X al cuadrado

Explicamos qué es x al cuadrado, sus propiedades, ejemplos y ejercicios resueltos

La operación algebraica de “x al cuadrado” se lleva a cabo multiplicando la cantidad “x” consigo misma dos veces. Forma parte de las operaciones de potenciación, y en símbolos matemáticos, se expresa de esta forma:

x∙x = x2

Este es un caso particular de la potenciación, en la cual “x” representa la base y el “2” es el exponente. Si en una operación aparece el término x2, se lee precisamente como “x al cuadrado” o “x elevado al cuadrado”.

Naturalmente, otros exponentes son posibles, por ejemplo, si el exponente es 3, entonces la potencia se escribe como:

x∙x ∙x = x3

Y se lee como “x a la tres”, “x elevado al cubo” o simplemente “x al cubo”.

En general, el exponente al que está elevada la base puede ser cualquier número, llamado “n” y en tal caso, la potencia correspondiente se escribe:

xn = x∙x∙x∙ … ∙x

Aquí los puntos suspensivos señalan que se debe multiplicar a “x” por sí misma “n” veces, es decir, tantas veces como lo indique el exponente.

Algunos ejemplos sencillos de “x al cuadrado”, con números, son los siguientes:

32 = 3∙3 = 9

(−4)2 = (−4) ∙ (−4) = 16

Más adelante se describen diversas aplicaciones para las cuales se hace necesario calcular el cuadrado de una cantidad, pero antes que nada, conviene conocer las propiedades de la potenciación.

Propiedades de la potenciación

En general, el producto de cualquier cantidad consigo misma, n veces, recibe el nombre de potenciación. El cálculo de x al cuadrado es solamente un caso particular de potenciación, otros dos casos aparecen cuando se quiere elevar una cantidad al exponente 1, obteniéndose como resultado la misma cantidad:

Como estas operaciones son frecuentes, para trabajar con bases y exponentes se siguen algunas reglas sencillas de operación, llamadas leyes de los exponentes, que se enumeran seguidamente:

Leyes de los exponentes

En lo que sigue, “x” es la base y “n” y “m” son los exponentes.

1.- Producto de potencias de igual base

Al multiplicar dos (o más) potencias de igual base, se obtiene la base elevada a la suma de los exponentes:

xn∙xm = xn+m

En el caso de x elevada al cuadrado, esta regla se aplica de la siguiente manera, sustituyendo n y m por 1:

x1∙x1 = x1+1 = x2

2.- División de potencias de igual base

Al dividir potencias de igual base, se obtiene la base, elevada a la resta entre los respectivos exponentes del numerador y el denominador:

xn ÷ xm = xn–m

Como la división por 0 no está definida, debe cumplirse siempre que x≠0.

3.- Potencia de una potencia

El resultado de la potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes:

(xm)n = xm∙n

Puede obtenerse de nuevo x al cuadrado, al hacer m = 1 y n = 2:

(x1)2 = x1∙2 = x2

4.- Exponente negativo

Para exponentes negativos, la operación a realizar es:

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Siempre que x ≠ 0. Obsérvese que, en este caso, la potencia se convierte en una fracción con numerador igual a 1.

5.- Exponente fraccionario

Los exponentes fraccionarios se pueden escribir como la raíz enésima de la base:

A condición de que n sea diferente de 0. Este valor pasa a ser el índice de la raíz, mientras que m se convierte en el exponente de la cantidad bajo la raíz, que en este caso es x.

Productos y cocientes de distintas bases

Cuando hay que potenciar productos y cocientes de diferentes bases “x” y “y”, se siguen estas reglas:

1.- Potencia del producto

Para realizar esta potencia, se eleva cada cantidad al exponente n y se establece el producto resultante:

(x∙y)n = xn ⋅ yn

2.- Potencia del cociente

Nuevamente hay que elevar cada cantidad al exponente n por separado y establecer el cociente que resulta, siguiendo la norma de que la cantidad “y” sea diferente de 0, en el caso de “n” positivo:

(x ÷ y)n = xn ÷ yn

Cuando “n” es negativo, se debe tener precaución, pues de la propiedad 4 de la sección anterior, el numerador se convierte en denominador. En este caso, ambas cantidades tienen que ser distintas de 0, ya que la división por 0 debe ser evitada a toda costa.

