−x2 ∫x2 +y2 16−x2 −y2 dzdydx∫−22 ∫−4−x2 4−x2 ∫x2 +y2 16−x2 −y2 dzdydx en una integral en coordenadas esféricas y evalúela.

287

.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas esféricas ∫π/2 π∫5π/6π/6∫02 ρ2 senφdρdφdθ.∫π/2 π∫5π/6π/6∫02 ρ2 senφdρdφdθ. Halle el volumen VV del sólido. Redondee su respuesta a tres decimales.

288

.

[T] Utilice un CAS para graficar el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada en coordenadas esféricas como ∫02 π∫π/43π/4∫01ρ2 senφdρdφdθ.∫02 π∫π/43π/4∫01ρ2 senφdρdφdθ. Halle el volumen VV del sólido. Redondee su respuesta a tres decimales.

289

.

[T] Utilice un CAS para evaluar la integral ∭E(x2 +y2 )dV∭E(x2 +y2 )dV donde EE se encuentra por encima del paraboloide z=x2 +y2 z=x2 +y2 y por debajo del plano z=3y.z=3y.

290

.

[T]

1. Evalúe la integral ∭Eex2 +y2 +z2 dV,∭Eex2 +y2 +z2 dV, donde EE está delimitada por las esferas 4×2 +4y2 +4z2 =14×2 +4y2 +4z2 =1 y x2 +y2 +z2 =1.×2 +y2 +z2 =1.
2. Utilice un CAS para calcular una aproximación de la integral anterior. Redondee su respuesta a dos decimales.

291

.

Exprese el volumen del sólido dentro de la esfera x2 +y2 +z2 =16×2 +y2 +z2 =16 y fuera del cilindro x2 +y2 =4×2 +y2 =4 como integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, respectivamente.

292

.

Exprese el volumen del sólido dentro de la esfera x2 +y2 +z2 =16×2 +y2 +z2 =16 y fuera del cilindro x2 +y2 =4×2 +y2 =4 que se encuentra en el primer octante como integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, respectivamente.

293

.

La potencia emitida por una antena tiene una densidad de potencia por unidad de volumen dada en coordenadas esféricas por

p(ρ,θ,φ)=P0ρ2 cos2 θsen4φ,p(ρ,θ,φ)=P0ρ2 cos2 θsen4φ,donde P0P0 es una constante con unidades en vatios. La potencia total dentro de una esfera BB de radio rr metros se define como P=∭Bp(ρ,θ,φ)dV.P=∭Bp(ρ,θ,φ)dV. Calcule la potencia total PP dentro de una esfera de 20 metros de radio.

294

.

Utilice el ejercicio anterior para calcular la potencia total dentro de una esfera BB de 5 metros de radio cuando la densidad de potencia por unidad de volumen está dada por p(ρ,θ,φ)=30ρ2 cos2 θsen4φ.p(ρ,θ,φ)=30ρ2 cos2 θsen4φ.

295

.

Una nube de carga contenida en una esfera BB de radio r centrado en el origen tiene su densidad de carga dada por q(x,y,z)=kx2 +y2 +z2 μCcm3,q(x,y,z)=kx2 +y2 +z2 μCcm3, donde k>0.k>0. La carga total contenida en BB viene dada por Q=∭Bq(x,y,z)dV.Q=∭Bq(x,y,z)dV. Calcule la carga total Q.Q.

296

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Utilice el ejercicio anterior para hallar la nube de carga total contenida en la esfera unitaria si la densidad de carga es q(x,y,z)=20×2 +y2 +z2 μCcm3.q(x,y,z)=20×2 +y2 +z2 μCcm3.