Ejemplos

Ejemplo 1: Los cuadrados de los números naturales

Los cuadrados de los diez primeros números naturales son:

  • 12= 1×1 = 1

  • 22= 2×2 = 4

  • 32= 3×3 = 9

  • 42= 4×4 = 16

  • 52= 5×5 = 25

  • 62= 6×6 = 36

  • 72= 7×7 = 49

  • 82= 8×8 = 64

  • 92= 9×9 = 81

  • 102= 10×10 = 100

Ejemplo 2: El cuadrado de los números negativos

El cuadrado de un número negativo siempre es positivo, ya que se multiplican dos cantidades de igual signo, por lo tanto:

(–x)·(–x) = x∙x = x2

Por ejemplo:

(–2)·(–2) = (–2)2 = 4

Ejemplo 3: Cuadrado de la suma y de la diferencia 

Con frecuencia es preciso calcular el cuadrado de la suma de dos cantidades, o su diferencia, operaciones que se incluyen en la categoría de productos notables.

La operación se resuelve con las indicaciones dadas y la ayuda de la propiedad distributiva:

Cuadrado de la suma

Sean dos cantidades “x” y “y”, y se desea hallar el cuadrado de su suma (x + y)2:

(x + y)2 = (x + y) ∙ (x + y) = x∙x + x∙y + y∙x + y∙y = x2 + 2x∙y + y2

Esta expresión se lee así: “cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo”.

Cuadrado de la diferencia

Se resuelve de manera análoga, pero tomando en cuenta el signo negativo:

(x − y)2 = (x − y) ∙ (x − y) = x∙x − x∙y + y∙x − y∙y = x2 − 2x∙y + y2

Ejemplo 4: El área de un cuadrado

El cuadrado es un polígono de 4 lados, los cuales tienen la misma medida. Sea ℓ la medida del lado, entonces el área A de la figura viene dada por:

A = ℓ2

Ejemplo 5: El teorema de Pitágoras

Este teorema se aplica a triángulos rectángulos, aquellos en los que dos de sus lados forman ángulo recto. Estos lados se conocen como “catetos” y el lado restante es la “hipotenusa”.

El teorema establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Llamando “a” y “b” a los catetos, y “c” a la hipotenusa, el teorema se escribe como:

c2 = a2 + b2

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Calcular el cuadrado de la hipotenusa cuyos catetos miden 3 y 5 unidades.

Solución

Según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es:

c2 = a2 + b2

Sustituyendo los valores:

c2 = 32 + 52= (3×3) + (5×5) = 9 + 25 = 34

Ejercicio 2

Determinar el área de un cuadrado de lado ℓ = 6 cm

Solución

A = ℓ2 = (6 cm)2 = 36 cm2

En teoría de la probabilidad y en estadística, la distribución ji al cuadrado (también llamada distribución de Pearson o distribución χ 2 {displaystyle chi ^{2}} {displaystyle chi ^{2}}) con k ∈ N {displaystyle kin mathbb {N} } {displaystyle kin mathbb {N} } grados de libertad es la distribución de la suma del cuadrado de k {displaystyle k} {displaystyle k} variables aleatorias independientes con distribución normal estándar. La distribución chi cuadrada es un caso especial de la distribución gamma y es una de las distribuciones de probabilidad más usadas en Inferencia Estadística, principalmente en pruebas de hipótesis y en la construcción de intervalos de confianza.

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Definición

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Como la suma de normales estándar

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Sean Z 1 , … , Z k {displaystyle Z_{1},dots ,Z_{k}} {displaystyle Z_{1},dots ,Z_{k}} variables aleatorias independientes tales que Z i ∼ N ( 0 , 1 ) {displaystyle Z_{i}sim N(0,1)} {displaystyle Z_{i}sim N(0,1)} para i = 1 , 2 , … , k {displaystyle i=1,2,dots ,k} {displaystyle i=1,2,dots ,k} entonces la variable aleatoria X {displaystyle X} X definida por

X = Z 1 2 + Z 2 2 + ⋯ + Z k 2 = ∑ i = 1 k Z i 2 {displaystyle {begin{aligned}X&=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+cdots +Z_{k}^{2}\&=sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}X&=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+cdots +Z_{k}^{2}\&=sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}end{aligned}}}

tiene una distribución chi cuadrada con k {displaystyle k} k grados de libertad.

Notación

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Si la variable aleatoria continua X {displaystyle X} X tiene una distribución Chi Cuadrada con k {displaystyle k} k grados de libertad entonces escribiremos X ∼ χ k 2 {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}} {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}} o X ∼ χ 2 ( k ) {displaystyle Xsim chi ^{2}(k)} {displaystyle Xsim chi ^{2}(k)}.

Función de Densidad

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Si X ∼ χ k 2 {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}} {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}} entonces la función de densidad de la variable aleatoria X {displaystyle X} {displaystyle X} es

f X ( x ) = ( 1 2 ) k 2 Γ ( k 2 ) x k 2 − 1 e − x / 2 {displaystyle f_{X}(x)={frac {left({frac {1}{2}}right)^{frac {k}{2}}}{Gamma left({frac {k}{2}}right)}},x^{{frac {k}{2}}-1}e^{-x/2}}

{displaystyle f_{X}(x)={frac {left({frac {1}{2}}right)^{frac {k}{2}}}{Gamma left({frac {k}{2}}right)}},x^{{frac {k}{2}}-1}e^{-x/2}}

para x > 0 {displaystyle x>0} x>0 donde Γ {displaystyle Gamma } Gamma es la función gamma.

Función de Distribución Acumulada

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Si X ∼ χ k 2 {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}} {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}} entonces su función de distribución está dada por

F X ( x ) = γ ( k 2 , x 2 ) Γ ( k 2 ) {displaystyle F_{X}(x)={frac {gamma left({frac {k}{2}},{frac {x}{2}}right)}{Gamma left({frac {k}{2}}right)}}}

{displaystyle F_{X}(x)={frac {gamma left({frac {k}{2}},{frac {x}{2}}right)}{Gamma left({frac {k}{2}}right)}}}

donde γ ( k , z ) {displaystyle gamma (k,z)} {displaystyle gamma (k,z)} es la función gamma incompleta.

En particular cuando k = 2 {displaystyle k=2} k=2 entonces esta función toma la forma

F X ( x ) = 1 − e − x / 2 {displaystyle F_{X}(x)=1-e^{-x/2}}

{displaystyle F_{X}(x)=1-e^{-x/2}}

Propiedades

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Si X ∼ χ k 2 {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}} {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}} entonces la variable aleatoria X {displaystyle X} {displaystyle X} satisface algunas propiedades.

Media

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La media de la variable aleatoria X {displaystyle X} {displaystyle X} es

E ⁡ [ X ] = k {displaystyle operatorname {E} [X]=k}

{displaystyle operatorname {E} [X]=k}

Varianza

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La varianza de la variable aleatoria X {displaystyle X} {displaystyle X} es

Var ⁡ ( X ) = 2 k {displaystyle operatorname {Var} (X)=2k}

{displaystyle operatorname {Var} (X)=2k}

Función generadora de momentos

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La función generadora de momentos de X {displaystyle X} {displaystyle X} es

M X ( t ) = ( 1 1 − 2 t ) k / 2 {displaystyle M_{X}(t)=left({frac {1}{1-2t}}right)^{k/2}}

{displaystyle M_{X}(t)=left({frac {1}{1-2t}}right)^{k/2}}

para 2 t < 1 {displaystyle 2t<1} {displaystyle 2t<1}.

Teorema

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Sea X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},dots ,X_{n}} X_1,dots,X_n una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución N ( μ , σ 2 ) {displaystyle N(mu ,sigma ^{2})} {displaystyle N(mu ,sigma ^{2})} entonces

  1. X ¯ {displaystyle {overline {X}}}

    overline{X}

    ( X 1 − X ¯ , … , X n − X ¯ ) {displaystyle left(X_{1}-{overline {X}},dots ,X_{n}-{overline {X}}right)}

    {displaystyle left(X_{1}-{overline {X}},dots ,X_{n}-{overline {X}}right)}

  2. X ¯ {displaystyle {overline {X}}}

    overline{X}

    S 2 {displaystyle S^{2}}

    S^{2}

  3. ( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ n − 1 2 {displaystyle {frac {(n-1)S^{2}}{sigma ^{2}}}sim chi _{n-1}^{2}}

    {displaystyle {frac {(n-1)S^{2}}{sigma ^{2}}}sim chi _{n-1}^{2}}

  4. E ⁡ [ S 2 ] = σ 2 {displaystyle operatorname {E} [S^{2}]=sigma ^{2}}

    {displaystyle operatorname {E} [S^{2}]=sigma ^{2}}

    Var ⁡ ( S 2 ) = 2 σ 4 n − 1 {displaystyle operatorname {Var} (S^{2})={frac {2sigma ^{4}}{n-1}}}

    {displaystyle operatorname {Var} (S^{2})={frac {2sigma ^{4}}{n-1}}}

donde

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n X i {displaystyle {overline {X}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}X_{i}}

{displaystyle {overline {X}}={frac {1}{n}}sum _{i=1}^{n}X_{i}}

y

S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ¯ ) 2 {displaystyle S^{2}={frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}}right)^{2}}

{displaystyle S^{2}={frac {1}{n-1}}sum _{i=1}^{n}left(X_{i}-{overline {X}}right)^{2}}

son la media y varianza de la muestra aleatoria respectivamente.

Intervalos de confianza para muestras de la distribución normal

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Intervalo para la varianza

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Sean X 1 , … , X n {displaystyle X_{1},dots ,X_{n}} X_1,dots,X_n una muestra aleatoria proveniente de una población con distribución N ( μ , σ 2 ) {displaystyle N(mu ,sigma ^{2})} {displaystyle N(mu ,sigma ^{2})} donde μ {displaystyle mu } mu y σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} sigma^2 son desconocidos.

Se tiene que

( n − 1 ) S 2 σ 2 ∼ χ n − 1 2 {displaystyle {frac {(n-1)S^{2}}{sigma ^{2}}}sim chi _{n-1}^{2}}

{displaystyle {frac {(n-1)S^{2}}{sigma ^{2}}}sim chi _{n-1}^{2}}

Sean χ n − 1 , α / 2 , χ n − 1 , 1 − α / 2 ∈ R {displaystyle chi _{n-1,alpha /2},chi _{n-1,1-alpha /2}in mathbb {R} } {displaystyle chi _{n-1,alpha /2},chi _{n-1,1-alpha /2}in mathbb {R} } tales que

P ⁡ [ χ n − 1 , α / 2 < Y < χ n − 1 , 1 − α / 2 ] = 1 − α {displaystyle operatorname {P} [chi _{n-1,alpha /2}<Y<chi _{n-1,1-alpha /2}]=1-alpha }

{displaystyle operatorname {P} [chi _{n-1,alpha /2}<Y<chi _{n-1,1-alpha /2}]=1-alpha }

siendo Y ∼ χ n − 1 2 {displaystyle Ysim chi _{n-1}^{2}} {displaystyle Ysim chi _{n-1}^{2}} entonces

P ⁡ [ χ n − 1 , α / 2 < ( n − 1 ) S 2 σ 2 < χ n − 1 , 1 − α / 2 ] = 1 − α P ⁡ [ 1 χ n − 1 , α / 2 > σ 2 ( n − 1 ) S 2 > 1 χ n − 1 , 1 − α / 2 ] = 1 − α P ⁡ [ ( n − 1 ) S 2 χ n − 1 , 1 − α / 2 < σ 2 < ( n − 1 ) S 2 χ n − 1 , α / 2 ] = 1 − α {displaystyle {begin{aligned}&operatorname {P} left[chi _{n-1,alpha /2}<{frac {(n-1)S^{2}}{sigma ^{2}}}<chi _{n-1,1-alpha /2}right]=1-alpha \&operatorname {P} left[{frac {1}{chi _{n-1,alpha /2}}}>{frac {sigma ^{2}}{(n-1)S^{2}}}>{frac {1}{chi _{n-1,1-alpha /2}}}right]=1-alpha \&operatorname {P} left[{frac {(n-1)S^{2}}{chi _{n-1,1-alpha /2}}}<sigma ^{2}<{frac {(n-1)S^{2}}{chi _{n-1,alpha /2}}}right]=1-alpha end{aligned}}}

{displaystyle {begin{aligned}&operatorname {P} left[chi _{n-1,alpha /2}<{frac {(n-1)S^{2}}{sigma ^{2}}}<chi _{n-1,1-alpha /2}right]=1-alpha \&operatorname {P} left[{frac {1}{chi _{n-1,alpha /2}}}>{frac {sigma ^{2}}{(n-1)S^{2}}}>{frac {1}{chi _{n-1,1-alpha /2}}}right]=1-alpha \&operatorname {P} left[{frac {(n-1)S^{2}}{chi _{n-1,1-alpha /2}}}<sigma ^{2}<{frac {(n-1)S^{2}}{chi _{n-1,alpha /2}}}right]=1-alpha end{aligned}}}

por lo tanto un intervalo de ( 1 − α ) 100 % {displaystyle (1-alpha )100%} {displaystyle (1-alpha )100%} de confianza para σ 2 {displaystyle sigma ^{2}} sigma^2 está dado por

( ( n − 1 ) S 2 χ n − 1 , 1 − α / 2 , ( n − 1 ) S 2 χ n − 1 , α / 2 ) {displaystyle left({frac {(n-1)S^{2}}{chi _{n-1,1-alpha /2}}},{frac {(n-1)S^{2}}{chi _{n-1,alpha /2}}}right)}

{displaystyle left({frac {(n-1)S^{2}}{chi _{n-1,1-alpha /2}}},{frac {(n-1)S^{2}}{chi _{n-1,alpha /2}}}right)}

Distribuciones relacionadas

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  • La distribución

    χ 2 {displaystyle chi ^{2}}

    {displaystyle chi ^{2}}

    k {displaystyle k}

    k distribución gamma pues si

X ∼ Γ ( k 2 , 1 2 ) {displaystyle Xsim Gamma left({frac {k}{2}},{frac {1}{2}}right)}

{displaystyle Xsim Gamma left({frac {k}{2}},{frac {1}{2}}right)}entonces

X ∼ χ k 2 {displaystyle Xsim chi _{k}^{2}}

{displaystyle Xsim chi _{k}^{2}}

  • Cuando k es suficientemente grande, como consecuencia del teorema del límite central, puede aproximarse por una distribución normal:

lim k → ∞ χ k 2 ( x ) k = N ( 1 , 2 / k ) ( x ) {displaystyle lim _{kto infty }{frac {chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{sqrt {2/k}})}(x)}

{displaystyle lim _{kto infty }{frac {chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{sqrt {2/k}})}(x)}

Aplicaciones

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La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la denominada prueba χ², utilizada como prueba de independencia y como prueba de buen ajuste y en la estimación de varianzas. Pero también está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.

Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Véase esto también

Métodos computacionales

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Tabla de valores χ2 vs valores p

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El valor p es la probabilidad de observar un estadístico de prueba «al menos» como extremo en una distribución de ji-cuadrado. Por lo tanto, dado que la función de distribución acumulativa (CDF) para los grados de libertad apropiados (df, del inglés degree of freedom) da la probabilidad de haber obtenido un valor menos extremo que este punto, restando el valor de CDF de 1 da el valor p. Un valor p bajo, por debajo del nivel de significación elegido, indica significación estadística, es decir, evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula. Un nivel de significancia de 0.05 se usa a menudo como el punto de corte entre resultados significativos y no significativos.

La siguiente tabla da un número de valores p que coinciden con χ 2 {displaystyle chi ^{2}} {displaystyle chi ^{2}} para los primeros 10 grados de libertad.

Grados de libertad (df)valor

χ 2 {displaystyle chi ^{2}}

{displaystyle chi ^{2}}

[

1

]

​10.0040.020.060.150.461.071.642.713.846.6310.8320.100.210.450.711.392.413.224.615.999.2113.8230.350.581.011.422.373.664.646.257.8111.3416.2740.711.061.652.203.364.885.997.789.4913.2818.4751.141.612.343.004.356.067.299.2411.0715.0920.5261.632.203.073.835.357.238.5610.6412.5916.8122.4672.172.833.824.676.358.389.8012.0214.0718.4824.3282.733.494.595.537.349.5211.0313.3615.5120.0926.1293.324.175.386.398.3410.6612.2414.6816.9221.6727.88103.944.876.187.279.3411.7813.4415.9918.3123.2129.59Valor p (probabilidad)0.950.900.800.700.500.300.200.100.050.010.001

Estos valores se pueden calcular evaluando la función cuantil (también conocida como «FDC inversa» o «ICDF») de la distribución ji-cuadrado;[2]​ por ejemplo, el χ2 ICDF de p = 0.05 y df = 7 rinde 2.1673 ≈ 2.17 como en la tabla anterior, observando que 1 – p es el valor p de la tabla.

Historia

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Esta distribución fue descrita por primera vez por el geodésico y estadístico alemán Friedrich Robert Helmert en artículos de 1875–6, ​[4]​ donde calculó la distribución muestral de la varianza muestral de una población normal. Así, en alemán, esto se conocía tradicionalmente como Helmert’sche («Helmertiano») o «distribución de Helmert».

La distribución fue redescubierta de forma independiente por el matemático inglés Karl Pearson en el contexto de la bondad de ajuste, para lo cual desarrolló su prueba de ji-cuadrado de Pearson, publicada en 1900, con una tabla calculada de valores publicados en (Elderton, 1902), recogida en (Pearson, 1914, Table XII).El nombre «ji-cuadrado» deriva en última instancia de la abreviatura de Pearson para el exponente en una distribución normal multivariada con la letra griega ji, escribiendo −½χ2 por lo que aparecería en la notación moderna como −½xTΣ−1x (Σ siendo la matriz de covarianza).[5]​ Sin embargo, la idea de una familia de «distribuciones de ji-cuadrado» no se debe a Pearson, sino que surgió como un desarrollo posterior debido a Fisher en la década de 1920. ​

Véase también

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Referencias

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Para más información

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Enlaces externos

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  • Calculadora e la probabilidad de una distribución de Pearson con R (lenguaje de programación)
  • DynStats Archivado el 30 de marzo de 2018 en Wayback Machine.: Laboratorio estadístico en línea con calculadora de funciones de distribución

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